Прямоугольником называется четырехугольник у которого противоположные стороны равны где ошибка

Государственное
бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области

«Братский педагогический колледж»

Учебно-методический
комплекс для специальности: 44.02.02 Преподавание в начальных классах

Практическое занятие по теме:
Математические понятия

Тема: Определение родовых отношений между
понятиями. Решение задач на распознавание понятий

Цель: На основе
систематизации теоретических знаний о видах и структуре определений понятий
раскрыть логико-математическую структуру типичных для школьного курса
математики определений понятий; освоить основные учебные действия, необходимые
для усвоения понятий.

План:

1. Теоретическое обобщение знаний о понятиях

2. Решение упражнений

3. Самостоятельная работа

 Вопросы:

— Группы понятий, изучаемых в начальной школе.

— Понятие как форма мышления.

— Существенное и несущественное свойства для объекта.

—
Объем и содержание понятия.

—
Понятие рода и вида.

— Определение понятия.

— Структура явного определения.

— Условные определения.

— Требования к определениям понятий.

— Процесс составления задачи на распознавание понятия.

Решение упражнений

Указания: Вспомните, что
такое объем, существенные и несущественные свойства понятия, отношение рода и
вида между понятиями, какие требования к определениям должны выполняться и
выполните задания.

1. Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие
объему понятия:

а)
параллелограмм; б) трапеция; в) равнобедренный треугольник.

2.
Назовите пять существенных свойств понятия:

а)
параллелограмм; б) трапеция; в) равнобедренный треугольник.

3.
Каков объем понятия:

а)
однозначное число; б) натуральное число?

4.
Какое из следующих утверждений верное? Ответ объясните.

а)
Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику.

б)
Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату.

5.
Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:

а)
многоугольник и четырехугольник;

б)
угол и острый угол;

в)
луч и прямая;

г)
круг и окружность?

6. Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики,
есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число»,
«трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли
среди них понятия, находящиеся в отношении рода и вида?

7. Есть ли логические ошибки в следующих определениях?
Если можете, то исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у
которого противоположные стороны равны.

б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол
пополам.

в) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

г) Квадратом называется прямоугольник с равными
сторонами.

Самостоятельная работа

Задание 1. В каких из
приведенных ниже определений математических понятий имеются ошибки?

Указание: Если в
определении есть ошибка, то укажите ее причину, исправьте ее, если это
возможно. Для верного определения сформулируйте эквивалентное ему определение.
Результаты оформите в таблицу.

     I. Вариант   
                                                                      II. Вариант

Оформление
выполненного задания

Задание
2. Выполните логический анализ определений, приведенных
ниже понятий:

        Указание:
Вспомните определение понятия (или прочитайте его в учебнике), определите его
вид, род, видовые отличия и результат оформите в таблицу.

Задание 3. Выполните действие
подведения под определение объекта. Результат оформите таблицей, записав
сначала 1) определение понятия; 2) его свойства; 3) логическую связь между
свойствами. Примеры объектов, подлежащих распознаванию, привести самим.

Подборка по базе: Лабораторная работа 2 Физика 1 Данилов.docx, Практическая работа 2 экономика.docx, Курсовая работа.Заварзина.docx, Белобородов Курсовая работа.docx, курсовая работа.docx, Лабораторная работа.docx, кр работа по психологии.docx, Разгоняева Практическая №5 (1).rtf, контрольная работа.docx, Практическая работа по МДК 04.docx

Практическая работа по математике

Выполнила студентка гр. ПНОз-181

Юненко А.С.

Стр. 45 п.13 №1-6.

№1

Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объёму понятий:

А) параллелограмм

Б) трапеция

В) окружность

№2

Назовите пять существенных свойств понятия:

А) Треугольник.

1) Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2) Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3)Сумма углов треугольника равно 180° (можно сказать, что каждый угол равностороннем треугольнике равна 60°).

4)Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол.

5) Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше из разности.

Б) Круг

1) Круг является выпуклой фигурой.

2) При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.

3) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или что тоже самое, образующей наименьшим периметром при заданной S.

4) Площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна S=πR², где π=3,14.

5) Периметр круга (длина граничной окружности): L=2πR.

№3

Каков объём понятия:

А) однозначное число – всегда записано одной цифрой;

Б) натуральное число – начинается с 1 и по порядку до бесконечности;

В) луч – имеет начало, но не имеет конца.

№4

Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Какое из утверждений верное:

А) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику. (Неверно)

Б) Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату. (Верно)

Свойства:

1. У прямоугольника и квадрата прямые углы;
2. Противоположные стороны равны;
3. Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

№5

Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:

А) многоугольник и треугольник – отношение рода и вида.

Б) угол и острый угол – отношение рода и вида

В) луч и прямая – отношение «часть и целое»

Г) ромб и квадрат — – отношение рода и вида

Д) круг и окружность — – отношение «часть и целое»

№6

Изобрази при помощи кругов Эйлера отношения между объёмами понятий a, b, c, если:

А
А)

В

С
A – «четырёхугольник»,

B – «трапеция»,

c – «прямоугольник»

В
Б)

А
A – «натуральное число, кратное 3»,

B – «натуральное число, кратное 4»,

c – «натуральное число» С

В)

С
A – «треугольник», А В

B – «равнобедренный треугольник»,

c – «равносторонний треугольник»
Стр. 51 п.14 № 1,2,3,6

№1

Переформулируйте следующие определения, используя слова «тогда и только тогда, когда»:

А) Чётным называется число тогда и только тогда, когда оно делится на 2.

Б) Множество А называется подмножеством В тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

В) Множества А и В называется равными тогда и только тогда, когда А ⸦ В и В ⸦ А.

Г) Треугольником называется фигура тогда и только тогда, когда состоит из трех точек, не лежавших на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
№2

В следующих определениях выделите определяемое и определяющие понятие, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:

А) Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Определяемое понятие – параллелограммом

Определяющие понятие – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Родовое понятие (по отношению к определяемому) – четырёхугольник

Видовое отличие — у которого противоположные стороны попарно параллельны
Б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией.

Определяемое понятие – средней линией

Определяющие понятие – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника

Родовое понятие (по отношению к определяемому) – отрезок

Видовое отличие — соединяющий середины двух сторон треугольника
№3

Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличие из следующих определений:

А) Биссектрисой угла называется луч, входящий из вершины угла делящий угол пополам.

Ответ: это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла.

Б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

№6

Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете, исправьте их.

А) Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и все четыре угла равны.

Б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

В) Сложением называется действие, при котором числа складываются: если все числа положительные или отрицательные, либо вычитаются: если все числа положительные или отрицательные.

Г) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны или углы.

Д) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Прямоугольник — это одна из основ геометрии

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.

Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.

Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».

Прямоугольник — это.

Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).

У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.

То есть выглядит это так:

Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.

У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.

У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.

Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.

Признаки прямоугольника

Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.

В случае с прямоугольником их всего три:

1. Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
2. Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
3. Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.

» alt=»»>

Диагонали прямоугольника

Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.

Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».

В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:

Свойства прямоугольника

К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:

Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.
У прямоугольника равны противоположные стороны.





















Периметр и площадь

Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.



Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:



Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:



К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.



Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Главная основа геометрии — это все же треугольник. Через него можно построить любую фигуру и доказать любую теорему.

Прямоугольник отличается от квадрата, этому учат в школе в младших классах. Квадрат — это одинаковая длина соединяющих углов, если я правильно выражаюсь, а прямоугольник формы может быть: телефон, звуковые колонки, паспорт и прочее.

Не согласен с утверждением, что раз один угол прямой, то перед нами точно прямоугольник, всё же прямоугольник — это когда все противоположные стороны параллельны друг другу, а если только один угол прямой, то там и трапеция может быть.

Я бы сказала, что прямоугольник — это основа архитектуры. Все здания так или иначе используют эту фигуру в своем дизайне.

Вот за что я люблю прямоугольники, так за то, что площадь его легко найти, да и периметр, вот с трапецией сложнее, увы, но те же земельные участки больше трапеции, отсюда и земельные споры.

Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые



ABCD — прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны

Доказательство

Дано: ABCD — прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB: ABCD — прямоугольник, А и B — прямые, ABD иACB — прямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, ABD =ACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, ABD =ACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, A = B. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит A = C и В = D, A = В = C = D (1). A + В + C + D = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что A = В = C = D = 90 0 , ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, A = 90 0

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:



Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. A + В = 180 0 , В = 180 0 — A = 180 0 — 90 0 = 90 0

Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90 0 и В = D = 90 0

Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), ABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

источники:

http://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/pryamougolnik-ehto-priznaki-svojstva-pryamougolnikadiagonalej.html

http://budu5.com/manual/chapter/3472

Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник (понятие, определение)

Видеоурок “Прямоугольник“

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Формулы прямоугольника

Прямоугольник (понятие, определение):

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.

Рис. 1. Прямоугольник

В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.

@ https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Свойства прямоугольника:

1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.

Рис. 2. Прямоугольник

AB || CD,   BC || AD

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рис. 3. Прямоугольник

AB = CD,  BC = AD

3. Стороны прямоугольника являются его высотами.

4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.

Рис. 4. Прямоугольник

AB ┴ BC,   BC ┴ CD,   CD ┴ AD,   AD ┴ AB

5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.

Рис. 5. Прямоугольник

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 6. Прямоугольник

AC = BD

7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рис. 7. Прямоугольник

△ABD = △BCD, △ABC = △ACD

8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).                                   

Рис. 8. Прямоугольник

AC² ​= AD​²​​+ CD​²

9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Рис. 9. Прямоугольник

AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2

10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.

Рис. 10. Прямоугольник

АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника

11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.

12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.

Рис. 11. Квадрат

AВ = ВC = AD = CD

Признаки прямоугольника: 

– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;

– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;

– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником. 

Формулы прямоугольника:

Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.

Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):

,

,

,

. 

Формула диагонали прямоугольника:

,              

d = 2R.

Формулы периметра прямоугольника:

P = 2a + 2b,

P = 2(a + b). 

Формулы площади прямоугольника:

S = a · b. 

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/_EVDcbOydAI

Коэффициент востребованности
4 705

1.
Различные
определений понятия «прямоугольник».
Свойства и признаки прямоугольника.
Определение понятия «прямоугольник»
в начальном курсе обучения математике
и алгоритм его использования при
распознавании квадратов.

Прямоугольник
–
это один из видов геометрических фигур,
который подробно изучается в курсе
математики в начальной школе.

Если
говорить о других геометрических
фигурах, таких как угол, отрезок,
треугольник, круг, то объем содержания,
который рассматривается в начальной
школе, достаточно узок. В случае же с
прямоугольником, объем, раскрываемых
существенных свойств этого понятия
значительно более широк. Учащиеся
знакомятся с целым рядом существенных
свойств указанного понятия, а именно,
что у квадрата:

—
противоположные стороны равны

—
все углы равны 90 градусам — прямые

—
чему равны периметр и площадь прямоугольника

—
что прямоугольник – вид четырехугольника

Т.к.
прямоугольник
– это видовое понятие по отношению к
понятиям
«», «параллелограмм», «четырехугольник»,
то соответственно прямоугольнику можно
давать различные определения в зависимости
от родового понятия.

Прямоугольник
– это параллелограмм, у которого все
углы прямые

Прямоугольник
– это четырехугольник , у которого все
углы прямые

Признаки прямоугольника:

1.
если в четырехугольнике противоположные
стороны равны и каждый угол равен 90⁰,
то этот четырехугольник – прямоугольник.

2.
4 вершины, 4 стороны, 4 угла,все углы
прямые.

3.
квадрат -прямоугольник

Т.к.
– это и четырехугольник и параллелограмм,
то он обладает всеми теми свойствами,
которые присущи как параллелограмму,
так и четырехугольника.

Основные свойства прямоугольника

1.
Диагонали прямоугольника равны.

2.
диагонали прямоугольника равны

3.
диагонали пересекаются в одной точке
и делят его на 4 равных треугольника.

4.
площадь равна S=a*b,
где а – длина стороны прямоугольника,
a
b
— ширина

5.
периметр равен = a+b+a+b

Прямоугольник
относится к одному из тех понятий,
которому по определенным методикам
дается явное определение, т.е. прямоугольник
определяется как, четырехугольник у
которого все углы прямые. Указанное
определение лежит в основе распознания
объектов, принадлежащих объему понятия
прямоугольник в начальной школе.

Для
того, чтобы дети распознали, является
ли фигура прямоугольником, надо чтобы
они прежде всего определили является
ли фигура четырехугольником Для этого
они должны определить, обладает ли
фигура следующими свойствами:

—
все ли углы в четырехугольнике прямые

—
равны ли в прямоугольнике противоположные
стороны между собой

Если
все эти условия выполняются, то фигура
является прямоугольником

Билет
11

1.
Определение
отношений на множестве. Способы задания
отношений. Отношения эквивалентности
и их связь с разбиением множества на
классы. Отношения порядка. Примеры
заданий из учебников математики начальных
классов, при выполнении которых
происходит: а) разбиение на классы с
помощью отношения, б) упорядочение
заданных множеств.

Отношением
на
множестве или отношением между элементами
множества называется любое подмножество
декартова произведения множества самого
на себя. Отношение – это есть множество
упорядоченных пар. Отношение обозначается
заглавными буквами латинского алфавита
(конечными).

Способы
задания отношений.

1)
с помощью перечисления входящих в него
элементов (только
конечное множество).

Х
= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

2)
при помощи характеристического свойства
(в словесной форме, с помощью формулы).

Т:
« х больше у на 1 »

Т:
« х = у + 1 »

3)
графический способ задания: при помощи
рисунка, который называется граф.

Т:
{(3;2), (4;3), (5;4), (6;5)}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #