Как изменить теплоемкость - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

Теплоемкость
является одним из важнейших свойств
вещества, она используется при расчетах
многих термодинамических функций. При
р=const
используется изобарная теплоемкость
– Ср,k.
Теплоемкость зависит от температуры,
и эта зависимость Ср,k
для любого вещества выражается степенным
рядом:

Cp
= a
+ bT+
cT²
для органических веществ.

Если в расчетах
используется широкий диапазон температур,
то необходимо учитывать зависимость
теплоемкости от температуры.

Изменение
теплоемкости в ходе химической реакции
рассчитывается по обычной формуле: ΔrCp
= ΣνiCpi
– ΣνjCpj.
Чаще всего в справочной литературе
приводятся трехчленные ряды, выражающие
зависимость теплоемкости от температуры.

Для
того, чтобы получить выражение для ΔrСр,
рассчитаем сначала изменение каждого
коэффициента степенного ряда теплоемкости,
например, Δ_ra
= Σν_ia_i
– Σν_ja_j.
Таким же образом рассчитаем все остальные
коэффициенты при температуре.

Δ_ra
= -51,71-(21,09+27,28*3) = -112,46

Δ_rb
=(598,77-(400,12+3*3,26)) ×10^-3
= 188,87×10^-3

Δ_rc
=( -230,00+169,87) ×10^-6=
-60,13×10^-6

Δ_rc’=1,5×10⁵

В результате
получим выражение:

ΔrCp
= -112,46+188,87*10^-3*Т–60,13*10^-6*Т²+1,5*10⁵*T^-2

1.
(изохорная
теплоемкость, равная
отношению удельного количества теплоты
в изохорном процессе к изменению
температуры рабочего тела dT)

2.
Для идеальных газов связь между изобарной
и изохорной теплоёмкостями и

устанавливается
известным уравнением Майера _.Из
уравнения Майера следует, что изобарная
теплоемкость больше изохорной на
значение удельной характеристической
постоянной идеального газа. Это
объясняется тем, что в изохорном
процессе ()
внешняя работа не выполняется и
теплота расходуется только на изменение
внутренней энергии рабочего тела,
тогда как в изобарном процессе ()
теплота расходуется не только на
изменение внутренней энергии рабочего
тела, зависящей от его температуры, но
и на совершение им внешней работы.

4. Расчет и построение графической зависимости стандартного теплового эффекта реакции от температуры

Чтобы
получить уравнение зависимости теплоты
реакции от температуры в виде степенного
ряда, воспользуемся уравнением Кирхгоффа:

dΔH°/dT
= ΔCp
, где

ΔrCp
– изменение теплоемкости в ходе
химической реакции.

Для
того, чтобы получить уравнение зависимости
теплоты реакции от температуры
проинтегрируем уравнение Кирхгоффа с
использованием выражения ΔСр в виде
полученного степенного ряда. Получим
уравнение:

ΔrH°
= ΔHj
+ Δ_raT
+ Δ_rbT²/2
+ Δ_rcT³/3
— Δ_rc’/T,

где
ΔНj
– константа интегрирования, которую
необходимо предварительно рассчитать.
Для этого воспользуемся значением
стандартного теплового эффекта при
температуре 298.15 К и, соответственно, Т
= 298.15 К.

-206070
= ΔHj
+-112,46*Т-0,18887*Т²+0,00006013*Т³– 150000/T

ΔHj
= -180906,584 Дж/моль;

Теперь
мы имеем уравнение для расчета теплового
эффекта реакции при любой температуре
в пределах, определенных интервалами
температур для Ср,k:

Рассчитаем
тепловой эффект в интервале температур
(Т-200) ÷ (Т+200) с шагом в 50 градусов. Полученные
значения внесем в таблицу 2 и построим
график ΔrH°т
= f(T).

Т, К	rH_Т
325	-207707,899
375	-210456,135
425	-212830,460
475	-214850,479
525	-216534,056
575	-217898,068
625	-218958,804
675	-219732,179
725	-220233,866

1.В данном случае
константа интегрирования не нужна, так
как Ср=Δа

2.Если Ср=0, мы можем
сделать вывод, что процесс в данной
системе адиабатический.

5.
Расчет стандартной энтропии реакции
при Т=298 К.

По
данным об абсолютных значениях энтропии
участников реакции найдем изменение
энтропии реакции: ΔrS°298
= ΣνiS°i,298
– ΣνjS°j,298

ΔrS°298
= 298,24-(269,20+3*130,52) = -362,52 Дж/моль·К

Энтропия
– это функция, которая характеризует
«порядок» в системе – чем больше значение
энтропии, тем больше в системе «беспорядок».
В данном случае при протекании реакции
энтропия значительно уменьшилась.

6.
Расчет изменения стандартной энергии
Гиббса при Т=298 К

Рассчитаем
изменение стандартной энергии Гиббса
при Т=298 К в Дж/моль по уравнению и сделаем
вывод о направлении протекания реакции
при исходных условиях: ΔrG°298
= ΔrH°298
— TΔrS°298

ΔrG°298
= -206070 + 298.15×362,52 = -97984,662 Дж/моль

Энергия Гиббса
является критерием самопроизвольного
протекания процесса. Полученное изменение
энергии Гиббса больше нуля, при Т=298.15К
реакция не может идти в сторону образования
продуктов.

7.
Расчет констант равновесия при р=1 атм.
и Т=298 К

Рассчитаем
lnKp,298
, Kp,298
, Kc
при Т=298,15 К:

Из
уравнения ΔG°т
= -RTlnKp
найдем значение lnKp
= — ΔrG°₂₉₈/RT
,

lnKp
= 97984,662 / 8.314×298.15 = 39,52634, Kp
= 1,4658×10¹⁷
,

а,
используя соотношение между Кр и Кс,
найдем значение Кс: Кр = Кс(RT)^Δν
, где Δν = Σνi
– Σνj.

Kc
= 1,4658×10¹⁷
/(8.314×298.15)^Δν = 2,14×10²¹

^1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Страница 1 из 5

Регистрация:

19.10.10

Сообщения:

342

Благодарности:

177

Vladimir1964

Живу здесь

Регистрация:

19.10.10

Сообщения:

342

Благодарности:

177

Адрес:

Львов
В доме установить ТА ( закрытого типа с теплообменниками) более чем 1м3 нет возможности. Котел пиролизный на 30 КВт. Чем заполнить внутренность ТА для увеличения теплоемкости?
Вложения:
Регистрация:

27.03.10

Сообщения:

3.354

Благодарности:

1.007

Баир

Заблокирован

мини-девелопер

Регистрация:

27.03.10

Сообщения:

3.354

Благодарности:

1.007

Адрес:

Бурятия

Наверное, врезать ТА прямо в СО.
Регистрация:

19.01.10

Сообщения:

511

Благодарности:

276

Pantherfahrer

Живу здесь

Регистрация:

19.01.10

Сообщения:

511

Благодарности:

276

Адрес:

Москва

Только водой у неё максимальноя теплоемкость из доступных за разумные деньги
Все выкрутасы c фазовыми переходами лучше всего выдут на парафинах. Правда там свои тараканы.
Гдето такая тема уже была.
Регистрация:

04.11.09

Сообщения:

4.045

Благодарности:

885

georgnsk

Живу здесь

Регистрация:

04.11.09

Сообщения:

4.045

Благодарности:

885

Адрес:

Новосибирск

Если ТА закрытый, то можно туда сульфата натрия добавить(где-то до 40%), это здорово повысит теплоемкость при 36-40 градусах, а при более высоких температурах будет работать вода и соль просто как масса. На прошлой неделе сам купил мешок по 15р/кг так что не слишком дорого получается.
Регистрация:

07.09.10

Сообщения:

5

Благодарности:

0

Алектрик

Участник

Регистрация:

07.09.10

Сообщения:

5

Благодарности:

0

Адрес:

Красноярск

А как этот рассол влияет на вентили, клапана и прочую арматуру?
Регистрация:

19.01.10

Сообщения:

511

Благодарности:

276

Pantherfahrer

Живу здесь

Регистрация:

19.01.10

Сообщения:

511

Благодарности:

276

Адрес:

Москва

Смысла особого нет.
Рабочая зона темпиратур для ТА 85-50 градусов
Меньше ТА не «разряжают» а больше он не «заряжается» (вернее «заряжается» но это уже гиморно. вот эти 35 градусов собственно и работают. На тонне воды киловат 40 -45 будем запасать расходывать. А 60 -70 градусов как раз темпиратура фазового перехода парафинов. Тут в той же тонне можно использовать киловатт 80
Регистрация:

12.02.08

Сообщения:

3.321

Благодарности:

1.552

staska

Stanislav

Регистрация:

12.02.08

Сообщения:

3.321

Благодарности:

1.552

Адрес:

Вильнюс

Если та не готовый, а самоделка то можно набить трубками заполненными парафином. Диаметр труб до 8 см, но не боле 10 см. У парафина тепло плавления до 4 раз выше теплоты воды с делтой под 40-50 градусов. Также не мало важно постоянная теплотдача в 55-65 градусов в зависимости от сорта парафина.
Регистрация:

14.04.09

Сообщения:

1.621

Благодарности:

436

mowo

заинтересованный

mowo

заинтересованный

Регистрация:

14.04.09

Сообщения:

1.621

Благодарности:

436

Адрес:

Россия

самая главная проблема, как обеспечить отбор тепла из этой массы, потому что теплопроводность парафина крайне низкая, на этом основано применение в медицине, в грелках — запасаем много тепла, отдаем медленно и долго
Регистрация:

12.02.08

Сообщения:

3.321

Благодарности:

1.552

staska

Stanislav

Регистрация:

12.02.08

Сообщения:

3.321

Благодарности:

1.552

Адрес:

Вильнюс

Поэтому и говорю про трубки омываемые водой.
Регистрация:

14.04.09

Сообщения:

1.621

Благодарности:

436

mowo

заинтересованный

mowo

заинтересованный

Регистрация:

14.04.09

Сообщения:

1.621

Благодарности:

436

Адрес:

Россия

конструктивно можно по разному это реализовать, скорей трубки омываемые парафином, будут практичней, чем контейнеры с парафином. Правда можно, например, Бурята попросить, чтобы тот свой ТА набил такими контейнерами с парафином, типа старых огнетушителей с парафиновой набивкой.
нужен первопроходец
Регистрация:

19.01.10

Сообщения:

511

Благодарности:

276

Pantherfahrer

Живу здесь

Регистрация:

19.01.10

Сообщения:

511

Благодарности:

276

Адрес:

Москва

Надо еще учесть что кг парафина стоит 35-50руб.
И соответственно 500 кг будут стоить 20-25 тыс.
Проще удвоить утроить емкость с водой.
Регистрация:

04.11.09

Сообщения:

4.045

Благодарности:

885

georgnsk

Живу здесь

Регистрация:

04.11.09

Сообщения:

4.045

Благодарности:

885

Адрес:

Новосибирск

Если судить по фото, то в ТА есть два контура, зарядный и разрядный, вентили с раствором контактировать не будут.
Регистрация:

24.10.08

Сообщения:

370

Благодарности:

248

Big Muzzy

Без пяти наук кандидат

Регистрация:

24.10.08

Сообщения:

370

Благодарности:

248

Адрес:

Москва

Я таки думаю при трубках с парафином динамика просядет нормально + доп. потери на перепаде вода-парафин.
Регистрация:

30.06.09

Сообщения:

999

Благодарности:

682

ILNARus

Дремучий

Регистрация:

30.06.09

Сообщения:

999

Благодарности:

682

Адрес:

В 100км от Казани

Надо просто договориться с каким нибудь заводом, который делает консервы, попросить их закатать парафин. Почему до сих пор не производят, удивляюсь… Идеальный вариант конечно заполненные алюминиевые шарики диам. 8-10см
Регистрация:

12.02.08

Сообщения:

3.321

Благодарности:

1.552

staska

Stanislav

Регистрация:

12.02.08

Сообщения:

3.321

Благодарности:

1.552

Адрес:

Вильнюс

Нужно не запомнить, что парафин увеличится в объеме при нагреве. Я бы предпочел 5 литровые канистры или ПЭТ бутылки. Но нужно ограничение температуры.

Страница 1 из 5

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Heat capacity or thermal capacity is a physical property of matter, defined as the amount of heat to be supplied to an object to produce a unit change in its temperature.^[1] The SI unit of heat capacity is joule per kelvin (J/K).

Heat capacity is an extensive property. The corresponding intensive property is the specific heat capacity, found by dividing the heat capacity of an object by its mass. Dividing the heat capacity by the amount of substance in moles yields its molar heat capacity. The volumetric heat capacity measures the heat capacity per volume. In architecture and civil engineering, the heat capacity of a building is often referred to as its thermal mass.

Definition[edit]

Basic definition[edit]

The heat capacity of an object, denoted by , is the limit

${displaystyle C=lim _{Delta Tto 0}{frac {Delta Q}{Delta T}},}$

where Delta Q is the amount of heat that must be added to the object (of mass M) in order to raise its temperature by Delta T .

The value of this parameter usually varies considerably depending on the starting temperature of the object and the pressure applied to it. In particular, it typically varies dramatically with phase transitions such as melting or vaporization (see enthalpy of fusion and enthalpy of vaporization). Therefore, it should be considered a function of those two variables.

Variation with temperature[edit]

Specific heat capacity of water^[2]

The variation can be ignored in contexts when working with objects in narrow ranges of temperature and pressure. For example, the heat capacity of a block of iron weighing one pound is about 204 J/K when measured from a starting temperature T = 25 °C and P = 1 atm of pressure. That approximate value is adequate for temperatures between 15 °C and 35 °C, and surrounding pressures from 0 to 10 atmospheres, because the exact value varies very little in those ranges. One can trust that the same heat input of 204 J will raise the temperature of the block from 15 °C to 16 °C, or from 34 °C to 35 °C, with negligible error.

Heat capacities of a homogeneous system undergoing different thermodynamic processes[edit]

At constant pressure, δQ = dU + PdV (isobaric process)[edit]

At constant pressure, heat supplied to the system contributes to both the work done and the change in internal energy, according to the first law of thermodynamics. The heat capacity is called $C_{P}$ and defined as:

${displaystyle C_{P}={frac {delta Q}{dT}}{Bigr |}_{p=const}}$

Form the first law of thermodynamics follows and the inner energy as a function of and is:

${displaystyle delta Q=left({frac {partial U}{partial T}}right)_{p}dT+left({frac {partial U}{partial p}}right)_{T}dp+pleft[left({frac {partial V}{partial T}}right)_{p}dT+left({frac {partial V}{partial p}}right)_{T}dpright]}$

For constant pressure the equation simplifies to:

${displaystyle C_{p}={frac {delta Q}{dT}}{Bigr |}_{p=const}=left({frac {partial U}{partial T}}right)_{p}+pleft({frac {partial V}{partial T}}right)_{p}}$

At constant volume, dV = 0, δQ = dU (isochoric process)[edit]

A system undergoing a process at constant volume implies that no expansion work is done, so the heat supplied contributes only to the change in internal energy. The heat capacity obtained this way is denoted ${displaystyle C_{V}.}$ The value of $C_{V}$ is always less than the value of ${displaystyle C_{P}.}$ ( $C_{V}$ < ${displaystyle C_{P}.}$ )

Expressing the inner energy as a function of the variables and gives:

${displaystyle delta Q=left({frac {partial U}{partial T}}right)_{V}dT+left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}dV+pdV}$

For a constant volume ( dV=0 ) the heat capacity reads:

${displaystyle C_{V}={frac {delta Q}{dT}}{Bigr |}_{V=const}=left({frac {partial U}{partial T}}right)_{V}}$

The relation between $C_{V}$ and $C_{P}$ is then:

${displaystyle C_{P}=C_{V}+left(left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}+pright)left({frac {partial V}{partial T}}right)_{p}}$

Calculating C_P and C_V for an ideal gas[edit]

Mayer’s relation:

${displaystyle C_{P}-C_{V}=nR.}$

${displaystyle C_{P}/C_{V}=gamma ,}$

where

is the number of moles of the gas,

is the universal gas constant,

is the heat capacity ratio (which can be calculated by knowing the number of degrees of freedom of the gas molecule).

Using the above two relations, the specific heats can be deduced as follows:

${displaystyle C_{V}={frac {nR}{gamma -1}},}$

${displaystyle C_{P}=gamma {frac {nR}{gamma -1}}.}$

At constant temperature (Isothermal process)[edit]

No change in internal energy (as the temperature of the system is constant throughout the process) leads to only work done by the total supplied heat, and thus an infinite amount of heat is required to increase the temperature of the system by a unit temperature, leading to infinite or undefined heat capacity of the system.

At the time of phase change (Phase transition)[edit]

Heat capacity of a system undergoing phase transition is infinite, because the heat is utilized in changing the state of the material rather than raising the overall temperature.

Heterogeneous objects[edit]

The heat capacity may be well-defined even for heterogeneous objects, with separate parts made of different materials; such as an electric motor, a crucible with some metal, or a whole building. In many cases, the (isobaric) heat capacity of such objects can be computed by simply adding together the (isobaric) heat capacities of the individual parts.

However, this computation is valid only when all parts of the object are at the same external pressure before and after the measurement. That may not be possible in some cases. For example, when heating an amount of gas in an elastic container, its volume and pressure will both increase, even if the atmospheric pressure outside the container is kept constant. Therefore, the effective heat capacity of the gas, in that situation, will have a value intermediate between its isobaric and isochoric capacities ${displaystyle C_{mathrm {P} }}$ and ${displaystyle C_{mathrm {V} }}$ .

For complex thermodynamic systems with several interacting parts and state variables, or for measurement conditions that are neither constant pressure nor constant volume, or for situations where the temperature is significantly non-uniform, the simple definitions of heat capacity above are not useful or even meaningful. The heat energy that is supplied may end up as kinetic energy (energy of motion) and potential energy (energy stored in force fields), both at macroscopic and atomic scales. Then the change in temperature will depends on the particular path that the system followed through its phase space between the initial and final states. Namely, one must somehow specify how the positions, velocities, pressures, volumes, etc. changed between the initial and final states; and use the general tools of thermodynamics to predict the system’s reaction to a small energy input. The «constant volume» and «constant pressure» heating modes are just two among infinitely many paths that a simple homogeneous system can follow.

Measurement[edit]

The heat capacity can usually be measured by the method implied by its definition: start with the object at a known uniform temperature, add a known amount of heat energy to it, wait for its temperature to become uniform, and measure the change in its temperature. This method can give moderately accurate values for many solids; however, it cannot provide very precise measurements, especially for gases.

Units[edit]

International system[edit]

The SI unit for heat capacity of an object is joule per kelvin (J/K or J⋅K⁻¹). Since an increment of temperature of one degree Celsius is the same as an increment of one kelvin, that is the same unit as J/°C.

The heat capacity of an object is an amount of energy divided by a temperature change, which has the dimension L²⋅M⋅T⁻²⋅Θ⁻¹. Therefore, the SI unit J/K is equivalent to kilogram meter squared per second squared per kelvin (kg⋅m²⋅s⁻²⋅K⁻¹ ).

English (Imperial) engineering units[edit]

Professionals in construction, civil engineering, chemical engineering, and other technical disciplines, especially in the United States, may use the so-called English Engineering units, that include the pound (lb = 0.45359237 kg) as the unit of mass, the degree Fahrenheit or Rankine (5/9°K, about 0.55556 °K) as the unit of temperature increment, and the British thermal unit (BTU ≈ 1055.06 J),^[3]^[4] as the unit of heat. In those contexts, the unit of heat capacity is 1 BTU/°R ≈ 1900 J/°K.^[5] The BTU was in fact defined so that the average heat capacity of one pound of water would be 1 BTU/°F. In this regard, with respect to mass, note conversion of 1 Btu/lb⋅°R ≈ 4,187 J/kg⋅°K^[6] and the calorie (below).

Calories[edit]

In chemistry, heat amounts are often measured in calories. Confusingly, two units with that name, denoted «cal» or «Cal», have been commonly used to measure amounts of heat:

The «small calorie» (or «gram-calorie», «cal») is 4.184 J, exactly. It was originally defined so that the heat capacity of 1 gram of liquid water would be 1 cal/°C.
The «grand calorie» (also «kilocalorie», «kilogram-calorie», or «food calorie»; «kcal» or «Cal») is 1000 cal, that is, 4184 J, exactly. It was originally defined so that the heat capacity of 1 kg of water would be 1 kcal/°C.

With these units of heat energy, the units of heat capacity are

1 cal/°C = 4.184 J/K

1 kcal/°C = 4184 J/K

Physical basis[edit]

Negative heat capacity[edit]

Most physical systems exhibit a positive heat capacity; constant-volume and constant-pressure heat capacities, rigorously defined as partial derivatives, are always positive for homogeneous bodies.^[7] However, even though it can seem paradoxical at first,^[8]^[9] there are some systems for which the heat capacity / Delta T is negative. Examples include a reversibly and nearly adiabatically expanding ideal gas, which cools, Delta T < 0, while a small amount of heat > 0 is put in, or combusting methane with increasing temperature, Delta T > 0, and giving off heat, < 0. Others are inhomogeneous systems that do not meet the strict definition of thermodynamic equilibrium. They include gravitating objects such as stars and galaxies, and also some nano-scale clusters of a few tens of atoms close to a phase transition.^[10] A negative heat capacity can result in a negative temperature.

Stars and black holes[edit]

According to the virial theorem, for a self-gravitating body like a star or an interstellar gas cloud, the average potential energy U_pot and the average kinetic energy U_kin are locked together in the relation

${displaystyle U_{text{pot}}=-2U_{text{kin}}.}$

The total energy U (= U_pot + U_kin) therefore obeys

${displaystyle U=-U_{text{kin}}.}$

If the system loses energy, for example, by radiating energy into space, the average kinetic energy actually increases. If a temperature is defined by the average kinetic energy, then the system therefore can be said to have a negative heat capacity.^[11]

A more extreme version of this occurs with black holes. According to black-hole thermodynamics, the more mass and energy a black hole absorbs, the colder it becomes. In contrast, if it is a net emitter of energy, through Hawking radiation, it will become hotter and hotter until it boils away.

Consequences[edit]

According to the Second Law of Thermodynamics, when two systems with different temperatures interact via a purely thermal connection, heat will flow from the hotter system to the cooler one (this can also be understood from a statistical point of view). Therefore, if such systems have equal temperatures, they are at thermal equilibrium. However, this equilibrium is stable only if the systems have positive heat capacities. For such systems, when heat flows from a higher temperature system to a lower temperature one, the temperature of the first decreases and that of the latter increases, so that both approach equilibrium. In contrast, for systems with negative heat capacities, the temperature of the hotter system will further increase as it loses heat, and that of the colder will further decrease, so that they will move farther from equilibrium. This means that the equilibrium is unstable.

For example, according to theory, the smaller (less massive) a black hole is, the smaller its Schwarzschild radius will be and therefore the greater the curvature of its event horizon will be, as well as its temperature. Thus, the smaller the black hole, the more thermal radiation it will emit and the more quickly it will evaporate.

References[edit]

^ Halliday, David; Resnick, Robert (2013). Fundamentals of Physics. Wiley. p. 524.
^ «Heat capacity of water online». Desmos (in Russian). Retrieved 2022-06-03.
^
Koch, Werner (2013). VDI Steam Tables (4 ed.). Springer. p. 8. ISBN 9783642529412. Published under the auspices of the Verein Deutscher Ingenieure (VDI).
^
Cardarelli, Francois (2012). Scientific Unit Conversion: A Practical Guide to Metrication. M.J. Shields (translation) (2 ed.). Springer. p. 19. ISBN 9781447108054.
^ 1Btu/lb⋅°R × 1055.06J/Btu x 9/5°R/°K ≈ 1899.11J/°K
^ From direct values: 1Btu/lb⋅°R × 1055.06J/Btu × (1/0.45359237)lb/kg x 9/5°R/°K ≈ 4186.82J/kg⋅°K
^ Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (reprinted 2011). Statistical Physics Part 1, Ch.II §21, 3rd edition, Elsevier ISBN 978-0-7506-3372-7
^ D. Lynden-Bell; R. M. Lynden-Bell (Nov 1977). «On the negative specific heat paradox». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 181 (3): 405–419. Bibcode:1977MNRAS.181..405L. doi:10.1093/mnras/181.3.405.
^ Lynden-Bell, D. (Dec 1998). «Negative Specific Heat in Astronomy, Physics and Chemistry». Physica A. 263 (1–4): 293–304. arXiv:cond-mat/9812172v1. Bibcode:1999PhyA..263..293L. doi:10.1016/S0378-4371(98)00518-4. S2CID 14479255.
^ Schmidt, Martin; Kusche, Robert; Hippler, Thomas; Donges, Jörn; Kronmüller, Werner; Issendorff, von, Bernd; Haberland, Hellmut (2001). «Negative Heat Capacity for a Cluster of 147 Sodium Atoms». Physical Review Letters. 86 (7): 1191–4. Bibcode:2001PhRvL..86.1191S. doi:10.1103/PhysRevLett.86.1191. PMID 11178041. S2CID 31758641.
^ See e.g., Wallace, David (2010). «Gravity, entropy, and cosmology: in search of clarity» (preprint). British Journal for the Philosophy of Science. 61 (3): 513. arXiv:0907.0659. Bibcode:2010BJPS…61..513W. CiteSeerX 10.1.1.314.5655. doi:10.1093/bjps/axp048. Section 4 and onwards.