Федеральное
агентство по образованию Российской
Федерации
Санкт-Петербургский
государственный электротехнический
университет «ЛЭТИ»
имени В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра автоматики
и процессов управления
Отчет по лабораторной
работе №6
на тему: «Исследование
типовых установившихся режимов систем
автоматического регулирования (САР).
Определение установившихся ошибок
систем с обратной связью при степенных
и гармонических воздействиях»
по дисциплине
«Теория автоматического управления»
Бригада № 1, вариант
№ 1
Выполнили: Богомолова
К.С.
Золотарев А.Р.
Миненков Д.В.
Группа: 4322
Факультет: КТИ
Проверил: Баранов
А.В.
Санкт-Петербург
2006
Цель работы:
Исследование типовых установившихся
режимов систем автоматического
регулирования (САР). Определение
установившихся ошибок систем с обратной
связью при степенных и гармонических
воздействиях.
Задача 6.1.
Для системы, структурная схема которой
приведена на рис. 1 с ПФ:
,
,
где
;
определить
установившуюся ошибку в отдельности:
при ступенчатом воздействии
;
при линейном воздействии
(
).
Рис.1
ПФ разомкнутого
контура системы:
;
ПФ возмущающего
и задающего воздействий в s-области:
Изображение
переменной ошибки:
Так как ПФ Фeg(s)
и Фef(s)
отличаются только знаком, достаточно
рассмотрения одного из каналов.
Ответить на
следующие вопросы:
-
Система статическая
или астатическая?
Система имеет
порядок астатизма
=0,
так как у ПФ разомкнутого контура нет
полюсов, равных 0; так как установившаяся
реакция ошибки на степенное возмущение
равна
,
то система статическая
.
-
Какой параметр
ПФ
определяет величину установившейся
ошибки по возмущению?
Величину
установившейся ошибки по возмущению
определяет параметр
ПФ
:
при увеличении
знаменатель ПФ ошибки в пределе при
увеличивается, то есть общая ошибка
уменьшается, и наоборот.
-
В чём заключается
противоречивость требований к малости
установившейся и переходной составляющих
ошибки системы?
Противоречивость
требований к малости установившейся и
переходной составляющих ошибки системы
заключается в том, что чем больше порядок
астатизма числа степени воздействия,
тем меньше установившаяся ошибка, но
при этом воздействие имеет большую
степень, а значит должно порождать
большую ошибку.
-
Какое минимальное
значение установившейся ошибки по
возмущению заданного вида можно
обеспечить в этой системе? Проверить
экспериментально, подтвердив результаты
графиками.
Минимальное
значение установившейся ошибки по
возмущению заданного вида равно нулю,
при
.
Рис. 2
зависимость установившейся ошибки по
возмущению от коэффициента
.
Задача 6.2.
Для системы со структурной схемой из
задачи 6.1 принять:
,
,
что соответствует
ПИ-закону регулирования. Определить
параметры настройки регулятора
(коэффициент передачи
и постоянную времени изодрома
),
обеспечивающие
устойчивость замкнутой системы. Построить
зависимость установившейся ошибки при
параболическом воздействии
от коэффициента
.
ПФ замкнутой
системы:
1) необходимое
условие устойчивости: все коэффициенты
многочлена
должны
быть больше нуля, следовательно
,
2) устойчивость
замкнутой системы по критерию Гурвица
для системы третьего порядка обеспечивается
при удовлетворении неравенства
, где
-коэффициенты
при членах n-ой степени многочлена
;
— искомые параметры
настройки регулятора
Таким образом,
установившаяся ошибка уменьшается с
увеличением
;
рис. 3
зависимость установившейся ошибки при
параболическом воздействии от
Ответить на
следующие вопросы:
-
Какое минимальное
значение установившейся ошибки при
заданном воздействии можно обеспечить
в этой системе?
Минимальное
значение установившейся ошибки по
возмущению заданного вида равно нулю,
при
(рис
3).
-
Как изменяется
характер переходного процесса в системе
на воздействие
при возрастании коэффициента
?
?
Рис. 4
График зависимости ПХ от коэффициента
При возрастании
коэффициента
колебательность системы увеличивается.
-
Каким будет
установившийся режим в системе при
выборе
c? Дать пояснения.
По критерию Гурвица
для системы третьего порядка при
где
-коэффициенты
при членах n-ой степени многочлена
,
система находится на границе устойчивости.
Установившийся
режим в системе при выборе
будет находиться на границе устойчивости.
Тоесть на выходе будут незатухающие
колебания.
,
,
=4
Рис. 5
переходная характеристика системы
,
=4
Задача 6.3
Для той же системы с ПИ-регулятором (см.
ПФ
в задаче 6.2) и ПФ объекта:
,
где
принять параметры
настройки
,
c. Определить диапазоны частот
и
задающего гармонического воздействия
,
для которых относительная амплитуда
установившейся ошибки
и
(рекомендуется использовать график
логарифмической амплитудно-частотной
характеристики (ЛАЧХ)). Определить
абсолютные значения амплитуды ошибки
для двух значений частоты
воздействия в каждом из диапазонов,
приняв
.
Провести вычислительный эксперимент,
подав на вход системы гармонический
сигнал соответствующей частоты.
;
Рис. 6
График ЛЧХ замкнутой системы по ошибке
.
(ЛАЧХ
)
(ЛАЧХ
)
Абсолютные значения
амплитуды ошибки
при
=1;
Для диапазона
Для диапазона
Рис. 7 Структурная
схема прохождения гармонического
сигнала через контур
(Matlab/Simulink).
Рис. 8 График
синусоиды с частотой 0,01 до прохождения
через контур.
Рис. 9 График
синусоиды с частотой 0,01 после прохождения
через контур.
Рис. 10 График
синусоиды с частотой 100 до прохождения
через контур.
Рис. 11 График
синусоиды с частотой 100 после прохождения
через контур.
Как видно из
графиков, гармонический сигнал с частотой
0,01 проходит через систему без искажений
(ошибка
),
а гармонический сигнал с частотой 100
практически гасится (ошибка
).
Ответить на
следующие вопросы:
-
Какой вид имеет
АЧХ (ЛАЧХ) замкнутой системы по ошибке?
График ЛАЧХ
замкнутой системы по ошибке приведён
на рисунке 12.
Рис. 12 График ЛАЧХ
замкнутой системы по ошибке.
При
Рис. 13 График ЛЧХ
замкнутой системы по ошибке
при
.
(тоесть ЛАЧХ
)
(тоесть
ЛАЧХ
)
При
График ЛЧХ замкнутой
системы по ошибке
при
приведён
на рисунке 14.
Рис. 14 График ЛЧХ
замкнутой системы по ошибке
при
.
(тоесть ЛАЧХ
)
(тоесть
ЛАЧХ
)
Вывод: при увеличении
диапазон частот
увеличивается,
а диапазон частот
уменьшается;
при уменьшении
диапазон частот
уменьшается,
а диапазон частот
увеличивается.
Задача 6.4.
Для системы из задачи 6.3 определить
установившуюся ошибку при экспоненциальном
воздействии
, где
Объяснить результат.
Воздействие
очень
быстро затухает, в установившемся режиме
влияние воздействия стремится к нулю.
Ответить на
следующие вопросы:
-
Какой характер
имеет реакция системы на выходе на
такое воздействие?
Реакция системы
на быстро затухающее воздействие тоже
является затухающей.
-
Какой будет
величина установившейся ошибки, если
регулятор реализует П-закон, т. е.
?
?
— величина
установившейся ошибки равна 0
Задача 6.5.
Чему равна установившаяся ошибка в
системе из задачи 6.3 при возмущающем
воздействии вида
,
где
при использовании
П- и ПИ-регулятора? Численное значение
коэффициента
принять равным 100. Объяснить результат.
1) При использовании
П-регулятора:
ПФ воздействия
имеет один нулевой полюс, что позволяет
при использовании П-регулятора иметь
ненулевую установившуюся ошибку.
2) При использовании
Пи-регулятора:
Возмущающее
воздействие
имеет постоянную составляющую, поэтому
воздействие не затухающее, а стремится
к постоянному.
Задача 6.6.
Определить установившуюся ошибку
системы в условиях задачи 6.5, если
возмущающее воздействие того же типа
действует на
входе объекта.
1) Для П-регулятора:
2) Для ПИ-регулятора:
Вывод: установившаяся
ошибка системы не зависит от места
приложения возмущающего воздействия.
14
Лекция 17. Расчет установившейся ошибки в системах управления.
Структурные признаки астатизма
Установившейся (статической) ошибкой называют
постоянное значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании переходного процесса: 
, рисунок 116.
Очевидно, установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик входных сигналов системы. Поэтому при ее
определении принято рассматривать так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
, 
, 
и так
далее.
При наличии нескольких воздействий на линейную систему
для определения xуст используется
принцип суперпозиции – реакция линейной системы на совокупность входных
сигналов совпадает с алгебраической суммой ее реакций на каждый из сигналов в
отдельности:
, где
каждое слагаемое, или составляющая сигнала ошибки, 
определяется
для i-го входного сигнала при условии, что остальные
тождественно равны нулю. Такой подход полностью соответствует определению
передаточной функции и позволяет выполнять расчет установившейся ошибки на
основе структурной схемы системы.
Рассмотрим порядок расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере (рисунок 117).
В соответствии с принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде суммы трех составляющих 
.
Изображение по Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке 
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
, где
F(s) – основная передаточная функция замкнутой системы.
Для структурной схемы на рисунке 117
, где 
— передаточная функция
разомкнутой системы, или прямой цепи системы, для рассматриваемого примера.
Непосредственно для расчета
установившегося значения ошибки от задающего воздействия используют теорему о
конечном значении для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по Лапласу ошибки от возмущающего
воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от
возмущения 
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
, где
Ff(s) –передаточная функция замкнутой системы по
возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (передаточная функция
участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до
выхода системы).
Для структурной схемы на рисунке 8 необходимо
учитывать два возмущающих воздействия, приложенные в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается для
системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 118):
,
, где k=k1k2k3 – коэффициент передачи
разомкнутой системы.
Найдем установившуюся ошибку
для некоторых типовых вариантов задающего воздействия.
При получим:
.
При получим:
.
При получим:
.
Если установившаяся ошибка
тождественно равна нулю при каком-либо типовом варианте входного сигнала,
независимо от его численных характеристик, систему называют астатической по
рассматриваемому входному сигналу.
Количество типовых вариантов
входного сигнала – членов степенного ряда, при которых установившаяся ошибка
тождественно равна нулю, определяет порядок астатизма.
Рассматриваемая система
обладает свойством астатизма второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f1:
,
, где 
–
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f1.
При 
получим:
.
При 
получим:
.
При 
получим
тот же результат.
Отметим, что по возмущению f1 рассматриваемая система
не является астатической. Кроме того, она не в состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f2:
,
, где 
–
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f2.
При 
получим:
.
При 
получим:
.
При 
получим:
.
По возмущению f2 рассматриваемая система имеет
астатизм первого порядка. Она не в состоянии отработать возмущающее
воздействие, изменяющееся во времени с постоянным ускорением.
Подведем некоторые итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки приложения входного сигнала.
2. Постоянные времени
звеньев системы не влияют на ее точность.
3. Увеличение значения
коэффициента передачи разомкнутой системы приводит к снижению величины
установившейся ошибки.
Для систем с единичной
отрицательной обратной связью существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим структуру,
показанную на рисунке 119.
В общем случае передаточная
функция разомкнутой системы может быть представлена в следующей форме:
, где l³0.
Тогда получим:
и для общего вида задающего воздействия 
, которому соответствует изображение 
,
.
Результат нахождения этого
предела зависит от соотношения показателей степени:
— при l>v установившаяся
ошибка равна нулю независимо от остальных параметров, то есть имеет место
астатизм;
— при l=v получаем
константу;
— при l<v установившаяся
ошибка стремится к бесконечности, то есть система не в состоянии отработать
входной сигнал.
Учитывая, что минимальное
значение v нулевое,
получаем условие астатизма по задающему воздействию: l>0.
Таким образом, структурный
признак астатизма по задающему воздействию в системе с единичной отрицательной
обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной
функции разомкнутой системы, или интегрирующих звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также убедиться,
что положительное значение l совпадает
с порядком астатизма.
Для получения признака
астатизма по возмущающему воздействию представим передаточные функции на
рисунке 10 в форме:
,
, где l1+l2=l,
k1k2=k, m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем 
и 
.
Тогда получим:
и для общего вида возмущающего воздействия 
, которому соответствует изображение 
,
.
Все вышеприведенные выводы
можно повторить для показателя степени l1.
Таким образом, структурный
признак астатизма по возмущающему воздействию в системе с единичной
отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе
передаточной функции участка системы до точки приложения воздействия, или
интегрирующих звеньев на том же участке.
The deviation of the output of control system from desired response during steady state is known as steady state error. It is represented as $e_{ss}$. We can find steady state error using the final value theorem as follows.
$$e_{ss}=lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$$
Where,
E(s) is the Laplace transform of the error signal, $e(t)$
Let us discuss how to find steady state errors for unity feedback and non-unity feedback control systems one by one.
Steady State Errors for Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having unity negative feedback.
Where,
- R(s) is the Laplace transform of the reference Input signal $r(t)$
- C(s) is the Laplace transform of the output signal $c(t)$
We know the transfer function of the unity negative feedback closed loop control system as
$$frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow C(s)=frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
The output of the summing point is —
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Substitute $C(s)$ value in the above equation.
$$E(s)=R(s)-frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Substitute $E(s)$ value in the steady state error formula
$$e_{ss}=lim_{s to 0} frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
The following table shows the steady state errors and the error constants for standard input signals like unit step, unit ramp & unit parabolic signals.
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
|
unit step signal |
$frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)$ |
|
unit ramp signal |
$frac{1}{K_v}$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)$ |
|
unit parabolic signal |
$frac{1}{K_a}$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)$ |
Where, $K_p$, $K_v$ and $K_a$ are position error constant, velocity error constant and acceleration error constant respectively.
Note − If any of the above input signals has the amplitude other than unity, then multiply corresponding steady state error with that amplitude.
Note − We can’t define the steady state error for the unit impulse signal because, it exists only at origin. So, we can’t compare the impulse response with the unit impulse input as t denotes infinity.
Example
Let us find the steady state error for an input signal $r(t)=left( 5+2t+frac{t^2}{2} right )u(t)$ of unity negative
feedback control system with $G(s)=frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
The given input signal is a combination of three signals step, ramp and parabolic. The following table shows the error constants and steady state error values for these three signals.
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)=infty$ |
$e_{ss1}=frac{5}{1+k_p}=0$ |
|
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)=infty$ |
$e_{ss2}=frac{2}{K_v}=0$ |
|
$r_3(t)=frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=frac{1}{k_a}=1$ |
We will get the overall steady state error, by adding the above three steady state errors.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Therefore, we got the steady state error $e_{ss}$ as 1 for this example.
Steady State Errors for Non-Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having nonunity negative feedback.
We can find the steady state errors only for the unity feedback systems. So, we have to convert the non-unity feedback system into unity feedback system. For this, include one unity positive feedback path and one unity negative feedback path in the above block diagram. The new block diagram looks like as shown below.
Simplify the above block diagram by keeping the unity negative feedback as it is. The following is the simplified block diagram.
This block diagram resembles the block diagram of the unity negative feedback closed loop control system. Here, the single block is having the transfer function $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ instead of $G(s)$. You can now calculate the steady state errors by using steady state error formula given for the unity negative feedback systems.
Note − It is meaningless to find the steady state errors for unstable closed loop systems. So, we have to calculate the steady state errors only for closed loop stable systems. This means we need to check whether the control system is stable or not before finding the steady state errors. In the next chapter, we will discuss the concepts-related stability.
The deviation of the output of control system from desired response during steady state is known as steady state error. It is represented as $e_{ss}$. We can find steady state error using the final value theorem as follows.
$$e_{ss}=lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$$
Where,
E(s) is the Laplace transform of the error signal, $e(t)$
Let us discuss how to find steady state errors for unity feedback and non-unity feedback control systems one by one.
Steady State Errors for Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having unity negative feedback.
Where,
- R(s) is the Laplace transform of the reference Input signal $r(t)$
- C(s) is the Laplace transform of the output signal $c(t)$
We know the transfer function of the unity negative feedback closed loop control system as
$$frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow C(s)=frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
The output of the summing point is —
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Substitute $C(s)$ value in the above equation.
$$E(s)=R(s)-frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Substitute $E(s)$ value in the steady state error formula
$$e_{ss}=lim_{s to 0} frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
The following table shows the steady state errors and the error constants for standard input signals like unit step, unit ramp & unit parabolic signals.
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
|
unit step signal |
$frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)$ |
|
unit ramp signal |
$frac{1}{K_v}$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)$ |
|
unit parabolic signal |
$frac{1}{K_a}$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)$ |
Where, $K_p$, $K_v$ and $K_a$ are position error constant, velocity error constant and acceleration error constant respectively.
Note − If any of the above input signals has the amplitude other than unity, then multiply corresponding steady state error with that amplitude.
Note − We can’t define the steady state error for the unit impulse signal because, it exists only at origin. So, we can’t compare the impulse response with the unit impulse input as t denotes infinity.
Example
Let us find the steady state error for an input signal $r(t)=left( 5+2t+frac{t^2}{2} right )u(t)$ of unity negative
feedback control system with $G(s)=frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
The given input signal is a combination of three signals step, ramp and parabolic. The following table shows the error constants and steady state error values for these three signals.
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)=infty$ |
$e_{ss1}=frac{5}{1+k_p}=0$ |
|
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)=infty$ |
$e_{ss2}=frac{2}{K_v}=0$ |
|
$r_3(t)=frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=frac{1}{k_a}=1$ |
We will get the overall steady state error, by adding the above three steady state errors.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Therefore, we got the steady state error $e_{ss}$ as 1 for this example.
Steady State Errors for Non-Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having nonunity negative feedback.
We can find the steady state errors only for the unity feedback systems. So, we have to convert the non-unity feedback system into unity feedback system. For this, include one unity positive feedback path and one unity negative feedback path in the above block diagram. The new block diagram looks like as shown below.
Simplify the above block diagram by keeping the unity negative feedback as it is. The following is the simplified block diagram.
This block diagram resembles the block diagram of the unity negative feedback closed loop control system. Here, the single block is having the transfer function $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ instead of $G(s)$. You can now calculate the steady state errors by using steady state error formula given for the unity negative feedback systems.
Note − It is meaningless to find the steady state errors for unstable closed loop systems. So, we have to calculate the steady state errors only for closed loop stable systems. This means we need to check whether the control system is stable or not before finding the steady state errors. In the next chapter, we will discuss the concepts-related stability.
СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Установившаяся ошибка
Система с обратной связью предоставляет инженеру возможность влиять на вид переходной характеристики. Кроме того, как мы уже видели, такая система позволяет значительно уменьшить ее чувствительность к изменению параметров и ослабить влияние возмущений. Однако имеет также смысл исследовать и сравнить установившуюся ошибку в разомкнутой и в замкнутой системах. Установившаяся ошибка — это ошибка, остающаяся после окончания переходного процесса, вызванного внешним воздействием.
+ ~ я»
-R(s) —— *~С>——- *
-Y(s)
G(s)
H(s)
Рис. 4.18. Разомкнутая система управления
Рис. 4.19. Замкнутая система управления В разомкнутой системе, изображенной на рис. 4.18, ошибка равна
ад=ад — ад=[і — стт. (4.48)
В замкнутой системе на рис. 4.19 при H(s) = 1 согласно (4.3)* ошибка равна
Для вычисления установившейся ошибки используется теорема о конечном значении:
lim e(t)= lims£(s). (4.50)
_ 1 —КО А—>0
Приняв для сравнения входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции, в разомкнутой системе мы получим:
е0 (о°) = limaf 1 — G(s)] ■ — = lim[l — G(s)] = 1 — G(0).
■v-»0 s -‘->0
В замкнутой системе при H(s) = 1 имеем:
Случай неединичной обратной связи рассматривается в разд. 5.8.
4.5. Установившаяся ошибка
Значение G(s) при 5 = 0 часто называют коэффициентом усиления на нулевой частоте (по постоянному току), и это значение обычно больше единицы. Следовательно, в разомкнутой системе мы получим большую установившуюся ошибку, а в замкнутой системе она будет незначительной.
Анализ выражения (4.51) показывает, что в разомкнутой системе установившаяся ошибка может равняться нулю, если обеспечить выполнение условия 6′(0) = 1. Тогда возникает естественный вопрос: а в чем же заключается преимущество замкнутой системы? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется вернуться к понятию чувствительности. Действительно, в разомкнутой системе можно так подобрать ее параметры, чтобы выполнялось условие С(0) = 1. Однако в процессе эксплуатации системы ее параметры наверняка будут изменяться под влиянием внешних факторов, что приведет к отклонению коэффициента усиления G(0) от единицы. Значит, появится отличная от нуля установившаяся ошибка, устранить которую можно только перенастроив систему. Напротив, в замкнутой системе происходит непрерывное измерение ошибки и вырабатывается сигнал, приводящий к уменьшению ее установившегося значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что побудительным мотивом к введению отрицательной обратной связи является снижение чувствительности системы к дрейфу ее параметров, неточности их настройки и внешним возмущающим факторам. Пример оригинальной системы с обратной связью приведен на рис. 4.20.
Рис. 4.20
Грип-11 — это искусственная рука в виде протеза, управляемая с помощью троса. Она может быть использована для переключения скоростей автомобиля, забивания гвоздей, нарезания помидоров и выполнения других несложных задач, требующих двух рук. Ее действие основано на тяговом усилии троса, а сила захвата изменяется в диапазоне от 0 до 110 фунтов. Рука воспроизводит движение большого и указательного пальцев и осуществляет захват, когда на трос воздействуют спинные мышцы человека. Обратная связь осуществляется человеком визуально, но он не испытывает нормального ощущения прикосновения, присущего большинству людей при осторожных действиях с предметом
Способность замкнутой системы уменьшать установившуюся ошибку, вызванную изменениями параметров и неточностью их настройки, мы проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим систему, в которой объект управления имеет передаточную функцию
G(s) = —. (4.53)
TS+ 1
Такая передаточная функция характерна для тепловых объектов, регуляторов напряжения или емкостей с жидкостью при регулировании уровня. При задании входной переменной в
виде единичной ступенчатой функции мы имеем R(s) = 1/5. Тогда в соответствии с (4.51) в разомкнутой системе установившаяся ошибка будет равна
е0(со) = 1 — 6X0) = 1 — К (4.54)
при согласованных единицах измерения R(s) и К. В замкнутой системе (рис. 4.19) мы имеем:
Ec(s) = R(s)-ns)R(s), где T(s) = (7(,v)/[ 1 + GH{s). Установившаяся ошибка равна
ес(оэ)= lim 41 — 7X5)] — = 1 — 7X0).
.v->0 s
Если H(s) = 1/(Т[Л + 1), то Я(0) =1 и G(0) = К. Следовательно,
ес(со) = 1 J! Le_L. (4.55)
1+ К 1+ К
В разомкнутой системе можно было бы, к примеру, задать К= 1, тогда установившаяся ошибка будет равна нулю. В замкнутой системе можно задать большое значение К, например, К = 100. Тогда установившаяся ошибка в ней составит ес(со) = 1/101.
Если теперь в силу каких-то факторов начальное значение К изменится на 10%, т. е. АК/К = 0,1, то в разомкнутой системе появится абсолютное приращение установившейся ошибки Де0(со) = 0,1, а относительное приращение составит
Ае0(со) 0,1
(4.56)
IKOI 1
т. е. также 10%. При таком же приращении АК/К = 0,1 в замкнутой системе установившаяся ошибка составит ес(со) =1/91 (при отрицательном приращении К). Следовательно, абсолютное изменение установившейся ошибки будет равно
Аес (оо ) = ——(4.57) 91 101
а относительное приращение составит
Аес (оо)
= 0,0011, (4.58)
IKOI
или 0,11%. Как говорится, результат в комментариях не нуждается.
Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …
Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик разомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависимости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …
Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отдельно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …