Математические софизмы правдоподобные рассуждения приводящие к ошибочным утверждениям

Математические софизмы

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

1. Введение

Математика — один из наших любимых школьных предметов. Он нам нравится не только потому, что это основной школьный предмет, но и потому, что без математических знаний в жизни не обойтись. Занятие математикой развивает логическое мышление, сосредоточенность, находчивость, устойчивое внимание, хорошую память, смекалку.

Тема нашей работы «Софизмы в нашей жизни». Мы выбрали эту тему для своего проекта не случайно. Как-то вечером папа задал мне вопрос: «Саша, а ты знаешь, что 6 = 7? Мне стало интересно. Папа с легкостью доказал это равенство.

Вот как это было: 6=7.

Запишем верное равенство: 42 +12 — 54 = 49 +14 – 63.

Вынесем общий множитель за скобки: 6(7 + 2 – 9) = 7(7 + 2 – 9)

Разделим обе части на общий множитель (7 + 2 – 9).

Получим, что 6 = 7 , что и требовалось доказать. Где ошибка? Ведь этого быть не может. Папа сказал, что есть такое понятия, как софизм. Так я определился с темой проекта. Катя сама выбрала тему из списка, который был предложен учителем математики. Для нее понятие софизм тоже было неизвестно, поэтому она решила узнать, что означает это незнакомое и интересное слово.

В процессе работы мы выяснили, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой (например, 34 =7), так и то, что прямой угол равен тупому.
Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм — это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Цель: узнать, что такое софизмы и научиться находить ошибку в софизмах.

Задачи:

1. Познакомиться с историей софизмов.

2. Узнать, какие бывают софизмы. Классификация софизмов.

3. Понять, как найти ошибку в софизмах?

4. Разбор софизмов.

5. Составить анкету для обучающихся, познакомить одноклассников с результатами работы.

6. Составить рекомендации для нахождения ошибок в софизмах.

Гипотеза: софизмы — тренировка для ума.

Объект и предмет исследования: софизмы

Методы исследования:

1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет источников

2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками

3. Анкетирование одноклассников

4. Анализ и обобщение полученных данных.

2. Теоретическая часть

Что такое софизмы?

Софизм (от греч. — мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Что же такое математический софизм? Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм — гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.

2.2. История возникновения софизмов

Мы изучили историю возникновения софизмов. Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложными умозаключениями. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.

Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях.

Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем   (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», т.е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.

Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

Софист – это:

1. Человек, прибегающий к софизмам для доказательства заведомо неверных мыслей, положений.

2. В древней Греции первоначальный мудрец, знаток, потом платный учитель философии, красноречия, искусства спора, а также — философ, расходившийся с общепринятыми взглядами в вопросах религии и морали и обвинявшийся противниками в пользовании софизмами.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».

В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.

2.3. Классификация ошибок в софизмах

Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.

Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:

Логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство. Но закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»,   или «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;

Терминологические ошибки – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника равны 180 градусам» в смысле «Сумма углов треугольника равна 180 градусам».  

Ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные! 

Практическая часть

3.1. Разбор математических софизмов

Рассмотрим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики. Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Математические софизмы делятся на 4 вида: арифметические, алгебраические, геометрические, логические. Мы рассмотрим некоторые из них.

Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. 
Дважды два – пять (2 * 2 = 5)
Доказательство:
Пусть исходное соотношение — очевидное равенство:
4:4= 5:5 (1) .
Вынесем за скобки общий множитель каждой части (1) равенства, и мы получим:
4*(1:1)=5*(1:1) (2)
Разложим число 4 на произведение 2 *2
(2*2)* (1:1)=5*(1:1) (3)
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в в частном, множитель можно выносить либо из суммы, либо из разности.

Один рубль не равен ста копейкам
Доказательство:
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: необходимо переходить к единым единицам измерения.

Софизм «5 = 6»

Докажем, что 5 =6. С этой целью возьмем числовое равенство 35 + 10- 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общий множитель левой и правой части за скобки. Получим 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (7 + 2 — 9). Получаем 5=6. В чем ошибка?

Ошибка: нельзя делить на равенство (7 + 2 — 9), т. к. (7 + 2 — 9)= 0. Ма знаем еще из начальной школы, что на 0 делить нельзя.

Таки образом, можно доказать равенство любых разных двух чисел.

Софизм «Пропавший рубль»

Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе7 Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе решил сделать скидку посетительницам, сказав что кофе стоит 25 рублей. Официант взял деньги и побежал доганять подруг, но пока он бежал, подумал, что им будет трудно делить 5 рублей, ведь их трое, поэтому решил отдать им по 1 рублю, а 2 рубля оставить себе. Так и сделал.

Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9 . 3 = 27 рублей, да 2 рубля осталось у официанта. А где же еще 1 рубль?

Ошибка. Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля у официанта. И никакого пропавшего рубля!

Логические софизмы

Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:

Полный стакан равен пустому

Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.

Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен

стакану пустому. Где ошибка?

Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно, т.к. пустое увеличить вдвое не возможно.

Софизм учебы

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод:

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом!

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Софизм «Загадочное исчезновение» (Приложение 1). У нас есть произвольный прямоугольник на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?

Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.

Примеры софизмов приведены в Приложении 2.

Работая над проектом, мы составили рекомендации по нахождению ошибок в софизмах (Приложение 3).

3.2. Анкетирование

Мы провели анкетирование среди обучающихся 7 классов на знание софизмов. В анкетировании приняло участие 40 человек. Были заданы следующие вопросы:

1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы «Два равно трём»?

«Да» – 24 человека, 60 %

2. Знакомо ли вам понятие «софизм»?

«Да» — 10 человек, 25 %

3. Хотелось ли вам познакомиться с софизмами?

«Да» — 36 человек, 90 %.

Анкетирование показало, что немногим ребятам известно понятие «софизм». 90 % обучающихся хотели бы больше узнать о софизмах. Мы выступим перед ребятами с нашим проектом.

Заключение

Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы — это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться. К концу работы над проектом ошибки стали находиться быстрее. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свою речь.

Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, мы составили рекомендации по разбору софизмов (Приложение 3). Наш проект будет полезен людям, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей.

Мы считаем, наш проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.
Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть наша гипотеза верна.

Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.

Информационные источники

«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.

«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

Т.Н. Михеева. Софизмы

«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.

«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство «Молодая гвардия», 1978 г.

Приложение 1

«Загадочное исчезновение»

Приложение 2

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Девушка — не человек

Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.

Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

Разговор софиста и любителя спорить

Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”

Любитель: “нет”

Софист: “ А мёд сладкий?”

Любитель: “Да”

Софист: “А мёд желтый?”

Любитель: “Да”

Софист: “А жёлтый — значит сладкий?”

Любитель: “Нет”

Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”

Не знаешь то, что знаешь

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:

— Смежные углы равны 180 градусам;

— Накрест лежащие углы равны.

Приложение 3

Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах

Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.
 

Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
 

Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие. 
 

Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.
 

Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».

Просмотров работы: 10728

К сожалению, на данный момент у нас невозможно бесплатно скачать полный вариант книги.

Но вы можете попробовать скачать полный вариант, купив у наших партнеров электронную книгу здесь, если она у них есть наличии в данный момент.

Также можно купить бумажную версию книги здесь.

Математические софизмы, правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям, книга для учащихся 7-11 классов, Мадера А.Г., 2003.

В первой части книги собраны софизмы — правдоподобные математические рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. Вторая часть посвящена разбору этих софизмов.
Тематика софизмов охватывает все разделы школьной программы по математике и частично выходит за ее рамки. Книга адресована школьникам, а также будет интересна и полезна учителям и всем любителям математики.

Если одно число больше другого, то эти числа равны.

Возьмем два произвольных числа m и n, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d,
т. е. a + b + c = d.
Умножив обе части этого равенства на т, а затем на л, получим
ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.
Сложив почленно равенства
та + mb + тс = md, nd = na + nb + nc,
получим ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем
та + mb + тс — md= na + nb + nc- nd.
а вынося слева число т, а справа число п за скобки, придем к соотношению
m (а + b + с — d) = п (а + b + с — d), (1)
откуда, разделив обе части последнего равенства на (a + 6 + c-d), находим, что
m=n.

Содержание.

Предисловие.
Софизмы.
Глава 1. Равенство неравных величин.
Глава 2. Все ли утверждения математики верны.
Глава 3. Неравенство одинаковых величин.
Глава 4. Меньшее превышает большее.
Разбор софизмов.
Глава 1. Равенство неравных величин.
Глава 2. Все ли утверждения математики верны.
Глава 3. Неравенство одинаковых величин.
Глава 4. Меньшее превышает большее.

Купить
.

Дата публикации: 02.05.2020 07:49 UTC

Теги:

математика :: софизмы :: 7 класс :: 8 класс :: 9 класс :: 10 класс :: 11 класс :: Мадера :: 2003

Содержание:

Паспорт проекта.

Введение. Цели, задачи проекта.

1. Глава первая. Понятие софизма.

   1. История софизмов.Виды софизмов.

   2. Классы ошибок в софизмах.

2. Глава вторая. Виды математических софизмов:

   1. логические софизмы.

   2. алгебраические софизмы.

   3. геометрические софизмы.

3. Глава третья. Как создать софизм?

   1. Принципы, по которым составляются софизмы.

   2. Создание своего софизма.

Заключение

Приложение

Введение.

Всем нам хоть раз в жизни встречались высказывания, такие как «Дважды два равно пять», «Два равно трем». Откуда взялись эти утверждения? Кто их придумал? Можно ли их объяснить или это просто выдумка?

В своей работе я хочу разобраться в вопросах, связанных с математическими софизмами. Математические софизмы, по моему мнению, интереснее других своей четкостью и логичностью объяснения. И мы сталкиваемся с ними намного чаще, чем с другими софизмами.

Софизмы заставляют нас думать в различных направлениях и рассматривать проблемы с разных сторон, анализируя небольшие детали. И еще, софизм – это обман, который не каждый сможет распознать, а, следовательно, люди обманывают друг друга с помощью софизмов. Так происходит и в наше время, и происходило тысячелетия назад.

Цель моего проекта — изучение математических софизмов

Задачи:

1.Найти, изучить и проанализировать информацию, полученную при изучении софизмов.

2. Изучить историю софизмов.

3.Рассмотреть виды софизмов, выявить ошибки в математических софизмах.

4. Разделить на классы математические софизмы.

5. Разобрать логику составления и решения математических софизмов.

6. Создать собственный софизм.

7. Привлечь интерес учащихся к урокам математики.

Объект проекта: софизмы.

Предмет проекта: математические софизмы.

В этой работе былииспользованы некоторые примеры алгебраических, геометрических, логических софизмов из книг «Что не так?» Львовского С.М., «Математические софизмы» Обреимова В.И., «Математические софизмы» А.Г. Мадеры, Д.А. Мадеры¹. Так же из “Математической шкатулки” Ф.Ф. Нагибина, Е.С. Канина² взяли историю развития математических софизмов.

Методы исследования: определение понятий, анализ и синтез.

Практическая значимость: Видеть и замечать неявные ошибки, акцентировать внимание на мелких деталях.Данный материал можно применять на факультативных занятиях, математическом кружке, чтобы привить интерес учащихся к математике.

Глава первая. Понятие софизма.

История возникновения софизмов.

Сам софизм был введен древнегреческим софистами в V в. до н.э. как пример обучения.Софисты были личными наёмными учителями и опирались на решение задач.

Аристотель не считал софизмы научным поиском истины, а «натаскиванием» и составил в книге «О софистических опровержениях» первую классификацию софизмов, выделив 13 видов софизмов, возникающих из-за двусмысленностей двоякого рода, 6, связанных с оборотами речи, и 7 паралогизмов или неправильно построенных рассуждений.

Аристотель софизмом называл «мнимые доказательства», убедительность многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой:

• семантической: возникает за счёт нарушения однозначности мысли и приводит к смешению значений терминов;

• логической: подмена основной мысли доказательства, принятие лжи за истину, несоблюдение допустимых способов рассуждения, использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

В истории математические софизмы играли существенную роль: уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Особенно поучительна в этом отношении аксиомао параллельных прямых Евклида. Звучит она так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. На протяжении двух тысяч лет многие выдающиеся математики пытались это доказать, пытались это вывести из аксиом геометрии. Но попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства» оказались ошибочными. И все же они принесли огромную пользу в развитии геометрии: выяснились связи между разными теориями геометрии; тем самым была подготовлена почва для создания Неевклидовой геометрии.³

Виды софизмов

Существует довольно большое количество видов софизмов. Вот некоторые из них:

• логические;

• терминологические;

• психологические;

• интеллектуальные;

• аффективные;

• волевые;

• математические;

• исторические.

Классы ошибок в софизмах.

В софизмах ученые выделяют 3 класса ошибок:

1. Логические ошибки.

Так как вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и любой софизм может сводиться к нарушению правил силлогизма. Наиболее часто к логическим софизмам приводят нарушения следующих правил:

• вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;

• вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;

• вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

2. Терминологические ошибки.

Больше всего распространены ошибки употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении.

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Существует несколько классов терминологических ошибок:

• ошибка омонимии;

• ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного;

• ошибка разделения (обратная), когда собирательному термину дается значение разделительного;

• ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл;

• ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы.

Более сложные софизмы происходят из неправильного построенного ряда доказательств, где ошибки являются тенью всего выражения.

3. Психологические ошибки.

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

4. Интеллектуальные причины.

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignavaratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.

5. Аффективные причины.

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.

6. Волевые причины.

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

Таким образом, софизмы — довольно древнее понятие. Существует множество видов софизмов. Но всех их объединяют схожие «ошибки». Попытки разгадать математические софизмы приводят к более полному понятию математики.

Глава вторая. Виды математических софизмов.

1) Логические софизмы.

Начнем с небольшого английского софизма в качестве разминки:

The more you study – the more you know,

The more you know – the more you forget,

The more you forget – the less you know,

The less you know – the less you forget,

The less you forget – the more you know.

Why study?⁴

(Чем больше мы учим, тем больше знаем.

Чем больше мы знаем, тем больше забываем.

Чем больше мы забываем, тем меньше знаем.

Чем меньше мы знаем, тем меньше забываем.

Чем меньше забываем, тем больше знаем.

Зачем учиться?)

Следующий софизм довольно прост. Для начала познакомимся с одним занимательным парадоксом:

В один раз хозяину гостиницы с бесконечным, но счетным числом номеров, которые не были свободны, нужно было принять нового гостя. Хозяин нашел очень простой выход: он каждого из постояльцев переселил в комнату, номер которой был на единицу больше, чем номер прежней комнаты. В итоге, каждый обитатель n-й комнаты переехал в (n+1)-ю и освободил первую комнату для нового гостя. Как поступить хозяину, если к немуприедут бесконечно много гостей? Все также, хозяину просто требуется переместить всех прежних жильцов в (n*2) и разместить новых гостей в освободившиеся нечетные номера.Возможно ли, разместить новых гостей хозяину, при этом, не имея счетное количество комнат?

Во взятом нами софизмом рассказывается о хитром хозяине гостиницы, разместившем в девяти номерах десять гостей так, что каждому досталась одна комната:

Их было десять чудаков,

Тех спутников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

«Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки».

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него

И девять лишь кроватей.

«Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

В одной кровати вместе».

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица.

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пойти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад Десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

В чем же тут ошибка? А все очень просто, мы просто забыли про десятого, точнее хозяин вернулся к первым двум, и отдал ключ одному из них, но поселил он девятерых и отдал, допустим, второму ключ от комнаты «И», но десятый тут никак не фигурирует.

4 рубля = 40000копейкам

Возьмем верное равенств:

2 рубля = 200 копейкам и возведем его по частям в квадрат.

Мы получим: 4 рубля = 40000 копейкам.⁵

В чем же ошибка? Вот в чем: возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.

Существует множество логических софизмов и можно найти даже такие у которых объяснение будет неоднозначным, вот пример такого:

«Учебная тревога»

Однажды командир Н-ской роты объявил солдатам следующее:

— В один из рабочих дней на следующей неделе в 5 часов утра у нас будет учебная тревога. Чтобы приблизить обстановку к боевой, эта тревога будет для вас неожиданной: пока ее не объявят, вы не будете знать, что она состоится именно в этот день.

Вечером того же дня рядовой Петров объяснял своим товарищам:

— Я все понял: никакой тревоги не будет, нам только голову морочат! Вот смотрите. В пятницу эту тревогу объявить не могут: ведь тогда уже в четверг вечером мы будем знать, что тревога будет именно в пятницу – другого-то дня не остается! А нам ведь объявили, что нам до последнего момента будет неизвестно, в какой день будет тревога, так что пятница исключается. Но могут ли объявить тревогу в четверг? Тоже нет! Ведь если в первые три дня тревоги не будет, то мы уже в среду вечером будем знать, что тревога будет в четверг или пятницу, а так как в пятницу ее объявить не могут, остается только четверг, и мы опять узнаем дату тревоги заранее, неожиданности не будет. Значит, остаются только понедельник, вторник и среда, но тут мы рассуждаем точно так же: в среду объявить тревогу невозможно, ну и так далее. Так что обойдемся без тревоги.

Рассуждение рядового Петрова всех убедило. Однако же в среду в пять утра по казарме разнеслось: «Рота, подъем! Тревога!». Как вы понимаете, для всех, включая рядового Петрова, это оказалось полной неожиданностью, так что все случилось в соответствии с тем, что объявил командир роты.

Но где же тогда ошибка в рассуждениях рядового Петрова?⁶

И правда, в чем же ошибся рядовой?

Есть два варианта «решения» этого вопроса.

Первое объяснение, заключается в том, что Петров ошибся в самом начале своих рассуждений. Ведь вполне возможно в пятницу провести тревогу. Во-первых, потому что есть те, кто так же, как и Петров, посчитают пятницу неудачным днем для проведения «неожиданной» тревоги. Люди, опирающиеся на этот вывод, предполагают, прохождение учения раньше пятницы. Во-вторых, есть среди нас те, которые не задумываются о следующем дне, так для них тревога будет тоже неожиданной.

Петров считает, что предсказуемое событие никак не может быть неожиданным. Но саму тревогу объявляет человек, а действия его точно предсказать невозможно. Можно предугадать действия компьютерной программы, зная ее исходный код и исходные данные. У человека же есть воля.

Есть и другое объяснение не с логической точки зрения, а с житейской. Одинаковые слова, иногда, имеют разные значения в зависимости от ситуации. В нашем случае слово «неожиданный» различно в значениях. Для Петрова, как было ранее сказано, важным было значение «предугадать». А вот командир не имел в виду, что солдаты не смогут предсказать дату и время тревоги. Смысл его речи был намного проще: лишь предупредить их о планирующейся тревоге, чтобы они готовились.

2) Алгебраические софизмы

4=5

Ошибка: 

(натуральные числа)

Ошибка: По условию , значит . При делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства надо поменять, чего не было сделано.

Вынесем за скобки общий множитель в каждой части:

Числа в скобках равны, поэтому:

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества .

Отрицательноечисло больше положительного.

Возьмем два положительных числа a и b. Сравним два отношения: они равны, так как каждое из них равно .Можно составить пропорцию: . Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае ; следовательно, должно быть , т.е. отрицательное число больше положительного.

Ошибка заключается в том, что свойство (если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего) может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

Любое число равно числу, в два раза большему его.

Пусть – какое угодно число. Возьмем тождество . В левой части его вынесем за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: . Упростив это тождество, получим: .

В уравнении нельзя делить на , т.к. это выражение будет равно нулю.

Увеличим обе части на :

В чем же ошибка? Прибавляя к равным величинам равные, получаются равные суммы, но в этом случае величины не равны, посчитаем: .Значит, в этом случае, если мы прибавим равные величины, то получим разные суммы.

Следующий пример необычен тем, что он до сих пор не решен.

«Ахиллес никогда не догонит черепаху»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона:

Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он уже её не застанет, так как она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пробежит и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперёд. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка?

Софизм Зенона далек от своего конечного решения. Вот аспекты приведенные в книге Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы»:

«Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где a – расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/сек и w=10 шагов/сек) равно 11,111111… сек.

Другими словами, примерно через 11,1 сек. Ахиллес догонит черепаху.

Подойдём теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики. Проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдёт черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдёт m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс ещё один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями «непрерывного» и «бесконечного» до сих пор не определены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики».

Софизм Зенона справедлив в теории, но на практике не применим, довольно тяжело представить себе Ахиллеса, бегущего микроскопическое расстояние.⁷

3) Геометрические софизмы.

«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами , гипотенузой

и острым углом , противолежащим катету .

Имеем: , откуда .

Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

,

но
, и поэтому .

Здесь ошибка заключается в том, что формула выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждениях получается замкнутый круг.

Ч

ерез точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой.

Дана пряма MN и вне ее точка A. Проведем через точку A прямую AB, параллельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку C. На отрезке AC, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D – точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой MN, проходящим через точку C. Через точки A и D проведем прямую. Так как угол CDA прямой, а CD перпендикулярна MN, то AD – прямая, параллельная MN. Следовательно, через A проходят две прямые, параллельные прямой MN.

Ошибка: D принадлежит AB.

«Загадочный треугольник»

Дан прямоугольный треугольник 13*5 клеток, составленный из четырёх фигур.

рис.1

После перестановки фигур при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (рис. 2). Но мы же понимаем, что такого быть не может.

Площади закрашенных фигур, конечно, равны между собой (обе по 32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13*5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади. То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура названа треугольником (на самом деле являющаяся вогнутым четырёхугольником). Это отчётливо заметно на рис. 2 – гипотенузы верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу(23 и 58), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13*5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем – наружу).Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13*5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рис. 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях.

64=65

Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части, как показано на рисунке выше. Из этих частей сложен прямоугольник. Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота – 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника – 65 квадратным единицам. Значит, 64=65.

Ошибка: (1) и (4) части прямоугольника (отличного от квадрата) неплотно примыкают ко (2) и (3) частям его. Между ними образуется «щель» в виде вытянутого параллелограмма. Площадь этой щели как раз равна 1 квадратной единице.

Математические софизмы, какого бы вида они не были, всегда имеют логическое объяснение, и становятся сразу понятными, как только проанализировать их полностью. Даже имея некие «исключения» в виде неоднозначных и нерешенных софизмов, они все равно подтверждаются математическим путем.

Глава третья. Как создать софизм?

Принципы, по которым составляются софизмы.

Для начала берется какое-то равенство, неравенство, тождество,теорема или подчиняющееся логике выражение, и мы начинаем его менять — менять его стержень, подводя к использованию неправильных суждений. В математических софизмах это можно проворачивать согласно всем аксиомам, приведенным ниже.

Рассматривая каждый шаг преобразования, сможем найти «место» для ошибки. Хочу заметить, что большинство ошибок расположено в «спорных» случаях, в тех местах, где нужно помнить небольшие детали той или иной ситуации.

ОбреимовВ.И. в своей книге «Математические софизмы» обращается к следующим аксиомам:

• Всякая величина равна самой себе;

• Равные величины можно заменить равными;

• Две величины, порознь равные третьей, равны между собой;

• Если к равным величинам прибавить равные, то получатся равные суммы;

• Если к равным величинам прибавить неравные, то получим неравные суммы, причем та сумма будет больше, которая получится от прибавления большей величины;

• Если от равных величин отнимем равные, то получим равные разности;

• Величина не измениться, если ее одновременно увеличить и уменьшить на одно и то же число:

• Если равные величины умножить на равные же, то получим равные произведения;

• Если равные величины помножить на неравные, то получим неравные произведения, причем то из произведений будет больше, которое поучится от умножения на большую величину;

• Если равные величины разделим на равные, то получим равные частные;

• Из двух отрицательных величин больше та, которой численное значение меньше;

• Целое больше своей части;

• Целое равно сумме всех своих частей;

• Степени двух равных величин равны между собой;

• Корни из двух равных величин равны между собой.⁸

Так же в его книге представлены общие «формулы», составления софизмов.

Логические софизмы — это какие-то истории, где рассуждения крутятся вокруг «стержня», который и является причиной рассуждений.

Создание своего софизма

Для начала стоит выбрать вид софизма. Я попробую взяться за алгебраические и логические софизмы.

Давайте начнем с алгебраических софизмов.

Возьмем один из софизмов, представленных ранее в части 2. Допустим, это будет софизм «Любое число равно числу, в два раза большему его». Первое, что мы можем сделать — это преобразовать конечный результат , нарушая правила, ведь делить на неизвестное нельзя, но эта ошибка работает только в буквенном виде. Получим: , и мы создали новый софизм. Правда, это не совсем новый софизм. Давайте подставим в софизм число 3:

Мы получили новый софизм, ошибка которого заключается в том, что мы делим на (3-3), а эта скобка равна нулю = мы делим на ноль — чего делать, конечно же, нельзя.

Попробуем поиграть еще с одним софизмом.

Возьмем так же из части 2 софизм «2=3», но воспользуемся буквенным видом, представленном в книге «Математические софизмы» Обреимова В.И.⁹

Теперь давайте в эту «формулу» подставим совершенно другие числа (не 2 и 3), пусть будет 5 и 7:

И вот наш «новый» софизм, основанный на уже имеющемся софизме.

Сейчас вам представиться софизм, который был самостоятельно составлен не из каких-то уже извесных «формул»:

Разложим две части так, чтобы равенство было верным. И вычтем :

В левой стороне мы минус три возводим в квадрат, а в правой расскладываем по формуле разности квадратов:

Ошибка в этом софизме довольно простая, но обычно многие ее допускают. Суть в том, что когда мы возводим в квадрат, минус в данном случае не принадлежит тройке, а играет роль именно знака.

Для логических софизмов нам нужно придумать логично-нелогичную сказку.

Вот первый вариант моей «сказки»:

На день рождения Оле подарили торт, разрезанный на двенадцать частей. К ней пришло пятеро друзей, она дала каждому по кусочку, следом пришли тетя, дядя, бабушка и дедушка, и ушло три человека. К тому времени подоспели еще пятеро гостей. И каждому досталось по кусочку. Но как такое может быть? Ведь кусочков было 12, а ели торт 15 человек.

В этом примере ошибка в том, что мы вернули три уже съеденых кусочка, такого, конечно же, не может быть.

И вот второй вариант, с теми же числами:

В концертном зале осталось двенадцать мест. Пришло шесть человек, они заняли свободные места, к первому звонку пришло еще четыре человека и вышло три. К началу концерта подоспели еще пять человек, сели на свободные места и три человека вернулись, заняв свои места. Вот так вот на твенадцати местах уместилось пятнадцать человек.

В этом случае можно рассуждать двояко либо кому-то правда не досталось места, либо же никто не говорил, какие именно пять человек пришли, но говориться, что три человека вернулись, то есть они могут быть в той пятерке, которая пришла.

Таким образом, для создания нового софизма нужно рассмотреть и понять уже известные нам. Но добиться чего-то совершенно нового очень и очень сложно.

Заключение.

Софизмы не новое понятие, пришедшее к нам от древнегреческих софистов. Ученные выделили ряд ошибок, на которых построенны софизмы.

Решение математических софизмов расширяет познание самой математики, ведь людой вид математических софизмов можно «решить» и зная ошибку ее не допустить в будущем.

Хотелось бы сказать пару слов о «создании» своего софизма.Во время работы над придумыванем софизма, мне было тяжело составить, что-то новое.

Занимаясь проектом, при решении задач на уроках я стала замечать места или случаи, где возможно было бы отклонится от правил. Не думаю, что те примеры можно считать за софизмы, ведь это просто ученические ошибки, но сама работа заставила меня видеть эти места.

Как выяснилось, малое количество людей знают, что такое софизм. Но старшие классы после объяснения лучше поняли принципы и смогли сами увидеть и указат ошибки (см. прил.).

Я считаю, что все мои цели и задачи, поставленные в начале работы, были достигнуты.

Приложение

Мне также было интересно, знают ли ученики разных возрастных категорий, что такое софизмы, и смогут ли они найти ошибки в математических, заведомо ложных, умозаключениях.

2. Возьмём числовое равенство:

35+10-45=42+12-54.
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки).

Получаем 5=6.

Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

3. Дано уравнение x-a=0.

Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0.

Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Проанализировав ответы на вопросы, я получила следующие результаты:

1 вопрос: Знакомо ли Вам понятие «софизм»? (Да/Нет)

Из графика видно, что практически все ученики не знакомы с понятием софизма.

2 вопрос: Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6.

Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

В этой задаче на внимательность нужно было найти конкретную математическую ошибку:7+2-9=0. На ноль делить нельзя.

С данной задачей справились 18% учеников 8 класса и 70%- 10 класса. При этом 50% восьмиклассников все же нашли наличие ошибки в решении, но не указали ее точно.

3 вопрос: Дано уравнение x-a=0.

Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0.

Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Ответом данной задачи было:

Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.Верно на этот вопрос ответили 22% 8-классников и 67% 10-классников, при этом наличие ошибки отметили 100% учеников обоих классов, то есть явление софизма определили все!

Список литературы:

1. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры фокусы, парадоксы – М., «Омега», 1994;

2. Нагибин Ф.Ф.,Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд.–М.: Издательство «Просвещение», 1988;

3. Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019;

4. Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. /А.Г.Мадера,Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003;

5. Обреимов В.Н.Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989.

1Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019; Обреимов В.Н. «Математические софизмы» — С.-Птербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989; Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003

2Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 1988.

3Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003.

4proza.ru

5Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 1988.

6Львовский С.М. Что не так? Математические парадоксы и софизмы. – М.: МЦИМО, 2019

7Мадера А.Г. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн. для учащихся 7 – 11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера – М., Просвещение, 2003

8Обреимов В.Н. Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989

9Обреимов В.Н. Математические софизмы — С.-Петербург Типография Ю.Н.Эрлик, Седовая, №9 1989

МОУ «Лесогорская СОШ»

СОЧИНЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

на тему

«Математические софизмы»

«Математику уже затем учить надо,

что она ум в порядок приводит»

М.В.Ломоносов

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я и хотел рассмотреть. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Поскольку я пока еще учусь в 5 классе, то рассмотрю простейшие арифметические софизмы доступные для моего понимания.

Софизм — (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Что же такое математический софизм?

Математический софизм — удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Математический софизм  представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату.  История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям.

Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы. Они создавали  математические  софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.

          Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида: «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это — двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял…», то вывод стал бы логически безупречным.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, или апории, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элей. Так, Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее

черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед

расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

А вот и некоторые  современные математические софизмы, которые наиболее популярны и известны.

 «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Пусть а дм- длина спички и b дм — длина столба. Разность между b

и a обозначим через c .

Имеем b — a = c,  b =  a + c. Перемножаем два эти равенства по

частям, находим: b2 — ab = ca + c2.

Вычтем из обеих частей  bc.

Получим: b2- ab — bc =  ca + c2- bc, или b(b -a — c) = — c(b — a -c),

откуда

b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.

В чем ошибка?

Разбирая софизм, выясняем, что:

Мы делили обе части равенства на выражение b-a-c,

Но b-a=с, значит b-a-c=0,

Мы разделили на 0!

«Два умножить на два будет пять»

Напишем 44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11), получим

4=5, откуда следует

2*2=5.

Ошибка скрылась в самом начале, при выносе за скобку выносится только числитель, знаменатель должен оставаться прежним.

 «Один рубль не равен 100 копеек».

1 р=100 коп (1)

10 р=1000 коп (2)

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р=100000 коп (3), откуда следует:

1 р=10000 коп.

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

                       10 р.2  =100 000 к .2 ,

которое после деления на 10 дает

                        1 р. 2 = 10 000 коп. 2, (*)

а не равенство (3), как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

 «Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 +  = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

В преобразования, разумеется, закралась ошибка. А именно, совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4-9/2 равно -1/2, а 5-9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы:

1. Деление на 0;
2. Неправильные выводы из равенства дробей;
3. Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
4. Нарушения правил действия с именованными величинами;
5. Путаница с понятиями «равенства» и «эквивалентность» в отношении множеств;
6. Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
7. Неравносильный переход от одного неравенства к другому;
8. Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

Математические софизмы:

• приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед в изучении математики, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций;
• помогают развивать логику и навыки правильного мышления;
• развивают наблюдательность, вдумчивость, критическое отношение к тому, что изучается;
• это увлекательно!

Часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

В  нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений. Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Использованная литература:

1. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера  «Математические софизмы», Москва, «Просвещение», 2003г.

2. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г.

3. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия», 2004г.

Интернет ресурсы:

www.gadaika.ru

А. Г. Мадера Д. А. Мадера
СОФИЗМЫ
•Просвещение —

А. Г. Мадера Д. А. Мадера
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СОФИЗМЫ
Правдоподобные рассуждения,
приводящие к ошибочным утверждениям
Книга для учащихся
7—11 классов
Москва
«Просвещение»
2003

УДК 373. 167. 1:51
ББК 22. 1я72
М13
Рецензент:
учитель математики лицея «Физико-техническая школа»
С. -Петербурга В. И. Рыжик
Мадера А. Г. М13 Математические софизмы : Правдоподобные
рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям : Кн. для учащихся 7—11 кл. / А. Г. Мадера, Д. А. Мадера. — М. : Просвещение, 2003. — 112 с.

: ил. — ISBN
5-09-010795-5. В первой части книги собраны софизмы — правдоподобные
математические рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. Вторая часть посвящена разбору этих софизмов. Тематика софизмов охватывает все разделы школьной программы
по математике и частично выходит за ее рамки. Книга адресована
школьникам, а также будет интересна и полезна учителям и всем
любителям математики. УДК 373. 167. 1:51
ББК 22. 1я72
ISBN 5-09-010795-5 //*Z*s* © Издательство «Просвещение», 2003
© Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2003
Все права защищены

Предисловие
Софизм (от греч. sophisma —
уловка, выдумка,
головоломка) — мнимое доказательство,
в котором обоснованность
заключения кажущаяся,
порождается чисто субъективным
впечатлением, вызванным
недостаточностью логического или
семантического анализа. Энциклопедический словарь
Математический софизм —
удивительное утверждение,
в доказательстве которого
кроются незаметные, а подчас и
довольно тонкие ошибки. Gardner M. Mathematical
Puzzles and Diversions
История математики полна неожиданных и интересных
софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение
служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою
очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы. Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Парадоксы — это справедливые, хотя и неожиданные
утверждения, в то время как софизмы — ложные результаты,
полученные с помощью рассуждений, которые только
кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную
ошибку. И парадоксы, и софизмы очень поучительны и
интересны, но данная книга посвящена в основном софизмам. Практика обучения математике показывает, что поиск
заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин
ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую
оказываются более поучительными, чем просто разбор
решений «безошибочных» задач. Можно сколько угодно
объяснять, что деление на нуль недопустимо или что корень
квадратный из квадрата числа равен абсолютной величине
этого числа, но учащийся продолжает совершать одни и те же
ошибки. В то же время эффектная демонстрация
«доказательства» явно неверного результата, в чем и состоит смысл
софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит
пренебрежение тем или иным математическим правилом,
и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к
нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закре-

пить» то или иное математическое правило или
утверждение.

 Софизмами принято называть утверждения, в доказательствах
которых кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

           В любой области математики — от простой арифметики до
современных, более сложных областей – есть свои софизмы. В лучших из них
рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым
невероятным заключениям.
   Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил
целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остаётся лишь гадать о том,
какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика.
   Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление,  прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме — это
значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других
математических рассуждениях.
   Развитие критического мышления позволит не только успешно
освоить точные науки, но и не оказаться жертвой мошенников в жизни.
Например, при оформлении кредита в банке не оказаться пожизненным его
должником.

“Все числа равны между собой”

Возьмем два произвольных неравных между собой
числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем
записать

(а-b)² = (b-а)². 

Извлекая из обеих частей последнего равенства
квадратный корень, получим:

a-b = b-a 

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

Комментарий.

По определению представляет собой некоторое
неотрицательное число, которое, будучи возведено
в квадрат, даст х². Ясно, что этому
определению удовлетворяют два числа, а именно х
и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0),
то =х;
если же число х отрицательно, т. е. число -х
положительно, то = — x. Отсюда заключаем, что (свойство
арифметического квадратного корня), что не
учитывается в содержании этих софизмов и
приводит к ложным выводам.

Но все же самой популярной ошибкой в софизмах
является “Деление на 0”. 

Предупредить ошибки подобного рода поможет
рассмотрение софизмов. 

“Неравные числа равны.”

Возьмем два неравных между собой произвольных
числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с.
Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

(а-b)² = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a²-2ab + b² = = ca-cb,

из которого следует равенство

а²— аb — ас = аb -b² -bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий
множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-b-с),
получаем, что

а=b,

другими словами, два неравных между собой
произвольных числа а и b равны.

Комментарий: Здесь ошибка совершена при
переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно,
согласно условию разность двух произвольных
чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда
а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0=
b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется
путем деления обеих частей (1) на равное нулю
число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем
деление нуля на нуль, которое не имеет смысла,
поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому
вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны,
неверен.