Yuval Filmus is absolutely right. You should not remeber the formula,
but reinvent it when needed. It is really so simple.
Let me try explaining a different way.
The Hamming distance between two binary strings of the same length is
the number of bit positions where the string differ. But the important
point to remember is that it is a distance, pretty much like distances
you measure on a road or on a map.
Changing a bit, either from 0 to 1, or from 1 to 0 is just like taking
a step (using the step as unit of distance). Consider a code,
composed of a collection of code words. Each codeword is just like a
house. If your codewords are at a hamming distance $h$ from each
other, it is like houses being at a $h$ steps distance from each
other.
Now you are in house $u$, and you use your GPS to get the coordinates
of your house, which you want to send to a friend who is to join
you. But your GPS is not quite exact an gives you coordinates that may
be off by $d$ step at most, which you send your friend, who goes to the coordinates he receives.
Then your two questions are:
-
what should be the minimal distance $h$ between houses so that your
friend is sure to realise you transmitted incorrect coordinates. -
what should be the minimal distance $h$ between houses so that
your friend can furthermore be sure to find the right house by
simply going to the house closest to the given incorrect
coordinates.
It is quite clear that if the error is at most $d$ steps, and houses
are at a greater distance $h$ steps, i.e. $d<h$, then the coordinates
you send cannot be the cordinates of another house as they are further
apart than the maximum error. Hence, your friend will see no house at
the given coordinates and will know there is an error. Since we
consider only integer number of steps (or bits), $d<h$ implies
$d+1leq h$, hence $h$ must be at least equal to $d+1$. If $d=4$, you
indeed need $h=5$.
Now, if the error $d$ is always less than half the distance $h$
between two houses, the coordinates will always give a place that is
closer to your house than to any other. Hence, if your friend knows
that $2d<h$, he know that the house closest to the coordinates he has
is actually your house. Since we consider only integer number of
steps, then $2d<h$ implies $2d+1leq h$, hence $h$ must be at least
equal to $2d+1$. If $d=4$, you need $h=9$.
Now a codeword with an error of $d$ bits is exactly like the error of
$d$ steps on the position of your house. And sending successive
codewords is like moving from house to house, sending each time your
coordinate with some error not exceeding a distance $d$ ($d$ steps
off, or $d$ wrong bits), and asking your friend to retrace your route.
In «Hamming distance«, the name Hamming just says that you are
considering distances in number of different bits, rathen than
distance in steps, or meters. But in both case it is a distance, with
a unit of measure, and the possibility of comparing distances.
Yuval Filmus is absolutely right. You should not remeber the formula,
but reinvent it when needed. It is really so simple.
Let me try explaining a different way.
The Hamming distance between two binary strings of the same length is
the number of bit positions where the string differ. But the important
point to remember is that it is a distance, pretty much like distances
you measure on a road or on a map.
Changing a bit, either from 0 to 1, or from 1 to 0 is just like taking
a step (using the step as unit of distance). Consider a code,
composed of a collection of code words. Each codeword is just like a
house. If your codewords are at a hamming distance $h$ from each
other, it is like houses being at a $h$ steps distance from each
other.
Now you are in house $u$, and you use your GPS to get the coordinates
of your house, which you want to send to a friend who is to join
you. But your GPS is not quite exact an gives you coordinates that may
be off by $d$ step at most, which you send your friend, who goes to the coordinates he receives.
Then your two questions are:
-
what should be the minimal distance $h$ between houses so that your
friend is sure to realise you transmitted incorrect coordinates. -
what should be the minimal distance $h$ between houses so that
your friend can furthermore be sure to find the right house by
simply going to the house closest to the given incorrect
coordinates.
It is quite clear that if the error is at most $d$ steps, and houses
are at a greater distance $h$ steps, i.e. $d<h$, then the coordinates
you send cannot be the cordinates of another house as they are further
apart than the maximum error. Hence, your friend will see no house at
the given coordinates and will know there is an error. Since we
consider only integer number of steps (or bits), $d<h$ implies
$d+1leq h$, hence $h$ must be at least equal to $d+1$. If $d=4$, you
indeed need $h=5$.
Now, if the error $d$ is always less than half the distance $h$
between two houses, the coordinates will always give a place that is
closer to your house than to any other. Hence, if your friend knows
that $2d<h$, he know that the house closest to the coordinates he has
is actually your house. Since we consider only integer number of
steps, then $2d<h$ implies $2d+1leq h$, hence $h$ must be at least
equal to $2d+1$. If $d=4$, you need $h=9$.
Now a codeword with an error of $d$ bits is exactly like the error of
$d$ steps on the position of your house. And sending successive
codewords is like moving from house to house, sending each time your
coordinate with some error not exceeding a distance $d$ ($d$ steps
off, or $d$ wrong bits), and asking your friend to retrace your route.
In «Hamming distance«, the name Hamming just says that you are
considering distances in number of different bits, rathen than
distance in steps, or meters. But in both case it is a distance, with
a unit of measure, and the possibility of comparing distances.
Корректирующие (или помехоустойчивые) коды — это коды, которые могут обнаружить и, если повезёт, исправить ошибки, возникшие при передаче данных. Даже если вы ничего не слышали о них, то наверняка встречали аббревиатуру CRC в списке файлов в ZIP-архиве или даже надпись ECC на планке памяти. А кто-то, может быть, задумывался, как так получается, что если поцарапать DVD-диск, то данные всё равно считываются без ошибок. Конечно, если царапина не в сантиметр толщиной и не разрезала диск пополам.
Как нетрудно догадаться, ко всему этому причастны корректирующие коды. Собственно, ECC так и расшифровывается — «error-correcting code», то есть «код, исправляющий ошибки». А CRC — это один из алгоритмов, обнаруживающих ошибки в данных. Исправить он их не может, но часто это и не требуется.
Давайте же разберёмся, что это такое.
Для понимания статьи не нужны никакие специальные знания. Достаточно лишь понимать, что такое вектор и матрица, как они перемножаются и как с их помощью записать систему линейных уравнений.
Внимание! Много текста и мало картинок. Я постарался всё объяснить, но без карандаша и бумаги текст может показаться немного запутанным.
Каналы с ошибкой
Разберёмся сперва, откуда вообще берутся ошибки, которые мы собираемся исправлять. Перед нами стоит следующая задача. Нужно передать несколько блоков данных, каждый из которых кодируется цепочкой двоичных цифр. Получившаяся последовательность нулей и единиц передаётся через канал связи. Но так сложилось, что реальные каналы связи часто подвержены ошибкам. Вообще говоря, ошибки могут быть разных видов — может появиться лишняя цифра или какая-то пропасть. Но мы будем рассматривать только ситуации, когда в канале возможны лишь замены нуля на единицу и наоборот. Причём опять же для простоты будем считать такие замены равновероятными.
Ошибка — это маловероятное событие (а иначе зачем нам такой канал вообще, где одни ошибки?), а значит, вероятность двух ошибок меньше, а трёх уже совсем мала. Мы можем выбрать для себя некоторую приемлемую величину вероятности, очертив границу «это уж точно невозможно». Это позволит нам сказать, что в канале возможно не более, чем 
ошибок. Это будет характеристикой канала связи.
Для простоты введём следующие обозначения. Пусть данные, которые мы хотим передавать, — это двоичные последовательности фиксированной длины. Чтобы не запутаться в нулях и единицах, будем иногда обозначать их заглавными латинскими буквами (
, 
, 
, …). Что именно передавать, в общем-то неважно, просто с буквами в первое время будет проще работать.
Кодирование и декодирование будем обозначать прямой стрелкой (
), а передачу по каналу связи — волнистой стрелкой (
). Ошибки при передаче будем подчёркивать.
Например, пусть мы хотим передавать только сообщения 
и 
. В простейшем случае их можно закодировать нулём и единицей (сюрприз!):
Передача по каналу, в котором возникла ошибка будет записана так:
Цепочки нулей и единиц, которыми мы кодируем буквы, будем называть кодовыми словами. В данном простом случае кодовые слова — это 
и 
.
Код с утроением
Давайте попробуем построить какой-то корректирующий код. Что мы обычно делаем, когда кто-то нас не расслышал? Повторяем дважды:
Правда, это нам не очень поможет. В самом деле, рассмотрим канал с одной возможной ошибкой:
Какие выводы мы можем сделать, когда получили 
? Понятно, что раз у нас не две одинаковые цифры, то была ошибка, но вот в каком разряде? Может, в первом, и была передана буква . А может, во втором, и была передана .
То есть, получившийся код обнаруживает, но не исправляет ошибки. Ну, тоже неплохо, в общем-то. Но мы пойдём дальше и будем теперь утраивать цифры.
Проверим в деле:
Получили 
. Тут у нас есть две возможности: либо это и было две ошибки (в крайних цифрах), либо это и была одна ошибка. Вообще, вероятность одной ошибки выше вероятности двух ошибок, так что самым правдоподобным будет предположение о том, что передавалась именно буква . Хотя правдоподобное — не значит истинное, поэтому рядом и стоит вопросительный знак.
Если в канале связи возможна максимум одна ошибка, то первое предположение о двух ошибках становится невозможным и остаётся только один вариант — передавалась буква .
Про такой код говорят, что он исправляет одну ошибку. Две он тоже обнаружит, но исправит уже неверно.
Это, конечно, самый простой код. Кодировать легко, да и декодировать тоже. Ноликов больше — значит передавался ноль, единичек — значит единица.
Если немного подумать, то можно предложить код исправляющий две ошибки. Это будет код, в котором мы повторяем одиночный бит 5 раз.
Расстояния между кодами
Рассмотрим поподробнее код с утроением. Итак, мы получили работающий код, который исправляет одиночную ошибку. Но за всё хорошее надо платить: он кодирует один бит тремя. Не очень-то и эффективно.
И вообще, почему этот код работает? Почему нужно именно утраивать для устранения одной ошибки? Наверняка это всё неспроста.
Давайте подумаем, как этот код работает. Интуитивно всё понятно. Нолики и единички — это две непохожие последовательности. Так как они достаточно длинные, то одиночная ошибка не сильно портит их вид.
Пусть мы передавали 
, а получили 
. Видно, что эта цепочка больше похожа на исходные , чем на 
. А так как других кодовых слов у нас нет, то и выбор очевиден.
Но что значит «больше похоже»? А всё просто! Чем больше символов у двух цепочек совпадает, тем больше их схожесть. Если почти все символы отличаются, то цепочки «далеки» друг от друга.
Можно ввести некоторую величину 
, равную количеству различающихся цифр в соответствующих разрядах цепочек 
и 
. Эту величину называют расстоянием Хэмминга. Чем больше это расстояние, тем меньше похожи две цепочки.
Например, 
, так как все цифры в соответствующих позициях равны, а вот 
.
Расстояние Хэмминга называют расстоянием неспроста. Ведь в самом деле, что такое расстояние? Это какая-то характеристика, указывающая на близость двух точек, и для которой верны утверждения:
- Расстояние между точками неотрицательно и равно нулю только, если точки совпадают.
- Расстояние в обе стороны одинаково.
- Путь через третью точку не короче, чем прямой путь.
Достаточно разумные требования.
Математически это можно записать так (нам это не пригодится, просто ради интереса посмотрим):
- .
.Предлагаю читателю самому убедиться, что для расстояния Хэмминга эти свойства выполняются.
Окрестности
Таким образом, разные цепочки мы считаем точками в каком-то воображаемом пространстве, и теперь мы умеем находить расстояния между ними. Правда, если попытаться сколько нибудь длинные цепочки расставить на листе бумаги так, чтобы расстояния Хэмминга совпадали с расстояниями на плоскости, мы можем потерпеть неудачу. Но не нужно переживать. Всё же это особое пространство со своими законами. А слова вроде «расстояния» лишь помогают нам рассуждать.
Пойдём дальше. Раз мы заговорили о расстоянии, то можно ввести такое понятие как окрестность. Как известно, окрестность какой-то точки — это шар определённого радиуса с центром в ней. Шар? Какие ещё шары! Мы же о кодах говорим.
Но всё просто. Ведь что такое шар? Это множество всех точек, которые находятся от данной не дальше, чем некоторое расстояние, называемое радиусом. Точки у нас есть, расстояние у нас есть, теперь есть и шары.
Так, скажем, окрестность кодового слова радиуса 1 — это все коды, находящиеся на расстоянии не больше, чем 1 от него, то есть отличающиеся не больше, чем в одном разряде. То есть это коды:
Да, вот так странно выглядят шары в пространстве кодов.
А теперь посмотрите. Это же все возможные коды, которые мы получим в канале в одной ошибкой, если отправим ! Это следует прямо из определения окрестности. Ведь каждая ошибка заставляет цепочку измениться только в одном разряде, а значит удаляет её на расстояние 1 от исходного сообщения.
Аналогично, если в канале возможны две ошибки, то отправив некоторое сообщение 
, мы получим один из кодов, который принадлежит окрестности радиусом 2.
Тогда всю нашу систему декодирования можно построить так. Мы получаем какую-то цепочку нулей и единиц (точку в нашей новой терминологии) и смотрим, в окрестность какого кодового слова она попадает.
Сколько ошибок может исправить код?
Чтобы код мог исправлять больше ошибок, окрестности должны быть как можно шире. С другой стороны, они не должны пересекаться. Иначе если точка попадёт в область пересечения, непонятно будет, к какой окрестности её отнести.
В коде с удвоением между кодовыми словами 
и 
расстояние равно 2 (оба разряда различаются). А значит, если мы построим вокруг них шары радиуса 1, то они будут касаться. Это значит, точка касания будет принадлежать обоим шарам и непонятно будет, к какому из них её отнести.
Именно это мы и получали. Мы видели, что есть ошибка, но не могли её исправить.
Что интересно, точек касания в нашем странном пространстве у шаров две — это коды и 
. Расстояния от них до центров равны единице. Конечно же, в обычно геометрии такое невозможно, поэтому рисунки — это просто условность для более удобного рассуждения.
В случае кода с утроением, между шарами будет зазор.
Минимальный зазор между шарами равен 1, так как у нас расстояния всегда целые (ну не могут же две цепочки отличаться в полутора разрядах).
В общем случае получаем следующее.
Этот очевидный результат на самом деле очень важен. Он означает, что код с минимальным кодовым расстоянием 
будет успешно работать в канале с ошибками, если выполняется соотношение
Полученное равенство позволяет легко определить, сколько ошибок будет исправлять тот или иной код. А сколько код ошибок может обнаружить? Рассуждения такие же. Код обнаруживает ошибок, если в результате не получится другое кодовое слово. То есть, кодовые слова не должны находиться в окрестностях радиуса других кодовых слов. Математически это записывается так:
Рассмотрим пример. Пусть мы кодируем 4 буквы следующим образом.
Чтобы найти минимальное расстояние между различными кодовыми словами, построим таблицу попарных расстояний.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | — | 3 | 3 | 4 |
| B | 3 | — | 4 | 3 |
| C | 3 | 4 | — | 3 |
| D | 4 | 3 | 3 | — |
Минимальное расстояние 
, а значит 
, откуда получаем, что такой код может исправить до 
ошибок. Обнаруживает же он две ошибки.
Рассмотрим пример:
Чтобы декодировать полученное сообщение, посмотрим, к какому символу оно ближе всего.
Минимальное расстояние получилось для символа , значит вероятнее всего передавался именно он:
Итак, этот код исправляет одну ошибку, как и код с утроением. Но он более эффективен, так как в отличие от кода с утроением здесь кодируется уже 4 символа.
Таким образом, основная проблема при построении такого рода кодов — так расположить кодовые слова, чтобы они были как можно дальше друг от друга, и их было побольше.
Для декодирования можно было бы использовать таблицу, в которой указывались бы все возможные принимаемые сообщения, и кодовые слова, которым они соответствуют. Но такая таблица получилась бы очень большой. Даже для нашего маленького кода, который выдаёт 5 двоичных цифр, получилось бы 
варианта возможных принимаемых сообщений. Для более сложных кодов таблица будет значительно больше.
Попробуем придумать способ коррекции сообщения без таблиц. Мы всегда сможем найти полезное применение освободившейся памяти.
Интерлюдия: поле GF(2)
Для изложения дальнейшего материала нам потребуются матрицы. А при умножении матриц, как известно мы складываем и перемножаем числа. И тут есть проблема. Если с умножением всё более-менее хорошо, то как быть со сложением? Из-за того, что мы работаем только с одиночными двоичными цифрами, непонятно, как сложить 1 и 1, чтобы снова получилась одна двоичная цифра. Значит вместо классического сложения нужно использовать какое-то другое.
Введём операцию сложения как сложение по модулю 2 (хорошо известный программистам XOR):
Умножение будем выполнять как обычно. Эти операции на самом деле введены не абы как, а чтобы получилась система, которая в математике называется полем. Поле — это просто множество (в нашем случае из 0 и 1), на котором так определены сложение и умножение, чтобы основные алгебраические законы сохранялись. Например, чтобы основные идеи, касающиеся матриц и систем уравнений по-прежнему были верны. А вычитание и деление мы можем ввести как обратные операции.
Множество из двух элементов 
с операциями, введёнными так, как мы это сделали, называется полем Галуа GF(2). GF — это Galois field, а 2 — количество элементов.
У сложения есть несколько очень полезных свойств, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Это свойство прямо следует из определения.
А в этом можно убедиться, прибавив 
к обеим частям равенства. Это свойство, в частности означает, что мы можем переносить в уравнении слагаемые в другую сторону без смены знака.
Проверяем корректность
Вернёмся к коду с утроением.
Для начала просто решим задачу проверки, были ли вообще ошибки при передаче. Как видно, из самого кода, принятое сообщение будет кодовым словом только тогда, когда все три цифры равны между собой.
Пусть мы приняли вектор-строку из трёх цифр. (Стрелочки над векторами рисовать не будем, так как у нас почти всё — это вектора или матрицы.)
Математически равенство всех трёх цифр можно записать как систему:
Или, если воспользоваться свойствами сложения в GF(2), получаем
Или
В матричном виде эта система будет иметь вид
где
Транспонирование здесь нужно потому, что — это вектор-строка, а не вектор-столбец. Иначе мы не могли бы умножать его справа на матрицу.
Будем называть матрицу 
проверочной матрицей. Если полученное сообщение — это корректное кодовое слово (то есть, ошибки при передаче не было), то произведение проверочной матрицы на это сообщение будет равно нулевому вектору.
Умножение на матрицу — это гораздо более эффективно, чем поиск в таблице, но у нас на самом деле есть ещё одна таблица — это таблица кодирования. Попробуем от неё избавиться.
Кодирование
Итак, у нас есть система для проверки
Её решения — это кодовые слова. Собственно, мы систему и строили на основе кодовых слов. Попробуем теперь решить обратную задачу. По системе (или, что то же самое, по матрице ) найдём кодовые слова.
Правда, для нашей системы мы уже знаем ответ, поэтому, чтобы было интересно, возьмём другую матрицу:
Соответствующая система имеет вид:
Чтобы найти кодовые слова соответствующего кода нужно её решить.
В силу линейности сумма двух решений системы тоже будет решением системы. Это легко доказать. Если 
и 
— решения системы, то для их суммы верно
что означает, что она тоже — решение.
Поэтому если мы найдём все линейно независимые решения, то с их помощью можно получить вообще все решения системы. Для этого просто нужно найти их всевозможные суммы.
Выразим сперва все зависимые слагаемые. Их столько же, сколько и уравнений. Выражать надо так, чтобы справа были только независимые. Проще всего выразить 
.
Если бы нам не так повезло с системой, то нужно было бы складывая уравнения между собой получить такую систему, чтобы какие-то три переменные встречались по одному разу. Ну, или воспользоваться методом Гаусса. Для GF(2) он тоже работает.
Итак, получаем:
Чтобы получить все линейно независимые решения, приравниваем каждую из зависимых переменных к единице по очереди.
Всевозможные суммы этих независимых решений (а именно они и будут кодовыми векторами) можно получить так:
где 
равны либо нулю или единице. Так как таких коэффициентов два, то всего возможно 
сочетания.
Но посмотрите! Формула, которую мы только что получили — это же снова умножение матрицы на вектор.
Строчки здесь — линейно независимые решения, которые мы получили. Матрица 
называется порождающей. Теперь вместо того, чтобы сами составлять таблицу кодирования, мы можем получать кодовые слова простым умножением на матрицу:
Найдём кодовые слова для этого кода. (Не забываем, что длина исходных сообщений должна быть равна 2 — это количество найденных решений.)
Итак, у нас есть готовый код, обнаруживающий ошибки. Проверим его в деле. Пусть мы хотим отправить 01 и у нас произошла ошибка при передаче. Обнаружит ли её код?
А раз в результате не нулевой вектор, значит код заподозрил неладное. Провести его не удалось. Ура, код работает!
Для кода с утроением, кстати, порождающая матрица выглядит очень просто:
Подобные коды, которые можно порождать и проверять матрицей называются линейными (бывают и нелинейные), и они очень широко применяются на практике. Реализовать их довольно легко, так как тут требуется только умножение на константную матрицу.
Ошибка по синдрому
Ну хорошо, мы построили код обнаруживающий ошибки. Но мы же хотим их исправлять!
Для начала введём такое понятие, как вектор ошибки. Это вектор, на который отличается принятое сообщение от кодового слова. Пусть мы получили сообщение , а было отправлено кодовое слово 
. Тогда вектор ошибки по определению
Но в странном мире GF(2), где сложение и вычитание одинаковы, будут верны и соотношения:
В силу особенностей сложения, как читатель сам может легко убедиться, в векторе ошибки на позициях, где произошла ошибка будет единица, а на остальных ноль.
Как мы уже говорили раньше, если мы получили сообщение с ошибкой, то 
. Но ведь векторов, не равных нулю много! Быть может то, какой именно ненулевой вектор мы получили, подскажет нам характер ошибки?
Назовём результат умножения на проверочную матрицу синдромом:
И заметим следующее
Это означает, что для ошибки синдром будет таким же, как и для полученного сообщения.
Разложим все возможные сообщения, которые мы можем получить из канала связи, по кучкам в зависимости от синдрома. Тогда из последнего соотношения следует, что в каждой кучке будут вектора с одной и той же ошибкой. Причём вектор этой ошибки тоже будет в кучке. Вот только как его узнать?
А очень просто! Помните, мы говорили, что у нескольких ошибок вероятность ниже, чем у одной ошибки? Руководствуясь этим соображением, наиболее правдоподобным будет считать вектором ошибки тот вектор, у которого меньше всего единиц. Будем называть его лидером.
Давайте посмотрим, какие синдромы дают всевозможные 5-элементные векторы. Сразу сгруппируем их и подчеркнём лидеров — векторы с наименьшим числом единиц.
 |
|
|---|---|
|
 |
|
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
В принципе, для корректирования ошибки достаточно было бы хранить таблицу соответствия синдрома лидеру.
Обратите внимание, что в некоторых строчках два лидера. Это значит для для данного синдрома два паттерна ошибки равновероятны. Иными словами, код обнаружил две ошибки, но исправить их не может.
Лидеры для всех возможных одиночных ошибок находятся в отдельных строках, а значит код может исправить любую одиночную ошибку. Ну, что же… Попробуем в этом убедиться.
Вектор ошибки равен 
, а значит ошибка в третьем разряде. Как мы и загадали.
Ура, всё работает!
Что же дальше?
Чтобы попрактиковаться, попробуйте повторить рассуждения для разных проверочных матриц. Например, для кода с утроением.
Логическим продолжением изложенного был бы рассказ о циклических кодах — чрезвычайно интересном подклассе линейных кодов, обладающим замечательными свойствами. Но тогда, боюсь, статья уж очень бы разрослась.
Если вас заинтересовали подробности, то можете почитать замечательную книжку Аршинова и Садовского «Коды и математика». Там изложено гораздо больше, чем представлено в этой статье. Если интересует математика кодирования — то поищите «Теория и практика кодов, контролирующих ошибки» Блейхута. А вообще, материалов по этой теме довольно много.
Надеюсь, когда снова будет свободное время, напишу продолжение, в котором расскажу про циклические коды и покажу пример программы для кодирования и декодирования. Если, конечно, почтенной публике это интересно.
Назначение помехоустойчивого кодирования – защита информации от помех и ошибок при передаче и хранении информации. Помехоустойчивое кодирование необходимо для устранения ошибок, которые возникают в процессе передачи, хранения информации. При передачи информации по каналу связи возникают помехи, ошибки и небольшая часть информации теряется.
Без использования помехоустойчивого кодирования было бы невозможно передавать большие объемы информации (файлы), т.к. в любой системе передачи и хранении информации неизбежно возникают ошибки.
Рассмотрим пример CD диска. Там информация хранится прямо на поверхности диска, в углублениях, из-за того, что все дорожки на поверхности, часто диск хватаем пальцами, елозим по столу и из-за этого без помехоустойчивого кодирования, информацию извлечь не получится.
Использование кодирования позволяет извлекать информацию без потерь даже с поврежденного CD/DVD диска, когда какая либо область становится недоступной для считывания.
В зависимости от того, используется в системе обнаружение или исправление ошибок с помощью помехоустойчивого кода, различают следующие варианты:
- запрос повторной передачи (Automatic Repeat reQuest, ARQ): с помощью помехоустойчивого кода выполняется только обнаружение ошибок, при их наличии производится запрос на повторную передачу пакета данных;
- прямое исправление ошибок (Forward Error Correction, FEC): производится декодирование помехоустойчивого кода, т. е. исправление ошибок с его помощью.
Возможен также гибридный вариант, чтобы лишний раз не гонять информацию по каналу связи, например получили пакет информации, попробовали его исправить, и если не смогли исправить, тогда отправляется запрос на повторную передачу.
Исправление ошибок в помехоустойчивом кодировании
Любое помехоустойчивое кодирование добавляет избыточность, за счет чего и появляется возможность восстановить информацию при частичной потере данных в канале связи (носителе информации при хранении). В случае эффективного кодирования убирали избыточность, а в помехоустойчивом кодировании добавляется контролируемая избыточность.
Простейший пример – мажоритарный метод, он же многократная передача, в котором один символ передается многократно, а на приемной стороне принимается решение о том символе, количество которых больше.
Допустим есть 4 символа информации, А, B, С,D, и эту информацию повторяем несколько раз. В процессе передачи информации по каналу связи, где-то возникла ошибка. Есть три пакета (A1B1C1D1|A2B2C2D2|A3B3C3D3), которые должны нести одну и ту же информацию.
Но из картинки справа, видно, что второй символ (B1 и C1) они отличаются друг от друга, хотя должны были быть одинаковыми. То что они отличаются, говорит о том, что есть ошибка.
Необходимо найти ошибку с помощью голосования, каких символов больше, символов В или символов С? Явно символов В больше, чем символов С, соответственно принимаем решение, что передавался символ В, а символ С ошибочный.
Для исправления ошибок нужно, как минимум 3 пакета информации, для обнаружения, как минимум 2 пакета информации.
Параметры помехоустойчивого кодирования
Первый параметр, скорость кода R характеризует долю информационных («полезных») данных в сообщении и определяется выражением: R=k/n=k/m+k
- где n – количество символов закодированного сообщения (результата кодирования);
- m – количество проверочных символов, добавляемых при кодировании;
- k – количество информационных символов.
Параметры n и k часто приводят вместе с наименованием кода для его однозначной идентификации. Например, код Хэмминга (7,4) значит, что на вход кодера приходит 4 символа, на выходе 7 символов, Рида-Соломона (15, 11) и т.д.
Второй параметр, кратность обнаруживаемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может обнаружить.
Третий параметр, кратность исправляемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может исправить (обозначается буквой t).
Контроль чётности
Самый простой метод помехоустойчивого кодирования это добавление одного бита четности. Есть некое информационное сообщение, состоящее из 8 бит, добавим девятый бит.
Если нечетное количество единиц, добавляем 0.
1 0 1 0 0 1 0 0 | 0
Если четное количество единиц, добавляем 1.
1 1 0 1 0 1 0 0 | 1
Если принятый бит чётности не совпадает с рассчитанным битом чётности, то считается, что произошла ошибка.
1 1 0 0 0 1 0 0 | 1
Под кратностью понимается, всевозможные ошибки, которые можно обнаружить. В этом случае, кратность исправляемых ошибок 0, так как мы не можем исправить ошибки, а кратность обнаруживаемых 1.
Есть последовательность 0 и 1, и из этой последовательности составим прямоугольную матрицу размера 4 на 4. Затем для каждой строки и столбца посчитаем бит четности.
Прямоугольный код – код с контролем четности, позволяющий исправить одну ошибку:
И если в процессе передачи информации допустим ошибку (ошибка нолик вместо единицы, желтым цветом), начинаем делать проверку. Нашли ошибку во втором столбце, третьей строке по координатам. Чтобы исправить ошибку, просто инвертируем 1 в 0, тем самым ошибка исправляется.
Этот прямоугольный код исправляет все одно-битные ошибки, но не все двух-битные и трех-битные.
Рассчитаем скорость кода для:
- 1 1 0 0 0 1 0 0 | 1
Здесь R=8/9=0,88
- И для прямоугольного кода:
Здесь R=16/24=0,66 (картинка выше, двадцать пятую единичку (бит четности) не учитываем)
Более эффективный с точки зрения скорости является первый вариант, но зато мы не можем с помощью него исправлять ошибки, а с помощью прямоугольного кода можно. Сейчас на практике прямоугольный код не используется, но логика работы многих помехоустойчивых кодов основана именно на прямоугольном коде.
Классификация помехоустойчивых кодов
- Непрерывные — процесс кодирования и декодирования носит непрерывный характер. Сверточный код является частным случаем непрерывного кода. На вход кодера поступил один символ, соответственно, появилось несколько на выходе, т.е. на каждый входной символ формируется несколько выходных, так как добавляется избыточность.
- Блочные (Блоковые) — процесс кодирования и декодирования осуществляется по блокам. С точки зрения понимания работы, блочный код проще, разбиваем код на блоки и каждый блок кодируется в отдельности.
По используемому алфавиту:
- Двоичные. Оперируют битами.
- Не двоичные (код Рида-Соломона). Оперируют более размерными символами. Если изначально информация двоичная, нужно эти биты превратить в символы. Например, есть последовательность 110 110 010 100 и нужно их преобразовать из двоичных символов в не двоичные, берем группы по 3 бита — это будет один символ, 6, 6, 2, 4 — с этими не двоичными символами работают не двоичные помехоустойчивые коды.
Блочные коды делятся на
- Систематические — отдельно не измененные информационные символы, отдельно проверочные символы. Если на входе кодера присутствует блок из k символов, и в процессе кодирования сформировали еще какое-то количество проверочных символов и проверочные символы ставим рядом к информационным в конец или в начало. Выходной блок на выходе кодера будет состоять из информационных символов и проверочных.
- Несистематические — символы исходного сообщения в явном виде не присутствуют. На вход пришел блок k, на выходе получили блок размером n, блок на выходе кодера не будет содержать в себе исходных данных.
В случае систематических кодов, выходной блок в явном виде содержит в себе, то что пришло на вход, а в случае несистематического кода, глядя на выходной блок нельзя понять что было на входе.
Смотря на картинку выше, код 1 1 0 0 0 1 0 0 | 1 является систематическим, на вход поступило 8 бит, а на выходе кодера 9 бит, которые в явном виде содержат в себе 8 бит информационных и один проверочный.
Код Хэмминга
Код Хэмминга — наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Позволяет устранить одну ошибку и находить двойную.
Код Хэмминга (7,4) — 4 бита на входе кодера и 7 на выходе, следовательно 3 проверочных бита. С 1 по 4 информационные биты, с 6 по 7 проверочные (см. табл. выше). Пятый проверочный бит y5, это сумма по модулю два 1-3 информационных бит. Сумма по модулю 2 это вычисление бита чётности.
Декодирование кода Хэмминга
Декодирование происходит через вычисление синдрома по выражениям:
Синдром это сложение бит по модулю два. Если синдром не нулевой, то исправление ошибки происходит по таблице декодирования:
Расстояние Хэмминга
Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых соответствующие символы двух кодовых слов одинаковой длины различны. Если рассматривать два кодовых слова, (пример на картинке ниже, 1 0 1 1 0 0 1 и 1 0 0 1 1 0 1) видно что они отличаются друг от друга на два символа, соответственно расстояние Хэмминга равно 2.
Кратность исправляемых ошибок и обнаруживаемых, связано минимальным расстоянием Хэмминга. Любой помехоустойчивый код добавляет избыточность с целью увеличить минимальное расстояние Хэмминга. Именно минимальное расстояние Хэмминга определяет помехоустойчивость.
Помехоустойчивые коды
Современные коды более эффективны по сравнению с рассматриваемыми примерами. В таблице ниже приведены Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ)
Из таблицы видим, что там один класс кода БЧХ, но разные параметры n и k.
- n — количество символов на входе.
- k — количество символов на выходе.
- t — кратность исправляемых ошибок.
- Отношение k/n — скорость кода.
- G (энергетический выигрыш) — величина, показывающая на сколько можно уменьшить отношение сигнал/шум (Eb/No) для обеспечения заданной вероятности ошибки.
Несмотря на то, что скорость кода близка, количество исправляемых ошибок может быть разное. Количество исправляемых ошибок зависит от той избыточности, которую добавим и от размера блока. Чем больше блок, тем больше ошибок он исправляет, даже при той же самой избыточности.
Пример: помехоустойчивые коды и двоичная фазовая манипуляция (2-ФМн). На графике зависимость отношения сигнал шум (Eb/No) от вероятности ошибки. За счет применения помехоустойчивых кодов улучшается помехоустойчивость.
Из графика видим, код Хэмминга (7,4) на сколько увеличилась помехоустойчивость? Всего на пол Дб это мало, если применить код БЧХ (127, 64) выиграем порядка 4 дБ, это хороший показатель.
Компромиссы при использовании помехоустойчивых кодов
Чем расплачиваемся за помехоустойчивые коды? Добавили избыточность, соответственно эту избыточность тоже нужно передавать. Нужно: увеличивать пропускную способность канала связи, либо увеличивать длительность передачи.
Компромисс:
- Достоверность vs полоса пропускания.
- Мощность vs полоса пропускания.
- Скорость передачи данных vs полоса пропускания
Необходимость чередования (перемежения)
Все помехоустойчивые коды могут исправлять только ограниченное количество ошибок t. Однако в реальных системах связи часто возникают ситуации сгруппированных ошибок, когда в течение непродолжительного времени количество ошибок превышает t.
Например, в канале связи шумов мало, все передается хорошо, ошибки возникают редко, но вдруг возникла импульсная помеха или замирания, которые повредили на некоторое время процесс передачи, и потерялся большой кусок информации. В среднем на блок приходится одна, две ошибки, а в нашем примере потерялся целый блок, включая информационные и проверочные биты. Сможет ли помехоустойчивый код исправить такую ошибку? Эта проблема решаема за счет перемежения.
Пример блочного перемежения:
На картинке, всего 5 блоков (с 1 по 25). Код работает исправляя ошибки в рамках одного блока (если в одном блоке 1 ошибка, код его исправит, а если две то нет). В канал связи отдается информация не последовательно, а в перемешку. На выходе кодера сформировались 5 блоков и эти 5 блоков будем отдавать не по очереди а в перемешку. Записали всё по строкам, но считывать будем, чтобы отправлять в канал связи, по столбцам. Информация в блоках перемешалась. В канале связи возникла ошибка и мы потеряли большой кусок. В процессе приема, мы опять составляем таблицу, записываем по столбцам, но считываем по строкам. За счет того, что мы перемешали большое количество блоков между собой, групповая ошибка равномерно распределится по блокам.