Как изменить склад ума на математический

На сайте мы уже много раз говорили о самых разных видах мышления, но вот именно математическое мышление было незаслуженно обделено вниманием. Наконец-таки мы исправим это упущение. Однако у вас может возникнуть вопрос: «А зачем мне вообще это математическое мышление?». Поэтому сначала вкратце объясним, что это такое, и почему важно уметь думать, как математик.

Что такое математическое мышление и в чем его польза?

Определение математического мышления таково: математическое мышление – это абстрактное теоретическое мышление, объекты которого лишены вещественности, но при этом они могут быть интерпретированы любым произвольным образом с одним лишь условием – должны сохраняться заданные между объектами отношения.

Учитывая то, что математика – это наука не только об уравнениях и формулах, но и о структурах, порядке и отношениях, главное отличие математического мышления от обычного (повседневного) состоит в том, что оно прививает и развивает у человека навык критического восприятия окружающего мира, желание и умение «копнуть глубже» и найти истину, понять причины и суть самых разных понятий и явлений.

Если говорить о практической пользе математического мышления, то в первую очередь (ведь об этом говорит само его определение) на ум приходит, конечно, то, что оно помогает нам справляться с математическими задачами. Однако истинная его ценность намного больше.

Человек, у которого развито математическое мышление:

• Понимает, что у любой проблемы есть решение
• Умеет раскладывать поиск решений проблем на последовательные этапы
• Воспринимает неудачи и ошибки не как причину опускать руки, а как возможность развиваться

Если говорить конкретнее, то умение мыслить, как математик, способствует успехам в учебе, ведь человек привыкает разбивать сложные задачи на более мелкие, удерживать в голове большое количество информации и оперировать ей, справляться с трудностями, выявлять взаимосвязи. Причем все это может пригодиться как в математике, так и в любой другой науке.

Математически мыслящий человек обладает навыком критической оценки информации, ведь окружающая действительность воспринимается им с некоторой долей здорового скептицизма. Это помогает различать правду и вымысел, опираться на факты и доказательства, а не слепо верить тому, что говорят.

Кроме того, математическое мышление помогает в принятии жизненно важных решений. Любая проблема и трудность раскладывается на составляющие, во внимание берутся все вероятные исходы и последствия. А благодаря уверенности в решаемости любых проблем человек охотнее берет на себя ответственность, менее подвержен страхам и сомнениям, может в любой ситуации придумать план действий.

Еще один полезный аспект развитого математического мышления состоит в том, что оно помогает преодолеть злосчастную привычку откладывать дела на потом, нерешительность перед сложными задачами. А все это вместе взятое служит тем самым стержнем, на котором держатся все составляющие успешной, образованной, уверенной в себе и самостоятельной личности. И это самым прямым образом влияет на достигаемые человеком в жизни и работе результаты.

Посмотрите это видео, в котором математик Эдуардо Саенц де Кабезон на конференции TED в остроумной манере рассказывает о пользе математики в жизни.

https://www.youtube.com/watch?v=4QHUnxmd1WE

Таким образом, математическое мышление является навыком, необходимым каждому, кто стремится к достижению высоких целей. Но перед тем как начинать развивать его, необходимо хотя бы в общих чертах понять его природу.

Особенности математического мышления

Ученые уже не один десяток лет пытаются понять, откуда вообще в человеке есть способность к проведению математических вычислений. Для объяснения этого феномена предложены две теории. Смысл первой сводится к тому, что склонность к математике – это побочный эффект появления речи и языка. А вторая говорит, что причиной всему возможность применения интуитивного понимания пространства и времени, причем корни этого понимания тянутся вглубь веков.

Пытаясь понять, какая же теория верна, психологи провели эксперимент, для которого взяли 15 обычных людей и 15 математиков с одним и тем же уровнем образования. Обеим группам предлагали несколько сложных математических и нематематических утверждений, и участники должны были оценить их истинность, ложность или бессмысленность. Во время эксперимента мозг каждого испытуемого сканировался томографом.

В результате выяснилось, что заявления, касавшиеся математических областей (геометрии, алгебры, топологии, анализа и т.д.), возбуждали участки префронтальной, нижневисочной и теменной коры головного мозга только у математиков, но не у второй группы испытуемых. И эти зоны отличались от тех, что активизировались у каждого испытуемого при обработке нематематических утверждений. Вышеназванные зоны «работали» у обычных людей только тогда, когда они решали простейшие арифметические задачи.

С научной точки зрения этот результат объясняется тем, что математическое мышление более высоких уровней задействует нейронную сеть, отвечающую за восприятие времени, пространства и чисел. И эта нейронная сеть отличается от той, что связана с языком. Это приводит нас к выводу, что на развитие математического мышления непосредственно влияет развитие пространственного мышления. Кстати, чтобы понять, как математика взаимодействует с психологией и другими науками, можете почитать книгу «Математическое мышление» выдающегося немецкого математика и физика-теоретика Германа Вейля.

Еще одна особенность математического мышления состоит в том, что в его структуре выделяются несколько пересекающихся подструктур, называемых типами математического мышления (эта идея была предложена кандидатом психологических наук Ильей Яковлевичем Каплуновичем). От того, какой из этих типов доминирует, зависит мыслительная деятельность человека в любой практической ситуации.

Типы математического мышления

Всего можно выделить пять типов математического мышления. Расскажем о них в тезисной форме:

• Топологическое мышление. Его развитие у детей происходит раньше всех остальных – в возрасте 2-3 лет. От него зависит связанность и целостность логических операций. Люди с этим типом мышления действуют не наобум, а сначала улавливают нить и изучают детали, и только потом не спеша и тщательно доводят дело до конца. Качества, присущие людям-топологам: аккуратность, размеренность, консервативность, медлительность и дотошность.
• Порядковое мышление. Развивается у человека вслед за топологическим. От него зависит точная последовательность логических операций. Люди с преобладающим порядковым мышлением не обязательно объединяют действия в единое целое, но всегда придерживаются строгого линейного порядка и следуют от начального к конечному. В работе придают больше значение размеру и форме объектов и их соотношению, четко следуют плану, вырабатывают конкретный алгоритм. Качества таких людей: педантичность, соблюдение общепринятых правил, следование инструкциям.
• Метрическое мышление. Развивается, как и все остальные типы, после первых двух. Отвечает за количественные запросы и оперирует цифрами. Люди-метристы все сводят к конкретным величинам, руководствуются точными параметрами, не очень любят общность и образность, т.к. для них трудно представлять абстрактные и неопределенные величины. Зато они всегда точно знают, к каким результатам приведут их действия, и каких усилий это будет им стоить. Качества людей с доминирующим метрическим мышлением: предусмотрительность и осторожность, желание просчитать все наперед, узнать все нюансы и подробности.
• Алгебраическое мышление. Присуще комбинаторам и конструкторам. Люди с преобладающим алгебраическим мышлением обладают структурным восприятием и выстраивают комбинации; работу могут начинать с любого места, и перескакивать в процессе с одного на другое. Не любят общепринятых правил и рамок. Качества таких людей: некоторая рассеянность, непунктуальность, упрощение всего сложного, способность быстро выделять главное.
• Проективное мышление. Многие считают его самым важным из всех. Людей с таким мышлением отличает умение смотреть на вещи с разных сторон, интерес к множеству вариантов действий, нестандартность в решениях. Другие качества этих людей: неординарный интеллект, стремление к выгоде во всем, лидерские качества, способность к быстрой оценке ситуаций, невнимательность к абсолютным характеристикам и важным деталям.

Эти типы математического мышления развиты в каждом человеке в разных пропорциях. У большинства людей преобладает порядковое мышление, причиной чему служит, помимо прочего, стандартная система школьного образования, работающая именно по порядковой схеме.

Определить свой преобладающий тип математического мышления можно при помощи специализированных тестов, которые можно найти в Интернете. Но можно и просто понаблюдать за своими повседневными действиями. Попробуйте, например, описать свою комнату, перечислить все, что в ней есть, а затем оцените свой ответ:

• С преобладающим топологическим мышлением вы перечислите все предметы в комнате по группам
• С преобладающим порядковым мышлением вы расскажете о размерах и формах предметов, их расположении относительно друг друга
• С преобладающим метрическим мышлением вы назовете габариты помещения и количество тех или иных предметов
• С преобладающим алгебраическим мышлением вы просто будете перечислять все подряд, перескакивая с одного на другое
• С преобладающим проективным мышлением вы не просто вспомните все, что есть комнате, но и посвятите слушателя в особенности применения тех или иных объектов

И еще один интересный факт: люди, у которых преобладает один и тот же тип мышления, неосознанно тянутся друг к другу, т.к. им часто сложно понять систему мышления тех, кто от них отличается. Но давайте отойдем от типологии и теории, и уделим внимание основной теме нашей статьи и практической части.

Основываясь на результатах эксперимента, о котором мы рассказывали выше, можно сделать вывод о том, как развить математическое мышление: нужно развивать мышление пространственное. И сейчас мы расскажем о том, как это делается (а в конце статьи предложим несколько рекомендаций по развитию математического мышления вне зависимости от пространственного).

Пространственное мышление: определение и развитие

Пространственное мышление необходимо нам для решения множества задач, которые ставит жизнь. Речь здесь в первую очередь идет о пространственном воображении – способности детализировано представлять трехмерные объекты. С помощью нее мы можем манипулировать любой воображаемой или реальной пространственной структурой, оценивать ее пространственные отношения и свойства, видоизменять ее и создавать новые структуры.

Пространственное мышление является совершенно особым видом деятельности, имеющим огромное значение для решения задач, которые ставят нас перед необходимостью ориентироваться в теоретическом или практическом пространстве. В наиболее развитой форме пространственное мышление – это мышление при помощи образов, в которых фиксируются пространственные отношения и свойства.

Психология уже давно говорит о том, что зачатки пространственного мышления присутствуют с рождения у ничтожно малого количества людей, а потому оно нуждается в развитии. Заниматься этим полезно любому человеку и в любом возрасте. И важно это не только потому, что развивается математическое мышление, но и потому, что такая деятельность обеспечивает нормальное функционирование мозга, служит профилактикой множества заболеваний, вызываемых дефицитом работы нейронов.

Если затронуть конкретно развитие у детей, то пространственное мышление повышает успехи в освоении технических наук и даже изучении литературы, ведь оно позволяет создавать в сознании целые динамические картины, основанные на прочитанных текстах. Соответственно, ребенку становится легче анализировать художественные произведения; повышается интерес к чтению. Ну а о том, что пространственное мышление пригодится на любимых детьми уроках труда и рисования, пожалуй, и говорить не стоит.

Несмотря на то, что в той или иной степени пространственное мышление развивается в человеке с детских лет, уже к подростковому возрасту это развитие останавливается. Но при желании можно самостоятельно его развивать и совершенствовать. Для этого используются специальные упражнения (их можно применять для развития у детей и у взрослых).

Упражнение «Представление»

Задача – просто представлять какие-то объекты. Проще всего – линии и отрезки. Вот несколько примеров:

• Представьте две сближающиеся линии. Определите место их пересечения.
• Представьте треугольник, наложенный на две линии. Что вы видите?
• Представьте три разнонаправленных линии. Мысленно соедините их и нарисуйте полученный объект.

Упражнение «Угадывание на ощупь»

Возьмите помощника. Закройте глаза и попросите его дать вам в руки какой-нибудь предмет, к примеру, фрукт, ткань, детскую игрушку, пульт от телевизора и т.д. На изучение объекта дается от 15 до 90 секунд (в зависимости от возраста и степени развития пространственного мышления). Отдайте предмет напарнику и скажите, что было у вас в руках.

Упражнение «Копирование»

Задания в этом упражнении постепенно усложняются. Алгоритм такой:

• Смотрите на какой-нибудь объект (желательно, чтобы он мог поместиться на листе формата А4) и перечерчивайте его на бумагу в реальном размере.
• Скопируйте тот же самый объект, но добавьте к нему 5 см в длине и какой-нибудь дополнительный элемент.
• Скопируйте любой небольшой объект на бумагу, увеличив его в 3 раза, уменьшив в 4 раза и т.п.
• Представьте какую-нибудь объемную фигуру и нарисуйте ее с разных сторон.

Упражнение «Муха в клетке»

Для начала найдите себе двух помощников. Двое из вас будут выполнять задание, а третий будет следить за игрой и проверять результаты.

Суть упражнения: вместе со своим помощником представьте решетку 9х9 квадратов (у третьего участника должна быть ее графическая схема, но вам ей пользоваться нельзя). В ее правом верхнем углу сидит муха. Определите очередность ходов и по очереди перемещайте муху по квадратам. Обозначайте движения и число клеток.

Например, вы передвигаете муху на 4 клетки вниз. Наблюдающий обозначает ваш ход на своей схеме. Так же он действует с каждым другим ходом. В какой-то момент он говорит: «Стоп», а вы со своим напарником должны сказать, в каком конкретно квадрате находится муха.

Победителем будет тот, кто даст правильный ответ (его должен подтвердить наблюдающий). Кстати, если хотите усложнить игру, можете изменить количество клеток решетки (она не обязательно должна быть симметричной).

В дополнение к этим упражнениям можно использовать и другие методы.

Схемы и чертежи

Опираясь на какой-то наглядный материал (или без него), например, на предметы в своей комнате, составляйте их планы, схемы и чертежи. Если взять комнату, то в ее плане должны присутствовать все предметы и их схемы. С тем же успехом можно рисовать чертежи зданий, магазинов, автомобилей и т.д.

Оригами и 3D-паззлы

Поищите в Интернете самоучители по оригами и учитесь складывать из бумаги различные фигурки. Также для этого подходят 3D-паззлы, которые можно купить в любом книжном магазине.

В начале работы представляйте желаемые фигуры и старайтесь определять необходимый порядок действий. Задания лучше всего усложнять:

• Повторять действия за кем-то
• Действовать про инструкции
• Действовать, изредка подглядывая в инструкцию
• Создавать фигуры самостоятельно

Графические тренажеры

Сегодня есть множество графических тренажеров, созданных специально для развития пространственного мышления. В качестве примера мы взяли несколько изображений из книги известного детского педагога Израиля Зиновьевича Постоловского «Тренировка образного мышления».

Вот такими могут быть задания:

• Восстановите закрытый линейкой элемент фигуры

• Представьте, что овалы на рисунке – это машины. Какая быстрее доедет до перекрестка при равной скорости?

• Куда упадет шарик на картинке ниже?

• Сколько фигур смогут «пройти» между объектами А и Б, и какие именно?

• На какой отметке должен оказаться человек, чтобы на него не упало дерево?

Это всего лишь несколько способов, как развить пространственное мышление, и при желании в Интернете можно найти немалое количество других упражнений и игр.

Теперь же давайте немного отстранимся от пространственного мышления и вернемся к математическому. Ниже мы приводим несколько рекомендаций по его развитию у детей и у взрослых.

Рекомендации по развитию математического мышления

Для развития математического мышления полезно заниматься развитием логики и как можно больше работать с цифрами. В первую очередь при необходимости любых вычислений в повседневной жизни старайтесь производить их в уме – без использования калькулятора.

Учитывая склонность мозга к тому, чтобы чаще не думать, чем думать, стремитесь активизировать активность интеллекта. Выполняйте специальные задачи и упражнения на логику, играйте в математические игры, решайте головоломки, ребусы и кроссворды, играйте в шахматы, пользуйтесь онлайн-тренажерами и тестами.

Обязательно правильно питайтесь, чтобы в ваш организм поступали все нужные ему витамины, минералы и микроэлементы. Чередуйте умственную деятельность с физическими нагрузками, т.к. физические упражнения позволяют мозгу отдохнуть, а также способствуют выработке организмом полезных гормонов.

А говоря о детском развитии, заметим, что развивать математический склад ума необходимо уже с малых лет. Оптимальным возрастом для начала занятий считается период от 1 до 3 лет, т.к. позже намного удобнее работать с уже частично сформированной у ребенка математической базой и развивать ее, нежели постигать азы.

Чтобы привить ребенку интерес к математике, нужно делать так, чтобы он воспринимал ее не как скучную прикладную науку, а как интересное занятие. Для этого полезно как можно чаще задавать разные задачки, использовать игрушки, считалки, активные игры на математическую тему, демонстрировать наглядные примеры простейших математических вычислений и их полезность. Правильное питание и физические нагрузки относятся и к детям тоже, причем даже больше, чем к взрослым.

Помимо прочего, предлагаем вам почитать наши статьи «Как объяснить ребенку математику?» и «Уроки математики для малышей», а также книгу «Как обучить вашего малыша математике» Гленна и Джанет Доман. А для вашей личной пользы советуем почитать книги «Математическое мышление» (Герман Вейль) и «Думай как математик» (Барбара Оакли) и посмотреть видео от российского математика и физика Алексея Семихатова о связи математики и интуиции.

Желаем вам удачи в обучении, и пусть математическое мышление помогает вам не только решать примеры, но и добиваться успехов в жизни!

Что значит «думать как математик»

Математика — наука обширная, она не только о сложных, малопонятных формулах, длинных расчетах или уравнениях с тремя неизвестными. В первую очередь, математика — наука «о структурах, порядке и отношениях» (Энциклопедия Britannica). Даже самые сложные математические конструкции строятся на универсальных логических законах.

Принципиальное отличие математического мышления от повседневного, «обывательского» — это навык «копать глубже», критичность восприятия информации — не принимать слепо на веру любые утверждения, устоявшиеся шаблоны. Критическое мышление совсем не означает что, человек будет недоволен всем на свете. Он лишь будет стремиться искать смыслы, причины, выяснять суть явлений и понятий.
Покажем на примере.

Если разложить по полочкам…

Математическое мышление (далее — ММ) включает:

• логическое мышление — мыслительный процесс с использованием четких и конкретных понятий, при котором рассуждения не противоречат законам логики, а решения принимаются на основе полученных ранее знаний:
  — развитые навыки анализа и синтеза, т.е. умение делать выводы от общего к частному и от частного к общему;
  — умение думать и рассуждать, т.е. высказывать гипотезы и развивать свои предположения;
• способность удерживать в уме большое количество понятий, в том числе математических, и оперировать ими (что подразумевает также хорошую память);
• абстрактное мышление — процесс создания образных конструкций и оперирования абстрактными понятиями (свойствами, признаками, отношениями), в противовес мышлению лишь предметами, объектами, которые видел или о которых слышал.

В чем сила, брат?… Польза от владения навыками ММ

Очевидно, что развитое математическое мышление помогает ребенку, школьнику, да и любому человеку легко справляться с математическими задачами. Впрочем, польза от владения навыками мышления гораздо шире.

«Я с успехом определил 5000 способов, которые никуда не годятся. В результате я на 5000 способов ближе к тому способу, который сработает».
Томас Эдисон

Человек с развитым математическим мышлением:

• уверен, что любая проблема имеет решение;
• способен разложить поиск решения на последовательные этапы — задачи и подзадачи;
• готов воспринимать ошибки не как препятствия и поражение, а как ступеньки на пути к правильному решению.

1. ММ способствует успешной учебе

Привычка раскладывать сложные задачи на простые подзадачи, удерживать в голове и оперировать большим количеством понятий, не бояться трудностей, искать взаимосвязи и вникать в суть вещей помогает в освоении любой науки и предмета, не только математики. Более того, люди, считающие себя гуманитариями, — кому успешно дается и родной, и иностранные языки, обществознание, история, — уже владеют основами математического мышления, просто не подозревают об этом.

2. Вырабатывает навык критического анализа информации

Джордан Элленберг, профессор математики и автор статей в New York Times, The Washington Post и Wired, в книге «Как не ошибаться» пишет:

«…математика — это не абстрактные идеи, далекие от реальной жизни. Математика пронизывает все, что нас окружает, и позволяет взглянуть за беспорядочную и хаотичную поверхность нашего мира, увидеть скрытые за ней структуры».

Человек, мыслящий «математически», воспринимает окружающий мир с долей здорового скептицизма, способен отличить правду от вымысла, не верит в «магическую» природу вещей. Иначе говоря, его не устроят формулировки «так получилось», «повезло», «перст судьбы» и т.д. Человека, мыслящего математически (читайте: критически и логично), очень трудно обмануть и тем самым втянуть в неприятности.

3. Помогает принимать жизненно важные решения

Математическое мышление привычно раскладывает решение проблем по «полочкам», на составляющие, этапы, возможные препятствия и последствия. Уверенность, что проблемы решаемы, и ошибки как минимум поправимы, позволяет смело брать на себя ответственность, избегать сомнений и страхов, и как минимум, сформулировать для себя четкий план действий в любой ситуации.

Джордан Эленберг в книге «Как не ошибаться», утверждает, что математика — это «наука о том, как не совершать ошибок, а математические формы и методы создавались на протяжении многих столетий упорного труда и дискуссий».

4. «Мышление математика» помогает побороть прокрастинацию

Прокрастинация — это печальная привычка откладывать на завтра то, что нужно было вчера. Но не потому, что лень, а потому что страшно: проблема/задача пугает своими размерами. Нередко люди, причисляя себя к «гуманитариям», оправдывают свой страх и бездействие перед новым, неизвестным, непонятным. То есть они могут даже просто в силу привычки пасовать перед решением определенных типов жизненных задач.

Рассуждая «математически», человек:

• проанализирует предстоящие трудности и в целом не станет даже рассматривать задачу как «нерешаемую»;
• «прикинет», что можно сделать в сложившейся ситуации исходя из собственного опыта;
• определит, какие вопросы ещё нужно для себя прояснить, что изучить, чтобы лучше ориентироваться в теме;
• разобьет решение на этапы и установит сроки.

С описанным способом мышления ни «технарь/математик», ни «гуманитарий» не станут искать причины отложить решение проблемы «до лучших времён».
У них просто не будет для этого «повода»!

5. ММ становится основой для успешной карьеры

Барбара Оакли, доктор наук, инженер-консультант, член совета Американского института медицинского и биологического машиностроения, в книге «Думай как математик» пишет:

«Мир меняется, и способность справляться с техническими и математическими вызовами становится все более важной».

Именно развитое аналитическое (математическое) мышление становится «пропуском» во многие профессии и на руководящие должности.

А научиться возможно?

Да, возможно! Человеческий мозг постоянно выполняет сложные математические расчеты, например, когда просчитывает траекторию объезда на машине дорожной ямы или помогает руками отбить мяч во время игры в волейбол. Просто человек этот мыслительный процесс не осознает. Наша родительская задача — научить своего ребенка осознанно думать, как математик.

Учимся думать как математики

Можно, конечно, проштудировать тома умных книг в попытке достичь просветления и приобрести «математический» взгляд на мир. Менее пугающий вариант — записаться на подходящий образовательный онлайн-курс и добросовестно изучить все предложенные лекции. Затем выполнить тесты, домашние задания и не забывать пользоваться полученными знаниями.

ЛогикЛайк предлагает 9 простых советов, которые помогут и тренировать математическое мышление в целом, и без страха браться за решение математических, логических и развивающих задач.

1. Принимайте себя и свои особенности

Речь не о том, чтобы смириться с ярлыком «гуманитарий» или даже «не дано», а о том, чтобы учитывать индивидуальные черты характера, темперамент и способы преодоления проблем. Если обычно вам требуется время на «поразмыслить», не ставьте перед собой задачу «разобраться как можно быстрее».

2. «Включайте воображение»

Сталкиваясь с незнакомой задачей или решая сложную проблему, старайтесь смотреть на нее слегка отстраненно и под новым углом.

3. Подбирайте аналогии, которые вам более понятны

Барбара Оакли приводит такой пример: если не понимаете суть уравнений, ищите в них поэзию, ведь уравнение — это математическая фраза с закодированным смыслом, как стихотворение — это поэтическая фраза с философским, глубинным смыслом. Так, Эйнштейн в попытке понять суть фотона представлял себя летящим фотоном и пытался предположить, как к нему относятся другие фотоны.

4. Выработайте привычку действовать

Усваивайте знания порциями и разбивайте сложные задачи на несколько мелких.
Приступайте к решению задач (даже сложных и пугающих) сразу, с места в карьер.
Пользуйтесь для этого любыми техниками тайм-менеджмента, которые для вас «работают». Так, при прокрастинации хорошо помогает «метод помидора».

5. Приступайте к решению задачи с внутренней «легкостью»

Не пытайтесь сразу вгрызаться в гранит науки: лучше «пробегитесь» мысленно и глазами по материалу, ознакомьтесь с ним поверхностно.

6. Избегайте «эффекта установки»

Не позволяйте уже имеющимся мыслям и идеям, а также существующим готовым и/или стандартным решениям вмешиваться в процесс решения новой задачи, препятствовать ему.

7. Настройтесь на диалог и дискуссию

Будьте готовы спорить: страх конфликта, постоянное «соглашательство» сводит на нет творческий процесс решения задачи или проблемы.

8. Убеждайте себя, что любая проблема решаема

Успешный выход из любой ситуации, способность решить любую задачу в большинстве случаев зависит не от внешних обстоятельств или врожденных гениальности и способностей, а от собственного упорства и трудолюбия.

9. Практикуйтесь!

Хотите помочь детям развить математическое мышление? Решайте математические и логические задачи. Не ограничивайтесь задачами из школьной, университетской программы. Отрабатывайте навыки на головоломках, логических играх, занимательных задачах.

Как помочь своим детям или внукам развить силу математического мышления?

Советы, описанные выше, универсальны, но предназначены, в первую очередь, взрослым. Если вы хотите научить ребенка думать, как математик, развить его математическое и логическое мышление, предложите ему порешать занимательные задачи.

В самом начале «пути» обязательно позанимайтесь вместе с ребенком, посмотрите, как он справляется с неудачами, посоветуйте способы избежать ошибок (перечитать-прослушать задачу еще раз, взять паузу на обдумывание, обратиться за подсказкой).

В дальнейшем выделите время в семейном расписании для регулярных занятий, хвалите и поощряйте ребенка, всячески поддерживайте его энтузиазм и тем самым помогите ему сделать из этого занятия хобби.

Дети лучше усваивают знания на практике, без долгих и малопонятных теоретических объяснений, но на ярких, игровых, интерактивных примерах.
Решая развивающие задачи на платформе LogicLike, дети приобретают навыки математического и логического мышления, учатся не бояться ошибок, строить и проверять гипотезы, искать последовательности и думать без шаблонов.
Как математики!

Глава из книги Кэролайн Уилльямс «Мой продуктивный мозг» о том, действительно ли люди могут не иметь математических способностей, и как гуманитарии могут улучшить свои вычислительные навыки.

После всех размышлений о природе времени и сознания я наконец готова взяться за что-то менее эфемерное. Я бы конечно предпочла, чтобы этим менее эфемерным объектом была не математика, но что есть, то есть. Мне предстоит решить финальную задачу на этом пути. Я хочу найти способ изменить то, что я всегда считала основополагающей особенностью своей личности, — «нематематический» склад ума. Если и существует какая-то базовая функция мозга, которой мне трудно будет управлять, то, думаю, это она.

Хотя старания мои почти наверняка окупятся. Математические способности связаны с уровнем развития логического мышления и аргументации — и умственная гимнастика, которую нужно выполнять, чтобы понять абстрактные вещи вроде геометрии, может помочь и моему расцветающему чувству физического пространства. Так или иначе, человеку моего рода деятельности стыдно ничего не смыслить в математике (и уж тем более если работать при этом редактором в журнале New Scientist, как я пару лет назад…).

У журнала New Scientist удачный подзаголовок: «Для людей, которым интересно почему». Он отлично подходит сотрудникам издания. В детстве эти журналисты наверняка надоедали учителям бесконечными вопросами обо всем, что только приходило им в голову. Редакторы отделов — не исключение, только они еще и патологически стремятся к грамматической правильности, буквальности… да что уж там — к совершенству.

Им нужно замечать любые двусмысленности, ошибки или неправдоподобности — они являют собой допечатную линию защиты журнала. Когда я только пришла во фриланс, я до ужаса их боялась: они казались мне стаей гиен, гогочущих над моими искусно выстроенными фразами и вырезающих из статей все самые сочные куски.

На самом деле они, конечно, совсем не такие. Редакторы обычно — очень милые люди. Например, Джон Либманн, который был главой отдела, когда я работала в New Scientist. Он так стремился сделать всё правильно, что иногда прерывался, не закончив мысль, и исправлял грамматические ошибки в собственном предложении.

Иногда ему было очень сложно идеально сформулировать свою мысль, что несколько сбивало с толку, ведь у журналистов постоянно срываются какие-нибудь сроки, и хочется схватывать всё быстро. Но когда он наконец заканчивал предложение, можно было не сомневаться — тому, что он сказал, можно верить.

Мой список «хочу улучшить в своем мозге…» однажды пополнился как раз благодаря беседе с одним из редакторов. Я составляла график для статьи, которую в тот момент редактировала, и Шон, тот самый редактор, подошел сказать, что, кажется, заметил ошибку в моих расчетах. Я ответила что-то невнятное:

— Гм-м-м, ладно. Давай посмотрим, что там. У меня с математикой так себе…

Шон недоверчиво посмотрел на меня:

— Да? И что ты по этому поводу делаешь?

— Да, честно говоря, ничего, — несколько смутившись, промямлила я. — Просто я же гуманитарий.

Он какое-то время смотрел на меня, а потом покачал головой:

— Я этого просто не понимаю. Как можно знать, что у тебя проблемы с математикой, и не пытаться это исправить?

Тогда в первый раз моему суждению об «антиматематичности» доставшегося мне мозга бросили вызов. Я всегда полагала, что ты либо «понимаешь», как обращаться с числами, либо нет. Я представляла себя писателем и редактором, которому неумение считать не особенно мешает. Ведь нельзя же разбираться во всем на свете. К тому же я могла делать какие-то расчеты, если у меня было достаточно времени и калькулятор под рукой. А результаты вычислений я всегда отдавала кому-нибудь на перепроверку.

Может показаться, что я просто пытаюсь защитить свою репутацию, но ведь в конечном итоге не я одна рассуждаю таким образом. По некоторым оценкам, примерно четверть представителей рода человеческого испытывает такое отвращение к математике, что даже не пытаются в ней разобраться; а если на них давят (например, официант стоит над душой и нетерпеливо переминается с ноги на ногу, пока ты пытаешься высчитать чаевые) — они просто паникуют.

В худших случаях эта нелюбовь превращается в «математическую тревогу» — звучит как подходящий диагноз, но на самом деле это просто название, придуманное учеными для ощущения «о-о-о, у меня не получится», которое возникает у многих, как только нужно что-нибудь посчитать. И это всё про меня. Я почти чувствую, как опускаются психические заслонки, стоит мне увидеть какую-нибудь арифметическую задачку. Скорее всего, я не стану и пытаться ее решить и даже простейшие расчеты проведу на калькуляторе.

Но так было не всегда. Когда мне было одиннадцать, уроки математики вгоняли меня в краску по другой причине. Мой учитель математики, мистер Гриффитс, задавал очередную задачу и, проходя по рядам, сосредоточенно вглядывался в лицо каждому. Ждал ответа. В конце концов, когда тишина ему надоедала, он обращался за ответом ко мне: «Ладно, Кэролайн, избавь их от страданий». Обычно я знала ответ, но иногда притворялась, что не знаю, боясь показаться зубрилой. Но математику я тогда понимала хорошо.

Однако вскоре моя дружба с числами зачахла. Не знаю, как это произошло и почему. Я просто перестала быть лучшей в классе по математике и скатилась практически в самый конец списка. С тех самых пор я стараюсь всячески уклоняться от любых связанных с математикой задач, что мне чаще всего отлично удается.

Но так как в основе большинства (если не всех) исследований, о которых я пишу, лежат какие-то расчеты, математика проникает в мою повседневную жизнь намного чаще, чем мне того хотелось бы. Так что я решила восстановить утраченные навыки.

Вас это может удивить, но базовое понимание математики встроено в человеческий мозг — да и в мозг большинства других животных: от обезьян до крыс, собак и даже некоторых видов рыб. Животные нередко понимают разницу между «много» и «не так много» — судя по всему, этот навык очень важен для выживания, а потому сохранился в процессе эволюции.

У людей же есть дополнительное преимущество: мы умеем манипулировать абстрактными числами, превращая размытую идею числа в реальные величины. Французский нейробиолог Станислас Дихейн обнаружил, что примерные математические расчеты обрабатываются в визуальных и пространственных отделах мозга, тогда как для произведения точных вычислений в работу включаются языковые отделы. То есть гуманитарии и математики не должны ничем отличаться. А ведь это была моя любимая отговорка.

Оксфордский профессор математики Маркус дю Сатой вообще заявил, что нематематического склада ума не существует. Даже если посмотреть на людей с дискалькулией (математический аналог дислексии, которому подвержены примерно 5% популяции) — всё равно все мы математики, считает дю Сатой.

Потому что математика — это способность видеть шаблоны в окружающем мире. Вам может нелегко даваться арифметика, но выявление шаблонов — это основополагающий навык. Если он у вас есть, вы можете освоить большую часть математической программы. Дю Сатой говорит, что навык выявления шаблонов критически важен для выживания и потому он попросту культивировался в ходе эволюции.

Тем не менее, естественно, математические способности у разных людей развиты по-разному. Рои Коэн Кадош, когнитивный нейробиолог из Оксфордского университета, среди прочего интересуется причинами, которые обусловливают эти различия. Он изучает, как эти бессознательные склонности формируются в обучении, а также какие факторы влияют на математические способности (например, особенности личности, внимания и логические навыки).

Выслушав мою историю, он предположил, что причина моих математических неудач, скорее всего, кроется в недостатке уверенности в себе — и, между прочим, я уже не раз слышала, что переживания по поводу того, что не сможешь что-то сделать, забирают у мозга ресурсы, которые вообще-то могли бы помочь решить задачу. Неужели я сама себя убедила, что я так плоха в математике?

Возможно, по той же причине 54% мальчиков и 65% девочек считают математику трудной, согласно недавнему отчету Организации экономического сотрудничества и развития (OECD). Если причина действительно в этом, снова полюбить цифры будет намного проще, чем я думала. Даже не придется особенно вмешиваться в работу мозга. Рои помог мне связаться с одним из своих студентов, Амаром Саркаром, который недавно закончил исследование того, как стимуляция определенных областей мозга помогает людям справиться с отвращением к математике и обнаружить в себе скрытого математического гения.

Хотя сам Амар выражается иначе. Когда мы встретились в Оксфордском университете, он произвел на меня впечатление человека очень осторожного и сдержанного, который старается формулировать свои мысли так, чтобы из его исследования нельзя было сделать никаких преувеличенных выводов. Он подчеркивает, что мое стремление опробовать всё на себе — это не наука.

«С научной точки зрения любые полученные вами результаты будут недействительны. Но для вас это всё равно может быть интересный опыт», — сказал он. Амар — совсем молодой ученый, еще не прошедший испытание многократным неправильным цитированием в научных СМИ, и меня удивляет, как ясно он понимает: если дать журналисту неправильную информацию, тот может на весь свет раструбить, что нашелся-де исследователь, который выпускает на волю скрытых математических гениев.

Так что и мне, пожалуй, не стоит делать подобных заявлений. Но вообще-то это не такое уж и сильное преувеличение. В недавнем исследовании Амар сравнивал две группы людей: одни испытывали отвращение к математике, другие — нет. Он обнаружил, что, хотя студенты из группы с нормальным отношением к математике лучше справлялись с ней в реальной жизни, студенты с «числобоязнью» тоже неплохо выполнили задание. Их показатели были намного выше среднего, как и можно было ожидать от студентов Оксфорда, из которых по большей части состояла выборка этого исследования.

То есть их трудности с математикой были практически не связаны с истинными способностями. Тем не менее на простые вопросы о суммах (например, правда ли, что 8 + 2 = 10) люди со страхом перед математикой отвечали намного медленнее. Кроме того, показатели кортизола, гормона стресса, в крови у них были намного выше, чем у их более уверенных товарищей.

Но — и вот здесь становится действительно интересно — когда у них с помощью электрических сигналов стимулировали работу правой префронтальной коры (она находится чуть выше глаз, наверху лба, и контролирует эмоциональные реакции), это повлияло не только на уровень кортизола. Они стали отвечать на математические вопросы примерно на 50 миллисекунд быстрее.

Как уже говорила Лила Чрусику в Канзасе, 50 миллисекунд — это довольно много для психологов, хотя для реальной жизни намного важнее снижение показателей кортизола. Чем меньше в крови этого гормона, тем меньше напряжения мы ощущаем — так что такое изменение не останется незамеченным. Может ли такое простое вмешательство, небольшое снижение напряжения, действительно помочь полюбить математику? Или, по крайней мере, меньше ее ненавидеть?

Вот что я обнаружила на собственном опыте. Амар протестировал меня и заключил, что я отношусь к группе людей с математической тревогой. Он предложил мне пройти недельный курс стимуляции и когнитивной тренировки просто развлечения ради, чтобы посмотреть, повлияет ли это на мое общее отношение к математике или же только на тестовые баллы. Я пережила уже не одну процедуру электростимуляции, но нервничаю все так же.

Теперь я особенно распереживалась, когда Амар сказал, что собирается использовать более мощную и длительную транскраниальную шумовую стимуляцию (ТШЭС). Хотя ярко-голубая лента, с помощью которой электроды крепятся к моей голове, несколько меня приободрила. Я заметила, что буду похожа на участника группы Dire Straits, и поинтересовалась, знает ли Амар, кто они такие, — учитывая, что он родился через четыре года после выхода их ставшего классикой клипа на песню «Money for nothing», да к тому же вырос в Индии, где о Dire Straits, может, и вовсе не слышали.

Но Амар широко улыбнулся и сказал, что, хотя тогда они не были очень популярны в Индии, его родители обожали стадионный рок, и он вырос на музыке Брюса Спрингстина и Dire Straits. За разговорами о музыке отцов и предположениями, чем, интересно, сейчас занимается Марк Нопфлер, я узнала другого, намного менее сдержанного Амара.

Потом мы прошли давно знакомую мне рутину с контрольными измерениями: несколько страниц арифметических примеров с нарастающим уровнем сложности, и ни один из них пропускать нельзя. Плюс несколько тестов на вместительность моей оперативной памяти. И вот он подключил меня к аппарату стимуляции и пустил напряжение.

— Чувствуете, как ваши возможности расширяются? — спросил он.

— Нет. А должна?

— Нет, — таинственно ответил он.

Я приступила к выполнению тестов. На этот раз стимуляция ощущалась не так, как в Канзасе: не было никакой слабости, гудения в голове — вообще никаких изменений состояния. Может быть, дело в том, что Лила подавляла активность моей фронтальной коры, а Амар, наоборот, стимулировал ее? Возможно, легче заметить, когда мозг теряет способности, чем когда они слегка усиливаются. Но уж точно я не почувствовала никакого прилива гениальности.

Тем не менее я быстро втянулась, и как только поняла, что справляюсь с заданиями, в которых нужно ответить, верно или нет простое тождество (например, 9 × 3 = 27), я расслабилась и быстро с ними разделалась. Мне показалось, что выполнять задания проще, если проговаривать результаты вслух, так что, когда Амар вышел из комнаты, я стала тихонько бубнить примеры себе под нос.

То же самое мы повторяли на протяжении еще нескольких дней; а на второй и третий день Амар предложил мне пройти когнитивный тренинг, который использовал в своем последнем эксперименте. Его результаты еще не были опубликованы, но Амар обнаружил определенные изменения математических способностей испытуемых после тренинга.

Упражнения оказались довольно веселыми: нужно было притвориться, что я работаю на фабрике по производству роботов, и решать, что делать с очередным сошедшим с конвейера роботом. Если у него сломана рука — нажать левую кнопку; если он красный — правую. Если вокруг робота горит желтый свет, нажимать не нужно ничего.

Я поняла, что опять задействуется оперативная память и еще какие-то навыки сознательного контроля, которых мне так не хватало перед бостонскими экспериментами. Даже удивительно, насколько проще мне стало принимать подобные быстрые решения. Помню, когда я проходила тест с Бетти, мне казалось невозможным поменять свое решение, если рука уже потянулась к какой-то кнопке. Теперь же нет ничего проще.

Вряд ли это случайность: ведь почти всё, чем я занималась с тех пор, было направлено на развитие функций префронтального контроля головного мозга. И то, как я справилась с заданием с роботами, по-видимому, доказывает, что определенного успеха на этом пути я добилась. А может быть, всё дело в стимуляции, которую я в тот день получала через очаровательную резиновую шапочку.

Позже я узнала, что за всем, что происходило со мной в тот день, стоит следующая теория: развитие оперативной памяти «переходит в распоряжение» навыку, для которого она сейчас нужна (например, навыку решения арифметических примеров). Получается, мы снова вернулись к тренировке оперативной памяти, хоть и в формате более интересной игры. Наверное, уже можно не удивляться.

Я рассказала Амару, как постоянно сталкивалась с управляющими функциями мозга на своем пути. «Большая часть вашей книги — это и есть управляющие функции», — подтвердил он. После этого у меня выдался целый свободный вечер в Оксфорде, так что я направилась в один из многочисленных книжных магазинов города в надежде найти хороший справочник по математике.

Амар был не в восторге от этой идеи — в эксперимент добавится еще один фактор, на который он не рассчитывал. Но так как наши изыскания всё-таки не вписываются в рамки полноценного научного исследования, да и у меня будут всего две тренировочные сессии на фабрике роботов (вместо нескольких недель в полноценном исследовании), он мне уступил. Несколько минут занятий математикой в день вряд ли что-то серьезно изменят.

Амар сказал, что иногда изменений не видно даже после нескольких недель тренинга, потому что у некоторых они проявляются только со временем. Кстати, идея купить справочник посетила меня еще до поездки в Оксфорд. Но, во-первых, мне не хотелось искажать свои исходные результаты, начав тренироваться слишком рано, и, во-вторых, внесло свою лепту мое отвращение к математике.

Я пошла в местный книжный магазин, направилась к стеллажу со справочниками, достала книгу по математике для подростков, открыла ее на случайной странице, и… ну, там с таким же успехом могли находиться фотографии разлагающихся трупов. Я буквально отпрянула, запихала книгу обратно на полку и буквально через мгновение уже бежала домой. В Оксфорде я решила быть к себе добрее и выбрала справочник для подготовки выпускников четвертого курса.

И тем же вечером, пока ехала на поезде повидаться с другом в близлежащем городке, я испытала свои силы: один вопрос за другим, никуда не торопясь, каждый раз сверяясь с ответами. Возможно, утренняя чистка что-то изменила в моем мозгу, и, как ни странно, мне понравилось. С каждым правильным решением моя уверенность в себе росла. Я набрала 96% правильных ответов. Очень даже неплохо.

Через несколько недель Амар прислал результаты эксперимента, согласно которым мои математические навыки действительно улучшились. В контрольных тестах, где мне нужно было пробраться через несколько страниц с задачками на умножение, деление в столбик и т. п., до тренинга я набрала 98 баллов, а после — 106 (рисунок 17). Казалось бы, незначительное улучшение — но на Амара оно произвело впечатление: «Твои результаты улучшились на 8,1%. Это очень ощутимый результат, учитывая, что ты выполнила всего два подхода». Он сказал, что, основываясь на данных других исследований, практический эффект наблюдается уже при улучшении примерно на 2%.

Однако Амар не уверен, что остальные 6% как-то связаны с тренировкой: «Это всего лишь одиночное измерение, и можно найти целый ряд причин, по которым вам бы хотелось продемонстрировать улучшения в итоговых тестах». Сыграть свою роль могли и мои ожидания, и возврат к норме (странный закон статистики, в соответствии с которым полученные во второй раз баллы при любых измерениях будут ближе к среднему, чем первые, — даже вне зависимости от того, пытались вы что-то изменить или нет).

Кстати, в организации упражнений был еще один важный момент, которому я не уделила особенного внимания. Прежде чем появлялось новое уравнение, на экране вспыхивали слова с негативной или позитивной коннотацией («первичное сообщение»). В более раннем исследовании, на котором основывались эксперименты Амара, люди с высокой математической тревожностью быстрее реагировали, если первичное сообщение было негативным, например «бесполезный» или «неудача».

Эти результаты удивили исследователей, ведь обычно именно позитивное мышление помогает людям работать лучше. Но получается, что при математической тревожности результаты улучшались быстрее, если первичное сообщение было созвучно их оценке собственных способностей — даже если оно было негативным. Но, когда Амар повторил это исследование в своей лаборатории, он получил другие результаты.

На его взгляд, это могло быть связано с тем, что в его эксперименте участвовали люди обоих полов, а в оригинальном — только женщины. Ведь известно, что математическая тревожность больше свойственна женщинам, чем мужчинам. Хотя я тоже явно отреагировала нестандартно. Мое время реакции было примерно одинаковым вне зависимости от того, были слова обидными или радостными. Тот факт, что негативные первичные сообщения влияют на людей, предполагает, что они работают примерно как негативные когнитивные искажения.

Во второй главе я уже рассказала, как обнаружила, что мое внимание притягивалось к неодобрительным лицам, пропуская счастливые. Онлайн-тренинг помог мне исправить это искажение восприятия. Тренинг Амара должен помогать людям достигать подобных результатов — только в отношении своих математических способностей.

«Это будет действительно интересно… Удастся ли нам научить людей с высокой математической тревожностью получать пользу от позитивных, а не от негативных первичных сообщений?» Пока что ответ не ясен, но именно в этом заключается цель подобных исследований: помочь людям если не полюбить математику, то по крайней мере не реагировать на цифры негативно, будь то сознательно («Я не люблю считать») или бессознательно («Ой, чего это я вдруг так быстро улепетываю из математического отдела книжного магазина?»).

Амар согласен и подтверждает это, как обычно, осторожно: «Да, это был бы идеальный результат». Хотя я и не почувствовала никакого влияния позитивных и негативных слов, скорость, с которой я решала, верно или неверно приведенное уравнение, во время стимуляции увеличилась на 200 миллисекунд (рис. 18). Опять же — это очень серьезное улучшение. «Увеличение скорости на 200 миллисекунд при сохранении точности ответов — это огромное достижение. Для сравнения: среднее увеличение скорости в моем предыдущем исследовании составило порядка 50 миллисекунд», — сказал Амар.

Опять же, в отношении этих результатов может возникнуть много возражений. В частности, вот что написал Амар в комментарии к результатам: «Самое важное — твои показатели во время второго подхода были намного лучше, чем во время первого. Конечно, вовсе не обязательно, что это было связано исключительно со стимуляцией. Чтобы действительно определить, в стимуляции ли дело, нам нужно было бы собрать еще около 120 участников, 60 из которых выполняли бы такие же задания со стимуляцией, а другие 60 — с плацебо. И только если улучшения вследствие настоящей стимуляции были бы значительно больше, чем при ее отсутствии, мы могли бы сказать, что этот эффект вызван именно ей».

Мы не измеряли уровень кортизола, поэтому я не знаю, ослабла ли после стимуляции стрессовая реакция на уравнения, как у волонтеров из исследования Амара. Хотя после тестирования я намного меньше обычного переживала о результатах. Впрочем, это вполне может быть связано с тем, что я уже ознакомилась с заданиями и знала, что могу справиться с некоторыми из них, а может, даже и с подавляющим большинством.

И 96% правильных ответов в повторном тестировании только укрепили мою уверенность в себе. Но, вообще-то говоря, не так уж важно, что именно помогло мне меньше бояться тестов: стимуляция или решение математических задачек. Как верно подметил Амар, занятия математикой и есть стимуляция мозга. Иными словами, подключаться к электродам вовсе не обязательно, хотя, по-видимому, это помогает.

Не важно, что запускает этот процесс. Но как только ваша уверенность в своих силах начинает расти, она запускает благотворный цикл. Если верить Амару, вполне возможно улучшить свои математические способности без каких бы то ни было усилий. Кстати, перед очередным моим тестированием он признался, что раньше ужасно боялся всего, что связано с математикой, — для человека, мечтающего о научной карьере, качество очень вредное.

Но, к счастью, эту проблему он ликвидировал. «Как ты этого добился?» — спросила я в надежде услышать слова мудрости, которые укажут мне дальнейший путь. Он улыбнулся, зашел в лифт и ответил: «Я занимался». Тренировался, значит. То есть в математике не нужны никакие высокие технологии. Редактор Шон был всегда прав: мне просто нужно было избавиться от фатализма насчет «мозга гуманитария» и тренироваться.

Кстати говоря, это заставило меня вспомнить о стиле мышления, направленном на развитие, на упоминание о котором я наткнулась в обсуждениях тренингов оперативной памяти. Способность людей получить пользу от когнитивного тренинга очень сильно влияла на их представления о том, возможно ли в принципе добиться улучшений, вне зависимости от их исходных способностей.

Но, с другой стороны, если вы не будете верить, что ваши навыки можно развить, то вряд ли будете тратить на это время, — и постепенно ваши представления о том, что вы плохи в какой-то области, подтвердятся. Всё же какой-то эффект стимуляция дала, и мне до сих пор интересно, на что именно она влияет. После поездки в Оксфорд я позвонила Рои Коэну Кадошу, боссу Амара и ведущему авторитету в области неинвазивной стимуляции мозга.

«Это действительно хороший вопрос, — отвечает он, подразумевая тем самым, что никому это не известно. — Я могу сказать, что, как мы думаем, происходит…»

«Некоторые исследования показали, что можно корректировать нейрохимию мозга — иногда такие результаты как раз связывают с понятием нейропластичности. А еще можно влиять на способность разных областей мозга взаимодействовать и на потребление кислорода и метаболитов», — сказал он.

Но происходит ли всё это одновременно, или что-то одно запускает эффект домино в изменении мозга? «Сложно сказать. Возможно, происходит одновременное воздействие на мозг с разных сторон», — ответил он. Кроме того, стимуляция может воздействовать на частотность мозга, переключая его на частоту сконцентрированного размышления. Например, если настроить стимулирующий аппарат на частоту в 40 герц, мозг может подстроиться под нее.

Гамма-волны включаются, когда мы сильно концентрируемся и направляем всю нашу психическую энергию на решение ментальных задач. Так ли иначе, согласно основной теории, стимуляция усиливает активность отдела, который находится под электродом. Так как отдел, на работу которого был нацелен наш эксперимент, — дорсолатеральная часть префронтальной коры — участвует в управлении негативными эмоциями, возможно, именно это помогло лучше справиться с упражнениями.

А еще это могло бы объяснить, почему стимуляция префронтальной коры помогает людям с математической тревожностью. Если они отвечают медленнее из-за того, что помимо проверки правильности уравнения 8 + 6 = 12 в их мозге прорабатывается эмоциональная реакция, немного дополнительной энергии для работы мозга действительно может решить проблему.

В таком случае важнее всего максимально приглушить автоматическую реакцию «О не-е-ет!» и заставить мозг включиться в работу. Устраните это препятствие, и вы освободите психические мощности, которые можно будет направить на решение уравнений. А навязчивая реклама тренировки и стимуляции мозга часто обманывает нас: дело далеко не всегда в том, чтобы обрести дополнительные мыслительные мощности.

Намного важнее высвободить способности, которые у вас уже есть, снять блоки, которым нечего делать в вашей голове. Стимуляция мозга в таком случае — процесс совсем не обязательный, хотя в последнее время и появились доказательства ее эффективности. Недавно команда Рои Коэна Кадоша (правда, Амар в нее не входил) обнаружила, что выполнение математического тренинга привело к улучшению результатов у всех здоровых волонтеров, но дополнительная транскраниальная электростимуляция позволила участникам одной из групп значительно превзойти результаты тех, кто не получал никакой стимуляции.

Теперь я не понаслышке знаю, что дает электрическая стимуляция мозга, и понимаю, почему более смелые люди, чем я, думают, что было бы полезно проводить такие процедуры дома. Когда видишь, как ученый макает губку в соленую воду, кладет ее примерно туда, где внутри твоей головы должен располагаться нужный отдел мозга, закрепляет губку повязкой и врубает ток, — эта процедура совсем не кажется сложной.

Так почему бы не повторить ее дома? Тем более раздобыть аппарат для ТЭС сегодня проще простого: для этого достаточно иметь доступ в интернет и пару сотен фунтов. В чем проблема? Ну, как минимум исследование Амара показало, что иногда стимуляция может только ухудшить положение дел. В его эксперименте реальную пользу от стимуляции получили только испытуемые, которые буквально ненавидели математику.

Уверенные в себе люди после пропускания тока через префронтальную кору замедлялись и теряли способность удерживать уровень кортизола на низком уровне не-боязни математики. Кроме того, волонтеры из обеих групп после стимуляции хуже прошли стандартизированный тест на удержание внимания. Так что да, привязать батарейку к своей голове вам никто не мешает. Просто нужно помнить, что при этом вы рискуете вместо сообразительности и уверенности в себе почувствовать заторможенность и раздражительность.

«Бесплатный сыр бывает только в мышеловке. Усиление одних процессов зачастую происходит за счет других», — подтвердил Амар. Рои также отметил: большинство исследований проводятся на большой выборке, после чего полученные данные объединяются, и такие маленькие различия просто ускользают от внимания исследователей. В результате вопрос о побочных эффектах ТЭС практически не поднимается ни в научных кругах, ни среди представителей рынка устройств для домашней электростимуляции.

Кроме того, сохраняется возможность, что участок мозга, нуждающийся в стимуляции, изменится в ходе обучения, — с этим вопросом не разобрались еще даже ученые, что уж и говорить о любителях домашней стимуляции. Рои и его команда проверяют гипотезу о том, что стимуляция полезна на ранних стадиях обучения, потому что помогает поддержать сознательное стремление учиться; но, когда навыки укрепляются и информация в основном извлекается из памяти, стимуляция теменной доли могла бы принести больше пользы.

Но, что еще важнее, подчеркнул Рои, нет никаких доказательств того, что ежедневное использование ТЭС или любой другой электростимуляции на протяжении месяцев принесет вам пользу — и даже того, что это безопасно. Чтобы проверить это, нужно было бы проводить стимуляцию больших групп людей в течение месяцев и очень пристально наблюдать за каждым из участников. «Я бы не взялся руководить таким исследованием. Мне и свой-то мозг три месяца стимулировать не хотелось бы. Уж тем более я бы не стал так экспериментировать над другими людьми!» — сказал он и криво улыбнулся.

В общем, на его взгляд, причин относиться к электростимуляции с осторожностью более чем достаточно: «Мы не знаем, кому она подходит, кто получит от нее больше пользы. Мы не знаем, безопасно ли применять этот метод длительное время. Судя по всему, стимуляция сама по себе не слишком эффективна — и если вы хотите добиться долгосрочных результатов, а не улучшить свои навыки на пару минут, нужно проводить ее одновременно с когнитивными тренингами.Так что, принимая все это во внимание, я не стал бы говорить: “А знаешь что? Пойдем попробуем!”»

И я доверяю суждениям Рои — особенно после его рассказа, сколько раз ему предлагали заработать на том, чтобы поставить свое имя под аппаратом для домашней ТЭС; но до сих пор ему удавалось противостоять искушениям. «Мне кажется, что на данный момент это неправильный подход. Сначала нужно подробнее изучить вопрос». Рои выступает за ограничение коммерческого распространения наборов для домашней электростимуляции, которые до сих пор не относятся к категории медицинских устройств, так что процесс их разработки и проверки фактически не попадает под медицинское законодательство.

Аналогичным образом БАДы не считаются лекарственными средствами, а потому, если производители не делают громких заявлений об их медицинских свойствах, не так строго контролируются. Получается, во всем мире фактически проводится эксперимент на живых людях, но никто за ним не следит и не контролирует его безопасность. Ну и последнее, что хотелось бы сказать о стимуляции мозга. Я так или иначе касалась этого вопроса при каждой своей попытке изменить мозг.

Нужно принять неоспоримый факт: никому из нас не стать сверхчеловеком. Людям моего склада нравится думать: «Ага, раз существует нейропластичность — нужно ею воспользоваться». Но доказанное воздействие «когнитивного усовершенствования» скорее связано с оттачиванием индивидуальных различий, основанных на генетической предрасположенности и жизненном опыте.

Никому из нас не суждено превратиться в суперкомпьютер (или, как в одном из своих докладов сформулировал Рои, ничто не сможет перенести нас за «типичный для нашего вида нормальный уровень функционирования»). Точно так же, сколько бы белка я ни ела в детстве, я бы никогда не выросла выше 160 сантиметров (похоже, это генетически обусловленный предел роста для женщин моей семьи). Мозг пластичен, но у этой пластичности есть ограничения.

Учитывая всё сказанное выше, стоило ли мне вообще проходить все эти математические тренинги, если с повседневными задачами отлично справляется калькулятор в моем телефоне? Я считаю, что да. Они помогли мне набраться уверенности в себе и понять, что способности у меня есть — они ждут своего часа и готовы раскрыться, стоит мне преодолеть отвращение и научиться наслаждаться разгадыванием задачек.

Так я подошла к логическому мышлению. Этот навык связан с математическим мышлением, но не тождественен ему. Как и в математике, да и практически в любой области, которую я изучала при создании этой книги, людям не всегда бывает просто добиться успеха в этой сфере. Логическое мышление связано с управляющими функциями мозга (и особенно с оперативной памятью), без которых невозможно сознательно удерживать ход мысли, чтобы прийти к логическому заключению.

Я обрадовалась, когда узнала, что мне не нужно менять свой мозг, чтобы подружиться с математикой, — достаточно было просто понять, что где-то глубоко внутри меня есть большой потенциал, пока погребенный под толстым слоем низкой самооценки. И теперь мне интересно, сработает ли это и в отношении логического мышления (и не только потому, что раз уж мои математические навыки в порядке, то с логическими тоже все должно быть хорошо).

Нет смысла отрицать — я всегда была человеком довольно эмоциональным (см. главу 2). И эта основополагающая характеристика моей личности часто становилась причиной конфликтов с отчимом, который превыше всего ценил логику. Я давно сбилась со счета, сколько раз он говорил мне, что бессмысленно о чем-то переживать и нервничать — нужно просто не торопясь все логически обдумать. Если решение кажется логичным, оно должно быть правильным.

Возможно, он всегда так рассуждал, потому что сам вырос в семье сержант-майора военной полиции. А может, в его жилах текла кровь вулканцев (жители планеты Вулкан, руководствующиеся исключительно логикой, персонажи сериала Star Trek. — прим. ред.). В любом случае, мы с ним часто не соглашались по поводу того, чем лучше руководствоваться, принимая решения: эмоциями или логикой.

Вообще-то есть достаточно серьезные доказательства того, что эмоции — не самый плохой ориентир. Определенная область префронтальной коры связывает эмоциональную и логическую информацию в ходе принятия решений. В исследованиях, в которых участвовали люди с повреждениями этих участков головного мозга, обнаружилось следующее: когда им предлагали выбрать один из двух вариантов и логически определить, какой из них лучше, было невозможно, они просто не могли принять никакого решения.

Когда логических причин предпочесть то или иное решение нет, мы всегда полагаемся на эмоции. Без эмоционального «нутром чую» мы бы просто потерялись в жизни. С другой стороны, исследования показали, что, когда нам нужно принять рациональное решение в отношении людей или объектов, которые мы любим, эмоции только мешают, подталкивая нас к откровенно плохим решениям.

Мне невольно вспомнились эксперименты с Амаром в Оксфорде, когда я так боялась математики, что не могла даже думать о стоящих передо мной задачах. Эмоции могут встать на пути развития вашего математического мышления — и логического, скорее всего, тоже. Так что, по-видимому, непросто выбрать: логика или эмоции. В идеале нам нужно и то и то. Не стоит также забывать, что существуют подсознательные искажения, которые влияют даже на самые логические решения, нравится нам это или нет.

Исследователи из проекта «Подразумеваемое» Гарвардского университета пытаются измерить эти искажения с помощью онлайн-тестов на сайте projectimplicit.com. Эти короткие тесты сразу же после заполнения предоставляют результаты того, как бессознательные искажения могут окрашивать процесс принятия решений. По-моему, они очень даже разоблачительны. Я всегда думала, что не считаю продукты с высоким содержанием жира априори вредными, — ведь, рассуждая логически, понимаю: все хорошо, что в меру.

И принимать повседневные решения стараюсь в соответствии с этим. Я не вижу ничего плохого в том, чтобы съесть чипсы или шоколадку, если очень хочется. Но по результатам теста, который измеряет отношение к продуктам питания, я очень сильно ассоциирую слова наподобие «позорный», «отвратительный» и «неприемлемый» с жирной пищей (пирожные, печенья), а слова «здоровый», «успех» — с нежирной едой (фрукты, овощи).

И хотя сознательно я в общем равнодушна ко всем религиям, согласно другому тесту из этого проекта я намного позитивнее отношусь к буддизму, чем к христианству, и намного хуже — к иудаизму и исламу. Я задумалась: как это может влиять на мою повседневную жизнь? Неужели я — латентный исламофоб? Или это газетные заголовки пробрались в мою голову, несмотря на все мои леволиберальные убеждения? Или, может быть, христианство и буддизм попали на вершину списка благодаря христианской школе и моему недавнему роману с йогой и медитацией?

Хотя не все выявленные скрытые убеждения удивили меня так же сильно. Я с удовольствием увидела подтверждение того, что одинаково отношусь к женщинам и мужчинам и в плане ведения домашнего хозяйства, и в профессиональной жизни; у меня нет предубеждений по поводу женщин-ученых (возможно, это обусловлено тем, что я общаюсь со многими исследователями-психологами, а в психологии женщин намного больше, чем в других областях науки). А по результатам теста на «отношение к гомосексуальности» со словами вроде «радостный» и «милый» я даже чаще ассоциировала геев, чем людей с традиционной сексуальной ориентацией.

Точно не известно, насколько эти скрытые искажения восприятия влияют на нашу повседневную жизнь. Однако это исследование строится на гипотезе, что, когда наши убеждения противоречат доказательствам, которые мы встречаем, мы склонны поступать неразумно — лишь бы оправдать собственные убеждения. Вот почему люди придерживаются теорий заговора, даже когда им представляют прямые доказательства обратного.

И единственный способ справиться с подобными убеждениями — вытащить их на свет и хорошенько обдумать. Настоятельно рекомендую вам попробовать — это очень увлекательный процесс. «Познай самого себя» — слова, которые снова и снова всплывали у меня в голове, пока я пыталась развивать разнообразные навыки. Если знаешь свои ограничения и понимаешь, чем они обусловлены, намного проще справиться с любыми проблемами, которые лежат в их основе.

Вот почему я решила пока не проходить тренинг логического мышления. Начиная этот проект, я думала, что мои эмоциональные нервные цепи в достаточной степени развиты, так что мне нужно всего-то развить логические — и в моей жизни воцарится баланс и гармония. Но теперь я в этом не уверена.

Мне вспоминаются слова Джона Куниоса, исследователя креативности, с которым я встретилась в Филадельфии. В его исследовании люди делились на две группы, и в основе этого деления лежал предпочитаемый ими подход к решению проблемы. Некоторые люди попали в группу «аналитиков» — они склонны решать проблемы медленно, постепенно продумывая все варианты. Куниос обнаружил, что у них несколько выше активность левого полушария (судя по всему, в стереотипе «левое полушарие = логика» есть доля истины).

Людей из другой группы Куниос называет «интуитами»; они решают проблемы, ориентируясь на свой внутренний голос. Кроме того, в состоянии покоя у них активнее работает правое полушарие. Этот метод кажется менее системным, потому что до тех пор, пока верное решение не придет в голову в момент озарения, им в общем-то нечем похвастаться. Куниос утверждает, что существуют экспериментальные доказательства того, что эти склонности наследуются и устойчиво сохраняются с течением времени.

То есть мы рождаемся логичными или креативными — и остаемся таковыми на протяжении жизни. В Канзасе в лаборатории Лилы Чрусику я прошла много тестов на творческое мышление и несколько — на проницательность. Не хочу себя расхваливать, но мои результаты по всем из них были намного выше среднего. Мы не измеряли активность моего правого полушария в состоянии покоя, но все остальные результаты указывают на то, что я — человек скорее интуитивный, чем логический вулканец.

Так нужно ли мне становиться более логичной? Думаю, так я рискую уйти слишком далеко от своего истинного «Я». Некоторые свои особенности я изменила с радостью (неудивительно, что в их ряды попали тревога и отвлекаемость). Но даже несмотря на то, что можно перевести мои креативные склонности в режим ручного управления и более логично подходить к жизни, я не уверена, что мне этого хочется — ведь мне так нравится быть писателем…

Но мне есть чем порадовать тех, кто всё же хочет развить навыки логического мышления, — есть доказательства, что, если вы много времени посвятите решению логических проблем (и будете находить правильные ответы), это изменит физическую структуру вашего мозга.

Исследования Калифорнийского университета в Беркли показали: когда потенциальные студенты юридического факультета проходили короткий курс логического мышления в рамках подготовки к сдаче вступительного экзамена для юридических вузов (LSAT), всего за десять недель между их фронтальными и теменными долями появлялось больше связей.

А именно эти области отвечают за логический ход мыслей. Волонтерам предлагали на протяжении десяти недель каждый день решать логические головоломки. Слишком много времени для человека, который, как я, не уверен, что действительно заинтересован в получении результата. В любом случае, я всё же позвонила Сильвии Бандж, ведущему специалисту этого исследования — и она сказала, что всё равно не смогла бы меня принять.

Так что я не могу посоветовать вам чего-то более конкретного. Но если вы хотите попробовать, поищите документы по подготовке к LSAT в интернете. А я нашла и опробовала другие онлайн-тесты на логическое мышление, наподобие тех, что любят использовать работодатели, чтобы пытать исполненных лучших побуждений выпускников вузов.

Результаты я показала очень даже средненькие — не плохие, но и не выдающиеся. И знаете что? Меня это вполне устраивает. Еще я осознала кое-что интересное, когда рассказывала другу о своем решении оставить в покое свои логические способности. Если я предпочла не тренировать свой мозг в этом направлении, потому что боюсь добиться слишком серьезных результатов, — значит, я действительно верю, что перепрограммировать мозг можно.

Начиная этот проект, я думала, что найдутся хотя бы какие-то области, добиться изменений в которых будет невозможно. Но я вынуждена признать: мой мозг адаптировался к каждому испытанию, которое я для него придумала. Для достижения одних изменений нужно было всего лишь поменять свой образ мыслей; другие требовали тренировки; третьи — принятия того, что мне и так дано, или победы над бессознательными искажениями, о которых я даже и не догадывалась. Но какой бы путь к изменению я ни выбрала, результаты всегда говорили об одном: работай над тем, что хочешь изменить, и через несколько недель ты увидишь результаты.

Прочистка ржавых шестеренок математического мышления

Три простых шага

По мере возникновения потребности повторяйте шаги 1-3.

Профессор математики из Оксфорда Маркус дю Сатой утверждает, что понятие «нематематический склад ума» ошибочное. Не бывает людей, которым не дана математика. Бывают люди, плохо ее знающие и не желающие уделять время ее изучению. Он считает, что именно благодаря математике человек способен видеть стандарты мира, который его окружает. В этой статье вы прочтете о том, как научиться решать задачи, даже если не любишь математику.

Продуктивность мозга

Исходя из определенных данных, 1/4 часть населения планеты в отношениях с математикой на «вы». Поэтому в ситуациях, когда необходимо что-то быстро посчитать, и при этом над душой кто-то стоит, такие люди впадают в паническое состояние. Ученые даже смогли придумать подходящий диагноз такому поведению — математическая тревога.

Возможно, для кого-то это станет открытием, но способность понимать математику заложена в мозг человека природой. Есть мнение, что с математикой дружат даже многие животные. Нейробиолог Станислас Дихейн отметил, что обработка примерных математических расчетов происходит в пространственных, а также визуальных отделах мозга. А вот если речь идёт о точных вычислениях, тут уже подключается языковой отдел. То есть, человек, который больше направлен на гуманитарные науки, и математик абсолютно ничем не отличаются.

Если же вернуться к Маркусу дю Сатой, то он говорит о том, что человек может не разбираться в арифметике, но выявление шаблонов является неотъемлемым знанием, важным для выживания. Если такой навык у вас есть, большую часть математической программы вам под силу освоить.

Математика и неуверенность в себе

Несмотря на все исследования и доказанные факты, все же математика дается абсолютно по-разному каждому человеку. Один из нейробиологов Оксфордского университета изучает причину отличительных способностей и то, как это изменить. Существует мнение, что неудачи на математическом поприще могут быть тесно взаимосвязаны с неуверенностью в себе, так как размышления о собственных недостатках забирают множество ресурсов мозговой активности. Если же причина непонимания математики заключается именно в этом, значит полюбить цифры станет в разы проще.

Одним из студентов Оксфордского университета было проведено исследование, в ходе которого выяснилось, что при стимуляции определенных областей мозга человек может начать активно развивать свои способности и отлично выучить математику. Так, студент сравнил две группы людей, одна из которых любит математику, а другая ненавидит. Он отметил, что любители математики справились с заданием лучше, но и другие неплохо проявили себя. В ходе исследования выяснилось, что студенты, которые не очень любят математику, были менее уверены в себе, и уровень гормона стресса в их организме существенно превышал, чем у их более удачливых соперников. Однако когда у них начали стимулировать область правой префронтальной коры, уровень гормона стресса снизился, и они начали быстрее отвечать на вопросы.

Во время тестирования, непосредственно перед самой проверкой на большом экране для испытуемых выскакивали первичные сообщения с негативным или позитивным посылом. Как показало такое исследование, люди с развитой тревожностью более активно реагировали именно на сообщения с негативным посылом. Такой результат удивил исследователей, ведь обычно именно позитивный настрой способствует лучшей работе мозга.

Стоит также отметить, что положительное влияние на способность решать примеры оказывает и само решение задач, например, путешествуя, вы можете решать простые примеры. Используя такой способ, ваш мозг становится закаленным, и вы уже не испытываете такого страха перед цифрами.

Математика для всех

Неизвестно, что лучше влияет на работу мозга в области математики — стимуляция или решение задач. Но стоит помнить, что совсем не сталкиваться с математикой у вас не получится, поэтому лучше знать, как делать простую разминку для улучшения способностей. Независимо от того, школьник вы или взрослый, старайтесь ежедневно тренироваться, чтобы вспомнить базовые моменты в области математики. Возможно, поначалу у вас будет все получаться достаточно скомкано, но помните, что это может быть лишь сигналом о вашей низкой самооценке.

Если вы все еще думаете, что относитесь к числу людей-гуманитариев, тогда скорее берите в руки учебник и начинайте решать элементарные примеры. Вы заметите, что боязнь чисел не настолько велика. Курс «Развитие мышления» от Викиум научит выполнять сложные арифметические действия в уме.