Закон сложения случайных ошибок

Среднее квадратическое
отклонение

случайной величины
(сокращенно
с. к. о.). Это положительное значение
квадратного корня из ее дисперсии

где D
— дисперсия,
т. е. второй центральный момент случайной
величины, а р(х)
— плотность
распределения, X_ц
– координата центра распределения..
Для определения оценки дисперсии по
экспериментальным данным пользуются
соотношением

где x_i—значения
отдельных отсчетов; п—объем
выборки.

Отсюда оценка с.
к. о. определяется как

Основным достоинством
оценки разброса случайных величин
средним квадратическим значением

является возможность определения
дисперсии суммы статистически независимых
величин независимо от разнообразия
законов распределения каждой из
суммируемых величин и деформации законов
распределения при образовании композиций.

Таким образом для
того, чтобы отдельные составляющие
погрешности средств измерений можно
было суммировать расчётным путём, они
должны быть предварительно представлены
своими средними квадратическими
значениями ,
а не максимальными _m
или доверительными _д
значениями. При этом открывается
возможность расчётным путём не только
складывать любое число составляющих
погрешности, что необходимо при анализе
точности косвенных измерений или сложных
измерительных устройств, но и достаточно
точно вычитать погрешности, что необходимо
при синтезе методов измерений или
сложных устройств с заданной результирующей
погрешностью. Действительно, если
,
то.
Это правомерно для независимых случайных
величин.

Из предыдущего
следует, что
.
В случае сложения не двух, а большего
числа дисперсий или с.к.о. независимых
случайных величин закон сложения будет
таким же. Следует обратить внимание на
то, что как вы уже убедились, для нахождения
суммарной погрешности следует складывать
не сами погрешности, а их квадраты. В
том случае. Если мы складываем вероятности,
то закон сложения будет тем же..

Из закона сложения
погрешностей следуют два очень важных
вывода. Первый относится к роли каждой
из погрешностей в общей погрешности
результата. Он состоит в том, что значение
отдельных погрешностей очень быстро
падает по мере
их уменьшения.
Поясним сказанное примером: пусть X
и Y
— два слагаемых, определенных со средними
квадратическими погрешностями _x
и _y
, причем
известно, что _y.
в два раза меньше, чем _x.
Тогда погрешность суммы Z=X+Y
будет

Откуда
.
Следовательно, если одна из погрешностей
в два раз меньше другой, то общая
погрешность возросла за счет этой
меньшей погрешности всего на 10%, что
обычно играет очень малую роль. Это
означает, что если мы хотим повысить
точность измерений величины Z,
то нам нужно в первую очередь стремиться
уменьшить ту погрешность измерения,
которая больше, т.е. погрешность измерения
величины X.
Если оставим точность измерения Х
неизменной, то, как бы мы ни повышали
точность измерения слагаемого Y,
нам не удастся уменьшить погрешность
конечного результата измерений величины
Z
более чем
на 10%.

Этот вывод всегда
нужно иметь в виду, и для повышения
точности измерений в первую очередь
уменьшать погрешность, имеющую наибольшее
значение. Конечно, если слагаемых много,
а не два, как в нашем примере, то и малые
погрешности могут внести заметный вклад
в суммарную погрешность.

Если нужная нам
величина Z;
является разностью двух независимо
измеряемых величин Х
и Y,
то из выражения для суммы с.к.о. следует,
что ее относительная погрешность

где X,
Y,
Z
– погрешности измерений величин X,
Y,
Z.

Очевидно, что она
будет тем больше, чем меньше
,
и относительная погрешность возрастает
до бесконечности, еслиX
стремиться к Y.

Это означает, что
невозможно добиться хорошей точности
определения какой-либо величины, строя
измерения так, что она находится как
небольшая разность результатов
независимых измерений двух величин,
существенно превышающих искомую. В
противоположность этому относительная
погрешность суммы

очевидно не зависит
от соотношения величин X
и Y.

Следующий вывод,
вытекающий из закона сложения погрешностей,
относится к определению погрешности
среднего арифметического. Следует
отметить, что среднее арифметическое
из ряда измерений числом n
отягощено меньшей погрешностью, чем
результат каждого отдельного измерения.
Запишем этот вывод в количественной
форме. Пусть x₁,
x₂,
x_n
результаты отдельных измерений, причем
каждое из них характеризуется одной и
той же дисперсией D
. Образуем
величину Y
, равную

Дисперсии этой
величины D_y
определяются в соответствии с формулой
сложения дисперсий

как

Но у
, по определению, это — среднее арифметическое
из всех величин x_i
и мы можем написать

(13)

Средняя квадратическая
погрешность среднего арифметического
равна средней квадратической погрешности
отдельного результата измерений,
деленной на корень квадратный из числа
измерений. Это — фундаментальный закон
возрастания точности при росте числа
наблюдений. Мы его уже обсуждали в
разделе 5.1. Из него следует, что, желая
повысить точность измерений в 2 раза,
мы должны сделать вместо одного — четыре
измерения; чтобы повысить точность в 3
раза, нужно увеличить число измерений
в 9 раз, и, наконец, увеличение числа
наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному
увеличению точности измерений.

Разумеется, это
рассуждение относится лишь к измерениям,
при которых точность результата полностью
определяется случайной погрешностью.
В этих условиях, как уже указывалось,
выбрав n
достаточно большим, мы можем существенно
уменьшить погрешность результата. Такой
метод повышения точности широко
используется. Отметим, что повышение
точности измерений целесообразно
производить таким способом в том случае,
если погрешность измерительного средства
намного превышает цену деления шкалы
отсчёта. В этом случае погрешность можно
свести к значению цены деления. Очевидно,
что получить точность выше цены деления
не представляется возможным т.к. при
отсчёте показаний округления производятся
до целых делений шкалы. С помощью такого
приёма легко снизить погрешность от
вариации показаний.

При практической
работе очень важно строго разграничивать
применение средней квадратической
погрешности отдельного измерения _i
и средней квадратической погрешности
среднего арифметического

Последняя применяется
всегда, когда нам нужно оценить погрешность
того значения, которое мы получили в
результате всех произведенных измерений.

В тех случаях,
когда мы
хотим
характеризовать точность применяемого
способа измерений, следует использовать
погрешность _i
, если n,
достаточно велико.

Приведем примеры пользования результатами
таблицы. Пусть для некоторого ряда измерений получили  =20,
σ =2. Какова вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за
пределы, определяемые равенством 17 < х_i < 23?
Доверительные границы равны ± 3, что составляет в долях σ -1,5. Из таблицы 3.1
находим, что доверительная вероятность для ε = 1,5 равна 0,87. Иначе говоря,
87% всех измерений уложится в интервал погрешности ± 3 .

Сформулируем вторую задачу, какой
доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы 99% результатов
попала в него? По таблице 3.1 находим, что значению α =0,99 соответствует значение
ε =2.6, следовательно, доверительный искомый интервал равен Δх = ε*σ  = 2,6*
2=5,2.

Таким образом, для нахождения случайной
погрешности нужно определи  два числа — доверительный интервал /величину
погрешности/ и доверительную вероятность. Средней квадратичной погрешности σ
соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной
погрешности 2σ — доверительная вероятность 0.95; утроенной /Зσ/ — 0.997.

Приведенные три значения α полезно
запомнить, так как обычно в литературе дается значение средней квадратичной
погрешности и не указывается соответствующая ей доверительная вероятность.

Наряду со среднеквадратичной погрешностью
иногда используется погрешность среднеарифметическая, вычисляемая по формуле

;       

При большом числе наблюдений r_п
и S_П существуют простые соотношения

S_П =1.25 r_П;       
 r_П  = 0.80 S_П

Известным преимуществом средней
арифметической погрешности является сравнительно простой способ ее вычисления. Если
пользоваться средней арифметической погрешностью и при малой n, то правильнее
ее вычислять по соотношению

СЛОЖЕНИЕ
СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Предположим, что измеряемая величина Z
является суммой /или разностью/ двух величин Х и Y, результаты измерений
которых независимы. Тогда, если , —
дисперсия величин Х и Ү, то дисперсия измеряемой величины   будет равна

  =+   или    =

Если Z является суммой не двух, а
большего числа слагаемых — закон сложения погрешностей будет таким же.

Таким образом, средняя квадратичная
погрешность суммы /ила разности/ нескольких независимых величин равна корню квадратному,
из суммы дисперсий отдельных слагаемых. Необходимо твердо помнить, что для
нахождения суммарной погрешности нужно складывать не сами погрешности, а их квадраты
и извлечь квадратный корень.

Из закона сложения погрешностей следует
два важных вывода. Первый из них относится к роли каждой из погрешностей в
общей погрешности результата. Поясним сказанное на примере: пусть Х и Y два
слагаемых, определенных со средней квадратичной погрешностью   и , причем
 в два раза  меньше.
Тогда ошибка суммы будет

  =+=+;     

Иначе говоря, если одна из ошибок в два
раза меньше другой, то общая погрешность возросла за счет меньшей из
погрешностей всего на 10%. Это означает, что если необходимо повысить точность
измерения величины Z, то нужно в первую очередь стремиться уменьшить ту
погрешность измерения, которая больше. Если оставить точность измерения Х
неизменной, то, как бы мы не повышали точность измерения Y, погрешность
конечного результата не удастся уменьшить более чем на 10%. Этот вывод нужно
иметь в виду и при повышении измерений в первую очередь уменьшать погрешность,
имеющую наибольшую величину.

Второй вывод, вытекающий из закона
сложения погрешностей, относится к определению погрешности среднего
арифметического. Среднее арифметическое оточено меньшей ошибкой, чем результат
каждого отдельного измерения. Покажем это. Пусть х₁,х₂,…,х_n
— результаты отдельных измерений, каждое из которых характеризуется дисперсией
σ². Среднее арифметическое всех измерений можно представить в виде

В соответствии с законом сложения
погрешностей дисперсию величины Y можно найти как

Но Y и есть среднее арифметическое из всех величин х_i,
поэтому

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

При косвенных измерениях нужный нам результат обычно отягчен случайными погрешностями, различными для разных величин Х- ,от которых зависит интересующая нас величина V Результирующая погрешность и в этом случае определяется с помощью уже известного нам закона сложения случайных погрешностей. Вычисление удобнее выполнять, пользуясь относительными погрешностями.
 [c.63]

Такое арифметическое суммирование случайных погрешностей приводит к получению преувеличенного значения общей погрешности. Поэтому, следуя правилу суммирования случайных величин, их сложение производим по закону квадратного корня Имеем  [c.206]

Учет рассеивания параметров механизма. При суммировании износов звеньев механизма необходимо учитывать дисперсию процесса изнашивания, а также рассеивание размеров звеньев механизмов, если рассматривается их совокупность. Последнее связано с технологическими допусками на размеры и форму изделий. Поэтому, как это указывает акад. Н. Г. Бруевич [18, первичная ошибка каждого звена складывается из погрешности его изготовления (случайная величина для данного типа механизмов и неслучайная— для конкретного экземпляра) и из изменения её в процессе изнашивания [см. формулу (17) гл. 4, п. 3]. При оценке изменения работоспособности многозвенного механизма при износе его звеньев часто возникает необходимость определения не только средних значений изменения положения ведомого звена, но и дисперсии или пределов изменения значения А. В этом случае алгебраическое сложение должно заменяться вероятностным. При независимости износов используется соответствующая теорема сложения дисперсий, а поле рассеивания (размах) значений А может быть подсчитано как корень квадратный из суммы квадратов соответствующих размахов первичных ошибок звеньев. Если известны законы рассеивания первичных ошибок, то могут быть использованы зависимости, применяемые в технологии машиностроения для расчета погрешностей сборки механизмов.
 [c.341]

Определение суммарной погрешности и метода измерения должно производиться в соответствии с правилами суммирования независимых случайных величин и с учетом характеристик рассеивания отдельных составляющих. Но распределение этих составляющих погрешностей (погрешности показаний прибора, температурные погрешности, погрешности установочных мер и др.), как правило, подчиняется нормальному закону, следовательно, и сумма подчиняется нормальному закону, поэтому для характеристики рассеивания суммарной погрешности метода достаточно установить значение з в результате квадратического сложения по формуле
 [c.73]

Определение случайной составляющей суммарной погрешности метода измерения, крторая зависит от ряда независимых ошибок, производится по закону сложения независимых случайных величин  [c.132]

Считая погрешности отдельных параметров величинами малыми по сравиению с величинами самих параметров и полагая их величинами случайными, подчиняющимися закону Гаусса, на основании свойства сложения дисперсий получим
 [c.51]