Более крутой спуск есть ошибка верно - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

Как правильно пишется словосочетание «крутой спуск»

Как правильно пишется слово «крутой»
Как правильно пишется слово «спуск»

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать
Карту слов. Я отлично
умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: яловый — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «крутой»

Ассоциации к слову «спуск»

Синонимы к словосочетанию «крутой спуск»

Предложения со словосочетанием «крутой спуск»

После довольно крутого спуска мы очутились на большой равнине.
За стойкой обнаружилась неприметная дверь, за которой начался крутой спуск в подземелье.
За ним начинался гораздо более крутой спуск, ведущий в неглубокую долину, заросшую соснами, елями, пихтами и другими хвойными деревьями.
(все предложения)

Цитаты из русской классики со словосочетанием «крутой спуск»

Надо заметить, что город К. расположен на горе и к реке ведут крутые спуски, застроенные домиками, образующими несколько переулков. На самом же берегу, ближе к главному центральному спуску — Покровскому — находится масса построек: покосившихся деревянных домишек, лачуг и даже землянок, образующих затейливые переулки и составляющих Кузнечную слободу, получившую свое название от нескольких кузниц, из отворенных дверей которых с утра до вечера раздается стук ударов молота о наковальню.
В одном месте на очень высоком и крутом спуске Никанор осторожно спустил лошадей до половины горы, но с половины лошади вдруг сорвались и со страшного быстротой понесли вниз; он вздрогнул, поднял локти и закричал диким, неистовым голосом, какого я раньше никогда у него не слышал:
Такое восклицание вызвало всеобщее любопытство: все, кто был в комнате, встали с мест, подошли к окнам и остановились, вперя взоры вдаль, на крутой спуск, по которому осторожно сползает, словно трехглавый змей, могучая, рослая тройка больших медно-красных коней.
(все
цитаты из русской классики)

Значение слова «крутой»

КРУТО́Й, —а́я, —о́е; крут, крута́, кру́то; кру́че. 1. Почти отвесный, обрывистый; противоп. пологий. (Малый академический словарь, МАС)

Все значения слова КРУТОЙ

Значение слова «спуск»

СПУСК, -а (-у), м. 1. Действие по глаг. спустить—спускать (в 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знач.) и спуститься—спускаться (в 1, 2 и 4 знач.). Спуск в шахту. Спуск корабля на воду. Спуск флага. Спуск курка. Спуск воды. (Малый академический словарь, МАС)

Все значения слова СПУСК

Афоризмы русских писателей со словом «крутой»

О одиночество, как твой характер
крут!
Просверкивая циркулем железным,
как холодно ты замыкаешь круг,
не внемля увереньям бесполезным.
А тебе еще мало по-русски,
И ты хочешь на всех языках
Знать, как круты подъемы и спуски
И почем у нас совесть и страх.
Одна из утомительных необходимостей человечества — та, что люди не могут освежить себя в середине жизни, круто сменив род занятий.
(все афоризмы русских писателей)

Отправить комментарий

Дополнительно

Смотрите также

КРУТО́Й, —а́я, —о́е; крут, крута́, кру́то; кру́че. 1. Почти отвесный, обрывистый; противоп. пологий.

Все значения слова «крутой»

СПУСК, -а (-у), м. 1. Действие по глаг. спустить—спускать (в 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знач.) и спуститься—спускаться (в 1, 2 и 4 знач.). Спуск в шахту. Спуск корабля на воду. Спуск флага. Спуск курка. Спуск воды.

Все значения слова «спуск»

После довольно крутого спуска мы очутились на большой равнине.
За стойкой обнаружилась неприметная дверь, за которой начался крутой спуск в подземелье.
За ним начинался гораздо более крутой спуск, ведущий в неглубокую долину, заросшую соснами, елями, пихтами и другими хвойными деревьями.
(все предложения)

крутой склон
крутые спуски
крутые подъёмы
крутые склоны
крутые откосы
(ещё синонимы…)

яйцо
круча
выкрутасы
Игорь
человек
(ещё ассоциации…)

гора
круто
погружение
крутизна
вниз
(ещё ассоциации…)

крутой склон
по крутому склону холма
становиться всё круче
(полная таблица сочетаемости…)

крутой спуск
спуск корабля
конец спуска
спуск закончился
начать спуск
(полная таблица сочетаемости…)

Разбор по составу слова «крутой»
Разбор по составу слова «спуск»

Как правильно пишется слово «крутой»
Как правильно пишется слово «спуск»

Источник

Инструмент проверки текста на орфографические и грамматические ошибки онлайн, позволит исправить
самые громоздкие
ошибки, с высокой степенью точности и скорости, а
также улучшить свой письменный русский язык.

Если возможно несколько исправлений, вам будет предложено выбрать одно из них.
Слова в которых допущены ошибки выделяются разными цветами, можно кликнуть на подсвеченное слово,
посмотреть описание ошибки
и выбрать исправленный вариант.

Инструмент поддерживает 8 языков.

Символов в тексте
0

Без пробелов
0

Количество слов
0

Вставьте ваш текст для проверки

Ваш текст проверяется

Орфография

Написать текст без каких-либо орфографических или пунктуационных ошибок достаточно сложно даже
специалистам.
Наша автоматическая проверка
орфографии
может помочь профессионалам, студентам, владельцам веб-сайтов, блогерам и авторам получать текст
практически без ошибок. Это не только поможет им исправить текст, но и
получить информацию о том, почему использование слова неправильно в данном контексте.

Что входит в проверку текста?

грамматические ошибки;
стиль;
логические ошибки;
проверка заглавных/строчных букв;
типографика;
проверка пунктуации;
общие правила правописания;
дополнительные правила;

Грамматика

Для поиска грамматических ошибок инструмент содержит более 130 правил.

Деепричастие и предлог
Деепричастие и предлог
«Не» с прилагательными/причастиями
«Не» с наречиями
Числительные «оба/обе»
Согласование прилагательного с существительным
Число глагола при однородных членах
И другие

Грамматические ошибки вида: «Идя по улице, у меня развязался шнурок»

Грамматическая ошибка: Идя по улице, у меня…
Правильно выражаться: Когда я шёл по улице, у меня развязался шнурок.

Пунктуация

Чтобы найти пунктуационные ошибки и правильно расставить запятые в тексте, инструмент содержит более
60 самых важных правил.

Пунктуация перед союзами
Слова не являющиеся вводными
Сложные союзы не разделяются «тогда как», «словно как»
Союзы «а», «но»
Устойчивое выражение
Цельные выражения
Пробелы перед знаками препинания
И другие

Разберем предложение, где пропущена запятая «Парень понял как мальчик сделал эту модель»

Пунктуационная ошибка, пропущена запятая: Парень понял,
«Парень понял, как мальчик сделал эту модель»

Какие языки поддерживает инструмент?

Для поиска ошибок вы можете вводить текст не только на Русском
языке, инструмент поддерживает проверку орфографии на Английском, Немецком и Французском

Приложение доступно в Google Play

Источник

Горные
лыжи — техника катания

Горные лыжи — ошибки
в технике катания и обучении.

Коррекция ошибок и устранение причин
ошибок инструктором.

Причины ошибок:

Технические
причины — незнание,
неумение, закатанные привычные ошибки.

Психологические
причины — страх.
Может иметь различные причины, иногда и объективные.

Физиологические
причины — возраст
и физподготовка человека будет влиять на технику.

Неправильный
инвентарь — параметры
лыж могут помочь или помешать обучению.

Неправильный
выбор склона — параметры
склона могут сделать невозможным изучение конкретного приема или помочь
освоить его.

Ошибки
переноса — опыт других видов спорта неправильно влияет.

Технические причины ошибок

Стойка

Стойка
горнолыжника является важным
элементом техники катания — она закладывает фундамент Вашей техники.

Неправильная
стойка: «Чаще
всего, это поза с напряженной
спиной, стесняющая движения, утомительная и неустойчивая. Иногда в
таком
положении руки лыжника оказываются блокированными, и он не может
эффективно
пользоваться палками, утрированно отводя их в стороны или опуская во
время
поворотов. Иногда оказываются блокированными и ноги лыжника.

Еще
одно следствие напряженной
спины — непроизвольное смещение назад при увеличении крутизны склона. В
этом случае, попадая на более крутой участок, лыжник сталкивается с
резким
ухудшением управляемости лыж, и единственное, что он может предпринять
— это перейти в низкую стойку и спускаться по прямой до выезда на
пологий
участок.

Напомним,
что основная стойка
индивидуальна и зависит от особенностей телосложения конкретного
лыжника,
однако, во всех случаях:

• центр
тяжести тела должен проецироваться
примерно на уровне середины стопы, что обеспечивает продольное
равновесие;

• все
отделы тела должны сгибаться
и разгибаться пропорционально, принимая равное участие в
формировании
более или менее низкой стойки;

Желание
СТОЯТЬ прямо и вертикально НЕПРАВИЛЬНО

ПРАВИЛЬНО:
• при спусках по склонам разной
крутизны положение тела относительно лыж не меняется, как будто склон
наклоняют
вместе со стоящим на нем лыжником.

Ошибочные
стойки трудно исправлять,
поскольку они осваиваются на самых первых этапах обучения, и их
принятие
быстро доводится до автоматизма. Заставлять лыжника следить за своей
позой
обычно малоэффективно, особенно, если он занят изучением каких-либо
новых
приемов. По-видимому, лучшим выходом является подбор упражнений,
связанных
с изменением стоек, например, преодоление перегибов и бугров. Кроме
того,
можно выполнять прыжки с естественных трамплинов, заканчивающиеся
мягким
приземлением, пологие плавные повороты на достаточно большой скорости в
низкой стойке и т.д. Эти упражнения можно выполнять в начале каждого
дня
занятий или чередовать с другими. » (справочник
горнолыжника)

Как проиллюстрировать
этот фрагмент справочника горнолыжника?
Достаточно полно можно отрывком из книги Ж.Жубера. С момента выхода
книги
прошло немало лет, техника катания изменилась, но взгляды на
правильность
горнолыжной стойки по-крупному не изменить. Картинки нарисованы
достаточно давно, но вполне нормально, хотя на сегодня здесь уже не
100% все так.

Правильная стойка
и ошибки стойки на видео

По материалам книги Ж.Жубера
«Самоучитель горнолыжника»

	СМОТРЕТЬ НА НОСКИ ЛЫЖ ПРИ СПУСКЕ — СЕРЬЕЗНАЯ ОШИБКА Эта ошибка очень сильно распространена среди лыжников и, к сожалению, трудно поддается исправлению. Тем не менее вам следует набраться терпения, чтобы избавиться от нее. Это нужно не только для того, чтобы освоить правильную технику, но и чтобы испытать наибольшее удовлетворение от спусков по трассам, окруженным чудесным снежным пейзажем. Только восприятие обстановки во время спуска, просмотр трассы могут дать нужные ориентиры для поддержания равновесия. Если же ваше поле зрения ограничивается двумя носками лыж и небольшим участком снега, по которому они скользят, то вам явно недостает нужных ориентиров. Чтобы избавиться от недостатка, сосредоточьте взгляд на каком-нибудь предмете, расположенном в 100 или 200 м ниже по склону, и спускайтесь частыми поворотами, не уводя от него взгляд. Поначалу вы будете периодически смотреть то на ориентир, то на носки лыж. Но проявите настойчивость, и вы быстро добьетесь успеха. Другой способ: катайтесь в 10 м позади своего друга и непрерывно смотрите на него. Попробуйте, и вы скоро почувствуете своего рода высвобождение. Лыжи перестанут быть для вас тем самым предметом, о котором надо все время думать, а превратятся как бы в продолжение ног, и только тогда вы сможете держать равновесие так же непринужденно, как хороший горнолыжник.
	ПРАВИЛЬНАЯ ЛИ У ВАС СТОЙКА? Возможно, вы относитесь к той части лыжников, которые привыкли к неправильной стойке все время катаются в ней. И тогда исполнение всех приемов в этой стойке становится сомнительным и в зависимости от случая в большей или меньшей степени теряет свою действенность. Наиболее типичны и серьезны две ошибки—постоянный наклон тела вперед или назад (но о них мы будем говорить в другой раз). А сейчас рассмотрим «безобидные» ошибки, которые вполне могут быть причиной неустойчивости вашего равновесия. Слишком выпрямленная стойка, особенно для лыжника или лыжницы высокого роста, становится очень неудобной при превышении некоторой скорости, во-первых, потому, что при этом легче нарушается равновесие, и, во-вторых, потому, что движения в суставах мешают восстановлению нарушенного равновесия. Таким образом, высокая стойка мешает удержанию равновесия и ограничивает возможности быстрых и точных реакций, которые отличают хорошего лыжника. Слишком согнутое и скованное положение приседа. Чтобы сохранять низкое положение приседа, надо напрягать мышцы. Для хорошо тренированного спортсмена это, быть может, и нетрудно. У других такое сильное приседание сковывает мышцы, и это очень мешает перегруппировкам усилий в мышцах, которые обеспечивают равновесие.
	Чересчур «сломленное» положение туловища ведет к сбоям в равновесии. Наиболее часто такая стойка сочетается с недостаточно согнутыми и иногда даже напряженными ногами. Болтание «сломленного» туловища. На ровных склонах это не очень мешает устойчивости, но на бугристых участках и в частых поворотах ведет к сильным наклонам туловища вперед. Это опасно особенно при падениях вперед. Такой недостаток можно исправить только косвенным путем: попробуйте сильнее сгибать ноги, сохраняя гибкость их движений для амортизации при прохождении бугров и смягчения перегрузок в поворотах. Следите также за правильным положением таза (см. далее). Другое эффективное средство: постоянно держите кисти впереди на уровне груди, никогда не опускайте их — так стабилизируется положение туловища.
	Прогнутая или напряженная спина —также большой недостаток Впалая спина. Его не всегда бывает легко определить как у других лыжников, так и у себя. К характерным признакам такой стойки, которая может быть следствием особенностей телосложения, относятся: слишком вертикальное положение туловища и его некоторая упругость, незначительное отведение плеч назад, положение; предплечий и кистей примерно в одной плоскости с туловищем, выпячивание груди. Движения туловища становятся монолитными; вместе с ним в движение вовлекаются плечи, руки и даже голова. Уколы палками чаще всего поверхностны и неэффективны. В этом случае не только нарушается равновесие, но и наверняка вырабатываются существенные ошибки в технике исполнения движений. Исправить этот недостаток непросто, на это потребуется много времени. Старайтесь впредь кататься держа кисти рук как можно больше впереди и вобрав в себя грудь, при таком положении спина прогнется назад. Таким путем вы сможете добиться расслабления мышц спины и свободы действий рук и плечевого пояса.
	Закрепощенное положение рук сзади, прижатые с боков туловища или позади него локти, крестообразное положение рук наблюдаются большей частью у лыжников с выгнутой вперед грудью или ровной, чаще всего напряженной спиной Выпячивание локтей, примкнутое положение локтей и нормальная стойка. Приподнятое положение локтей, округлое очертание рук обусловлено скованностью плечевого пояса и шеи и наиболее часто встречается у лыжников с привычным для них «вобранным» положением таза, которые используют вращательный бросок для входа в поворот и ведения его. Высокие взмахи руками перед нанесением уколов характерны для лыжников, привыкших к задней стойке. Выбрасывание рук вперед-вниз при исполнении поворотов наблюдается у лыжников, которые чересчур сильно наклоняются вперед. Округленное, крабообразное положение рук характерно в основном для лыжников, предпочитающих размашистые движения бедер в поворотах. Для понимания правильной стойки посмотрите на человечка справа ->
	В вашей стойке сильно подобран таз Это обычно связано с особенностью телосложения, и недостаток во время катания на лыжах обычно довольно заметен. Подобранное положение таза ведет к прогибу в пояснице. Стоя, вы можете легко почувствовать такое положение за счет разворота в тазобедренных суставах: втяните сильно живот и прогнитесь в пояснице — опустятся ягодицы, и таз будто бы подберется. Теперь выдвиньте таз назад-вверх, и он развернется в противоположном направлении, как бы выпятится. Это другая ошибка, о которой я скоро буду говорить. Если вы подберете таз, то каждый раз при попытке согнуть ноги вынуждены будете выдвигать колени вперед; при этом очень сильно сгибаются голеностопы, что приводит к наклону тела вперед.
	Выпяченное положение таза. Однако вы, наверное, уже заметили, что при такой; стойке ухудшается качество сцепления лыж со снегом. Вы должны, с одной стороны, сильно наклонять колено нижней ноги внутрь в траверсах на крутых и леденистых склонах, а с другой стороны, вам не удаются резкие динамичные закантовки. Тазобедренные суставы как бы чересчур подвижны и смягчают тем самым вертикальные нагрузки на лыжи. Кроме того, при продолжительном катании в такой стойке легко могут возникнуть болезненные ощущения в пояснице. Как же избавиться от этого недостатка? Просто: катаясь, убирайте таз, особенно в те моменты, когда необходимо обеспечить сцепление кантов со снегом. Упорство и настойчивость помогут вам изменить навыки и исправить стойку во время катания, даже если это укоренившийся недостаток вашей осанки.
	СИЛЬНО ОТКЛОНЯЕТЕСЬ НАЗАД! В наши дни хорошие лыжники никогда не злоупотребляют задней стойкой.

Правильная
стойка и ошибки стойки на видео

Горные лыжи.
Ошибки в катании

1)скованность
движений

2) размашистые
движения

3) задняя
стойка

4) наклон в сторону
поворота

5) внешняя нога
прямая

6) вращение корпуса и
многие другие

Горные лыжи — выявление ошибок

Главным
оружием для выявления ошибок является видеосъемка. Постарайтесь
двигаться максимально медленно, при этом все ошибочные движения вылезут
наружу.

Виды ошибок:

Опять таки хочу сослаться на два
наиболее доступно излагающих этот вопрос сайта — «справочник
горнолыжника»
и youcanski.com:

Непроизвольный упор

«Это
случается, в частности, в тех
случаях, когда лыжник, обучающийся поворотам на параллельных лыжах,
прекращает
занятия на этапе изучения техники плуга или упора. Оба этих приема
настолько
просты и эффективны, что быстро доводятся до автоматизма и в дальнейшем
могут стать серьезной помехой в совершенствовании техники.

Как
правило, лыжник, в общем овладевший
классическим поворотом на параллельных лыжах, делает кратковременный
упор
верхней лыжей при входе в поворот вниз, что особенно заметно на крутых
склонах.

При
использовании резаного ведения
также может проявляться непроизвольный упор верхней лыжей, особенно,
если
лыжник перешел на карвинговые лыжи, уже владея основами классической
техники.

В
обоих случаях эта ошибка сравнительно
легко исправляется, поскольку применение упора, вообще говоря,
усложняет
вход в поворот.

Напомним,
что при входе в классический
поворот обычно выполняется разгрузка лыж, которая обязательно должна
быть
направлена перпендикулярно к склону, в то время как использование упора
заставляет лыжника сохранять вертикальное положение или даже
наклоняться
к склону. В результате, для начального разворота лыж требуются большие
усилия, и поворот становится слишком резким и энергичным. Для
исправления
этой ошибки можно начать осваивать плавные повороты на высокой
скорости,
что уже было рекомендовано выше для исправления ошибочных стоек. При
этом
необходимо следить за плавностью входа в поворот и добиваться как можно
более узкого следа от проскальзывания задников, который должен иметь
вид
узкого и ровного полумесяца без изломов.

При
входе в резаный поворот тело
лыжника может быть не только перпендикулярным к склону, но и иметь
наклон
вниз, что позволяет добиться начального прогиба лыж, направленного в
обратную
сторону, т.е. вверх. Использование кратковременного упора заставляет
лыжника
входить в поворот с сильным опозданием, причем его корпус оказывается
развернутым
относительно лыж в наружную от поворота сторону. Для исправления этой
ошибки
рекомендуют то же самое упражнение — плавные повороты на высокой
скорости,
но с использованием резаного ведения. При этом следует добиваться как
можно
более раннего входа в поворот за счет возможно более сильного наклона
тела
вниз — лыжник должен «ложиться под склон», оказываясь на какое-то время
«вверх ногами».

Для
большей наглядности можно
выполнять это упражнение (с классическим или резаным ведением) на
склоне,
размеченном флагами наподобие трассы слалома-гиганта. Можно также
выполнять
повороты при подъеме на контруклон, что похоже на хаф-пайп, любимый
сноубордистами
и сторонниками «новой школы».

Некоторые
современные авторы рекомендуют
весьма эффективное, но, до некоторой степени, опасное упражнение —
выполнение
сопряженных поворотов в расстегнутых ботинках. Регулярное повторение
этого
упражнения на ровном пологом (до 10°-15°) склоне
способствует развитию
тонкой координации и дозировки усилий при входе в поворот, что, в свою
очередь, позволяет достаточно быстро устранить и непроизвольный упор.

Резкий разворот лыж

Эта
ошибка характерна для лыжников,
изучающих классическую технику на достаточно крутых склонах (более
15°).
С увеличением крутизны начинающему лыжнику сложно освоить разгрузку,
направленную
перпендикулярно к склону, и он пытается преодолевать сцепление лыж со
снегом
за счет чрезмерно сильного разгибания вертикально вверх (как при
подскоке).
В результате, лыжи разворачиваются на месте, после
чего скользят боком,
сильно тормозят и практически не управляются.

Иногда
слишком сильный начальный
разворот лыж связан с неправильной стойкой или с психологическим
дискомфортом,
возникающим при развороте лыж точно вниз и заставляющим лыжника как
можно
быстрее переходить в косой спуск. Обычно после резкого разворота лыжник
непроизвольно переносит вес на внутреннюю (верхнюю) лыжу, давление на
внешнюю
уменьшается, и ее задник сильно проскальзывает под действием
непогашенной
инерции вращения корпуса.

Для
исправления этой ошибки можно
воспользоваться упражнениями, уже описанными выше — выполнять повороты
на высокой скорости, осваивать вход в поворот разгибанием верхней ноги,
добиваясь, чтобы разгрузка всегда была направлена перпендикулярно к
склону.

Кроме
того, при изменении крутизны
склона положение лыжника относительно лыж должно оставаться неизменным,
как будто землю наклоняют вместе с движущимся лыжником. В частности,
это
значит, что непосредственно перед входом в поворот вниз по склону
лыжник
должен перенести свой центр тяжести в том же направлении. Для
исправления
ошибок, связанных с перемещением центра тяжести при изменении крутизны
склона, можно рекомендовать эффективное упражнение, обычно называемое
«гирляндой».
Оно состоит в выполнении серий сопряженных поворотов наискосок склона,
так, что один поворот приводит лыжника на линию ската (точно вниз по
склону),
а следующий — возвращает в косой спуск. Конечно, необходимо освоить
гирлянду
как вправо, так и влево.

Длинные траверсы

Многие лыжники, в том числе — достаточно
опытные, иногда не могут плавно сопрягать повороты и делают между ними
длинные косые спуски (траверсы). Чаще это проявляется на крутых или
бугристых
склонах.

Эта
ошибка может быть связана
с предыдущей, поскольку подготовка к кратковременному упору верхней
лыжей
отвлекает внимание лыжника и требует времени. В некоторых случаях
отсутствие
сопряжения поворотов может быть обусловлено отсутствием отдачи у
слишком
мягких лыж или плохим чувством равновесия.

Для
исправления этой ошибки можно
рекомендовать выполнение одиночных поворотов с предповоротами,
добиваясь,
чтобы разгрузка точно совпадала по времени с отдачей лыж после
предповорота.
При этом необходимо следить, чтобы предповорот каждый раз заканчивался
короткой резкой закантовкой. В дальнейшем можно переходить к сериям
поворотов
с предповоротами, постепенно увеличивая скорость.

Еще
одно эффективное упражнение
— спуски по склонам средней крутизны, покрытым глубоким мягким снегом.
В этом случае плавное сопряжение поворотов обычно оказывается
единственно
возможным способом спуска, и даже первый поворот вниз по склону может
быть
выполнен только после предповорота, обеспечивающего некоторую свободу
для
начального разворота лыж и позволяющего высвободить их носки из снега.
Конечно, это упражнение предназначено не для начинающих лыжников, и мы
рекомендуем его тем, кто уже имеет опыт катания, уверенно выполняет
повороты,
но испытывает трудности с их плавным сопряжением.

Хорошим
упражнением является также
выполнение серий сопряженных классических поворотов на очень пологом
склоне
и на предельно низкой скорости (3-5 км/ч, скорость пешехода). Как и в
предыдущем
случае, плавное сопряжение оказывается единственно возможным, поскольку
только отдача лыж может обеспечить усилие, необходимое для начала
поворота
на малой скорости. При этом можно считать про себя, выполняя повороты
в едином ритме на три счета:

•
раз — вход в поворот (разгрузка,
укол палкой и начальный разворот лыж);

•
два — скольжение по дуге с проскальзыванием
задников;

•
три — закантовка для выхода
из поворота и подготовка к следующему.

Понятно,
что это упражнение не
предусматривает резаного ведения лыж, требующего гораздо большей
скорости.

Очень
эффективное упражнение,
позволяющее освоить плавное сопряжение поворотов (как классических, так
и резаных) — катание по «узкой» трассе — отмеченному флагами
коридору
шириной 1.5-2 м. Обычно «узкие» трассы устанавливают на пологих склонах
(10°-15°), длина поворотов может составлять 10-15 м.

Ошибки
и их устранение (видео)

Горные лыжи.
Ошибки в катании

источник таблицы: http://www.youcanski.com/russian/instruktorskaya/xorosho_i_ploxo.htm

	Плохо Опережающий поворот корпуса. Эта ошибка также весьма и весьма популярна. Поворот плеч и бедер при их большой мышечной массе является очень мощным и более естественным, но при этом очень легко загрузить внутреннюю лыжу вместо внешней и невозможно создать большой угол закантовки. Это приводит к падению, особенно на крутых склонах, а закрутка корпуса к склону в конце поворота, ведет к позиции когда начать следующий поворот весьма затруднительно.
	Плохо Наклон корпуса к склону. Если мы побаиваемся, и пытаемся как — бы отстраниться от нырка вниз, а кроме этого боимся упасть, то результат происходит обратный т к в результате мы оказываясь на верхней лыже, теряем угол закантовки на нижней, и падаем на верхнее бедро. Стараясь отклониться от того, чего мы боимся — линии падения склона — мы только усугубляем положение.
	Плохо Опора на внутреннюю лыжу. На свете нету лыжника который бы этого не совершал. Это основная причина всех падений от новичков до олимпийских чемпионов.
	Плохо Отставание внешней руки. Встречается очень часто. Когда наша внешняя половина повернута назад, происходит отклонение корпуса от направления движения лыж, запаздывание входа в следующий поворот и в результате потеря равновесия.
	Плохо Поворот на современных лыжах не требуют никаких вращательных усилий. Несмотря на это, мы продолжаем стараться повернуть их для изменения направления движения. Для этого лыжи ставятся плоско (чего современные лыжи не любят) но, несмотря на это, мы продолжаем их вращать пока не поставим на кант. В результате пятки начинают проскальзывать, а мы продолжаем пихать их пока носки не станут поперек склона, что останавливает проскальзывание и замедляет движение. Люди которые поворачивают таким образом говорят, что они ненавидят современные лыжи. На самом деле они просто работают против их конструкции
	Плохо Старайтесь не делать лишних движений корпусом. не размахивайте руками. Ваш корпус должен смотреть в направлении вашего движения.
	Плохо Не сжимайте ручки палок, как бы стараясь их раздавить. Таким образом вы закрепощаете корпус и плечи и теряете возможность произвести правильный укол палкой.
	Плохо Раньше мы должны были делать мощные вертикальные движения (сгибания — разгибания) для облегчения входа в поворот. Сейчас это не нужно. Чересчур высокая стойка закрепощает суставы и лишает гибкости, а мощное сгибание пружинит лыжи в результате чего очень легко оказаться в задней стойке и потерять контроль над происходящим.

Горные лыжи и разножка

В чем вредность разножки. Дело
даже не в том, что она приводит к неправильному
положению корпуса.
Дело в том, что человек привыкает поворачивать только за счет разножки.
Начинает поворот с нее. Это входит в привычку. Пока со склоном все в
порядке, это прокатывает, но посмотрим, что произойдет в минимальный
расколбас. Смотрим это видео на 0:25-0:49 мин

Именно
так и происходят уборки из-за разножки. По пухляку такая техника
катания не прокатывает вообще — загруженная сильнее внешняя лыжа тонет
глубже и начинает отставать, а она уже и так отстает из-за разножки.

Смотрим еще одно видео, снятое GO PRO и смотрим внимательно на носки
лыж и разножку http://youtu.be/Hcoc9euI0tk

Видно, что и на крутом склоне разножку тоже нельзя делать слишком большой.

Как нужно было поступать, чтобы научиться кататься на крутом склоне
(где лыжи в повороте стявят поперек) — начать с пологого склона (1),
научиться ставить лыжи уже (2). Посмотрите внимательно на это тут https://youtu.be/_Mc5X-icPSw и если так у вас уже получается, то попробуйте так https://youtu.be/XFDL-JGuoWI

Психологические причины ошибок

Что именно
должен учитывать инструктор при обучении:

Были
выявлены следующие группы опасений и страхов:

• бытовые
— боязнь травм, ушибов, холода и т.д., опасение сломать лыжу или палку;

• фобийные
— страх скорости, высоты, края, прикосновения к холодному снегу и т.д.;

• «детские»
— боязнь собственной неловкости, ожидание насмешек или поучений;

• социальные
— некорректности инструктора, опасение потерять авторитет.

Эти
страхи по-разному, в разных соотношениях проявляются у людей разного
возраста, пола, социального статуса и т.п. Что должен сделать
инструктор, чтобы уменьшить их влияние на учеников:

1.Выдать
защитное снаряжение (шлем, наколенники и т п)

2.Выбрать
безопасный склон.

3.Продемонстрировать
безопасность изучаемого приема.

4.Страховать
(за руку или другим методом) при обучении.

5.Застенчивого
человека учить индивидуально, а не в группе.

6.Выявить
причину стойкой фобии

Стойкий
страх достаточно часто имеет под собой реальное основание. Пара
примеров: У ученика на сноуборде не получается поворот с переходом с
переднего канта
на задний, стойко не получается. Пробуем выяснить причину —
рассказывает, что в детстве упал в колодец, сидел на краю и упал спиной
вниз. После выяснения истиной причины дела пошли лучше, начал
поворачивать.

Противоположная
ситуация — девушка не может стоять на заднем канте, т. е. спиной к
склону. Выяснилось, что занимается скалолазанием и для нее только
положение «лицом к горе» является нормальным, а спиной к горе «я
сорвался, упал и повисну на страховке». И тоже, после того, как она
поняла причину, дела пошли лучше.

В работе инструктора 3/4 успеха это психология. Важно понимать, что
инструктор должен аккуратно относиться к понятию ОШИБКА и правильно
мотивировать занимающихся:

Главное
меню

Горные
лыжи Обучение

Начинающему

Книги и DVD

Для
детей

Про учебник

Методика

Ваш уровень?

Упражнения

Физподготовка

Ссылки

Трюки

Инструкторам

Виндсерфинг

Что
это?

Обучение

Начинающему

Ветер&??????

Учебники

Методика

Программа

Профи-уровни

Энциклопедия

Споты
мира

Видео учебн.

Клубы

Трюки

Погода
СПб

Обзор
по СПб

Доски
ССТ

Паруса
ССТ

Ремонт
досок

Кайты

Обучение

Начинающему

Учебники

Методика

Ссылки

Трюки

История
кайта

Обзор
по СПб

Сноуборд

Обучение

Начинающему

Про
учебник

Методика

Травматизм?

Упражнения

Ошибки

История

Книги и DVD

Ссылки

Инструкторам

Здесь есть 4
части вопроса:

1.Ощущение
своей физической формы и уверенность в себе помогают человеку справится
со страхом и собраться. Мне нравится работать со спортсменами
пришедшими из других видов, не из горных лыж. У них лучше и
чувство
равновесия и меньше вообще реальная вероятность получить любую травму.

2.Сила,
подвижность, гибкость, равновесие и скорость реакции у людей различны —
инструктор должен учесть это.

3.Тип темперамента человека повлияет на организацию обучения:

• флегматики — длительное
изучение технических элементов при единообразии упражнений и с большим
числом повторений каждого из них. От инструктора требуется длительное и
подробное объяснение, но в дальнейшем его постоянное присутствие не
обязательно; активные периоды обучения могут быть длительными
(несколько часов), поскольку флегматики обычно обладают пониженной
утомляемостью;

• сангвиники — быстрое
изучение технических элементов при разнообразии упражнений и с малым
числом повторений каждого из них. Инструктор может не присутствовать
постоянно, тем не менее, желательно его периодическое внимание для
своевременного исправления возможных ошибок; активные периоды обучения
могут быть достаточно длительными;

• холерики — быстрое
изучение технических элементов при разнообразии упражнений и с малым
числом повторений; необходимо постоянное возобновление ранее
приобретенных навыков, т.е. повторное изучение элементов, освоенных в
предыдущие дни. Инструктору необходимо убедиться, что все объяснения
восприняты правильно; в дальнейшем требуется его постоянное присутствие
и повышенное внимание к правильности выполнения движений; активные
периоды обучения должны быть короткими, необходимы частые перерывы, во
время которых желательно переключение внимания на вопросы, не связанные
с обучением;

• меланхолики — длительное
изучение технических элементов при единообразии упражнений и с большим
числом повторений; необходимо повторное изучение ранее освоенных
элементов с большим числом повторений. Необходимо постоянное
присутствие инструктора, от которого требуется не только контроль за
правильностью выполнения движений, но и постоянное поощрение; активные
периоды обучения должны быть короткими, но во время перерывов
переключение внимания нежелательно (хорошим вариантом короткого отдыха
может быть изучение теоретических основ горнолыжной техники).

Корректировка
методики:

• флегматики — техника
с сильными, но плавными движениями, с выраженной ритмической
составляющей или с постоянством усилий и их строгой дозировкой;

• сангвиники — техника
с сильными резкими движениями и с менее строгой дозировкой усилий, их
постоянство и выраженность ритма не имеют значения;

• холерики — техника
с резкими движениями, без выраженной ритмической составляющей и
дозировки усилий;

• меланхолики — техника
с плавными движениями, с выраженной ритмической составляющей. По
некоторым данным, меланхолики часто обладают повышенной остротой
мышечного чувства, что позволяет освоить очень тонкую и точную
дозировку усилий, хотя, конечно, это требует большого времени.

Склонность
к торможению (у флегматиков и меланхоликов) обычно сопряжена с
замедленными реакциями. По-видимому, носители этих темпераментов могут
испытывать сложности с освоением сопряжения поворотов. С другой
стороны, склонные к возбуждению холерики и сангвиники иногда с трудом
осваивают технику спуска по льду и насту, требующую повышенной точности
движений. Многочисленные исследования особенностей развития
специфических двигательных навыков однозначно показывают, что в обоих
указанных выше случаях успешность обучения оказывается выше у лиц,
имеющих лучшую общефизическую подготовку.

4.Обучающийся
катанию на горных лыжах часто по-разному может делать симметричные
движения — например повороты направо и налево. Это может быть связано с
различным развитием полушарий мозга или несимметричными травмами
(коленей, ног).

Горные лыжи. Ошибки
переноса

Прежде
всего стоит вообще рассказать, что такое этот самый «перенос».

Перенос
это влияние занятий другим видом спорта на текущие. Это влияние может
быть как положительным, так и отрицательным (положительный и отрицательный перенос) Положительно влияют на
освоение горных лыж те виды спорта, которые принципиально похожи на
них. Например — велоспорт (движение, повороты, наклон в повороте и
взаимодействие с центробежной силой, равновесие). Едешь, держишь равновесие и поворачиваешь.

Это на лыжи
похоже. Противоположный пример — тяжелая атлетика (статика, усилия).
Это на лыжи здорово непохоже и будет мешать. Стоит оговориться —
все это справедливо лишь в среднем (о проблеме переучивания).

Как проявляется ошибка переноса и что делать

Отрицательный
и положительный перенос обычно проявляются
только тогда, когда навык закрепился устойчиво
(человек до лыж занимался 5-7 лет каким-то другим видом
спорта). Как с этим поступить инструктору — объяснять
людям различия (выяснив предварительно какими видами спорта
занимались до) и сходства с лыжами (в стойке, движениях,
равновесии и т.д.) и стараться объяснять в их ключе.

Мой любимый пример такой — инструктор, занимавшийся до этого боксом и
шарящий в этом виде спорта и у него занимается боксер на лыжах. Боксер
машет руками, крутит корпусом и его заносит на каждом повороте
соответственно. Инструктор — «смотри, поворот влево — и левой снизу в
челюсть, поворот вправо — правой». И все ура — заработало.

Когда отрицательный перенос отступает:

Если иметь дело со спортсменом высокого уровня (мастер, кмс), то
отрицательный перенос проявляется меньше. Думаю, что 1-на хорошем
уровне в подготовке больше офп и разнообразия дополнительных видов
спорта, которые туда войдут, например будет тот же велосипед, как
циклическая нагрузка и т.д., 2-на хорошем уровне уровень владения своим
телом лучше, 3-больше навыков анализа/самоанализа движений.

Инструктор
должен проконтролировать правильность выдачи инвентаря в прокате и не
надет ли правый ботинок на левую ногу

Учить поворачивать, разумеется,
для начала лучше на немного более коротких лыжах. Существуют методики,
которые длину лыж считают одним из главных параметров и меняют ее в
процессе обучения от коротких к более длинным. Читать про МЕТОДИКА UPS

Я стараюсь сам протестировать
все модели прокатных лыж, чтобы знать что кому лучше выдавать.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the method of steepest descent or saddle-point method is an extension of Laplace’s method for approximating an integral, where one deforms a contour integral in the complex plane to pass near a stationary point (saddle point), in roughly the direction of steepest descent or stationary phase. The saddle-point approximation is used with integrals in the complex plane, whereas Laplace’s method is used with real integrals.

The integral to be estimated is often of the form

${displaystyle int _{C}f(z)e^{lambda g(z)},dz,}$

where C is a contour, and λ is large. One version of the method of steepest descent deforms the contour of integration C into a new path integration C′ so that the following conditions hold:

C′ passes through one or more zeros of the derivative g′(z),
the imaginary part of g(z) is constant on C′.

The method of steepest descent was first published by Debye (1909), who used it to estimate Bessel functions and pointed out that it occurred in the unpublished note by Riemann (1863) about hypergeometric functions. The contour of steepest descent has a minimax property, see Fedoryuk (2001). Siegel (1932) described some other unpublished notes of Riemann, where he used this method to derive the Riemann–Siegel formula.

Basic idea[edit]

The method of steepest descent is a method to approximate a complex integral of the form

${displaystyle I(lambda )=int _{C}f(z)e^{lambda g(z)},mathrm {d} z}$

for large , where f(z) and g(z) are analytic functions of . Because the integrand is analytic, the contour can be deformed into a new contour without changing the integral. In particular, one seeks a new contour on which the imaginary part of is constant. Then

${displaystyle I(lambda )=e^{ilambda {text{Im}}{g(z)}}int _{C'}f(z)e^{lambda {text{Re}}{g(z)}},mathrm {d} z,}$

and the remaining integral can be approximated with other methods like Laplace’s method.^[1]

Etymology[edit]

The method is called the method of steepest descent because for analytic g(z) , constant phase contours are equivalent to steepest descent contours.

If is an analytic function of z=x+iy , it satisfies the Cauchy–Riemann equations

${displaystyle {frac {partial X}{partial x}}={frac {partial Y}{partial y}}qquad {text{and}}qquad {frac {partial X}{partial y}}=-{frac {partial Y}{partial x}}.}$

Then

${displaystyle {frac {partial X}{partial x}}{frac {partial Y}{partial x}}+{frac {partial X}{partial y}}{frac {partial Y}{partial y}}=nabla Xcdot nabla Y=0,}$

so contours of constant phase are also contours of steepest descent.

A simple estimate^[2][edit]

Let f, S : Cⁿ → C and C ⊂ Cⁿ. If

$M = sup_{x in C} Re (S(x)) < infty,$

where denotes the real part, and there exists a positive real number λ₀ such that

$int_{C} left| f(x) e^{lambda_0 S(x)} right| dx < infty,$

then the following estimate holds:

$left| int_{C} f(x) e^{lambda S(x)} dx right| leqslant text{const}cdot e^{lambda M}, qquad forall lambda in mathbb{R}, quad lambda geqslant lambda_0.$

Proof of the simple estimate:

$begin{align} left| int_{C} f(x) e^{lambda S(x)} dx right| &leqslant int_C |f(x)| left|e^{lambda S(x)} right| dx \ &equiv int_{C} |f(x)| e^{lambda M} left | e^{lambda_0 (S(x)-M)} e^{(lambda-lambda_0)(S(x)-M)} right| dx \ &leqslant int_C |f(x)| e^{lambda M} left| e^{lambda_0 (S(x)-M)} right| dx && left| e^{(lambda-lambda_0)(S(x) - M)} right| leqslant 1 \ &= underbrace{e^{-lambda_0 M} int_{C} left| f(x) e^{lambda_0 S(x)} right| dx}_{text{const}} cdot e^{lambda M}. end{align}$

The case of a single non-degenerate saddle point[edit]

Basic notions and notation[edit]

Let x be a complex n-dimensional vector, and

$S''_{xx}(x) equiv left( frac{partial^2 S(x)}{partial x_i partial x_j} right), qquad 1leqslant i,, jleqslant n,$

denote the Hessian matrix for a function S(x). If

$boldsymbol{varphi}(x) = (varphi_1(x), varphi_2(x), ldots, varphi_k(x))$

is a vector function, then its Jacobian matrix is defined as

$boldsymbol{varphi}_x' (x) equiv left( frac{partial varphi_i (x)}{partial x_j} right), qquad 1 leqslant i leqslant k, quad 1 leqslant j leqslant n.$

A non-degenerate saddle point, z⁰ ∈ Cⁿ, of a holomorphic function S(z) is a critical point of the function (i.e., ∇S(z⁰) = 0) where the function’s Hessian matrix has a non-vanishing determinant (i.e., $det S''_{zz}(z^0) neq 0$ ).

The following is the main tool for constructing the asymptotics of integrals in the case of a non-degenerate saddle point:

Complex Morse lemma[edit]

The Morse lemma for real-valued functions generalizes as follows^[3] for holomorphic functions: near a non-degenerate saddle point z⁰ of a holomorphic function S(z), there exist coordinates in terms of which S(z) − S(z⁰) is exactly quadratic. To make this precise, let S be a holomorphic function with domain W ⊂ Cⁿ, and let z⁰ in W be a non-degenerate saddle point of S, that is, ∇S(z⁰) = 0 and $det S''_{zz}(z^0) neq 0$ . Then there exist neighborhoods U ⊂ W of z⁰ and V ⊂ Cⁿ of w = 0, and a bijective holomorphic function φ : V → U with φ(0) = z⁰ such that

$forall w in V: qquad S(boldsymbol{varphi}(w)) = S(z^0) + frac{1}{2} sum_{j=1}^n mu_j w_j^2, quad detboldsymbol{varphi}_w'(0) = 1,$

Here, the μ_j are the eigenvalues of the matrix $S_{zz}''(z^0)$ .

An illustration of Complex Morse lemma

Proof of complex Morse lemma

The following proof is a straightforward generalization of the proof of the real Morse Lemma, which can be found in.^[4] We begin by demonstrating

Auxiliary statement. Let f : Cⁿ → C be holomorphic in a neighborhood of the origin and f (0) = 0. Then in some neighborhood, there exist functions g_i : Cⁿ → C such that

${displaystyle f(z)=sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$

where each g_i is holomorphic and

${displaystyle g_{i}(0)=left.{tfrac {partial f(z)}{partial z_{i}}}right|_{z=0}.}$

From the identity

$f(z) = int_0^1 frac{d}{dt} f left (t z_1,cdots, t z_n right ) dt = sum_{i=1}^n z_i int_0^1 left. frac{partial f(z)}{partial z_i}right|_{z=(t z_1, ldots, t z_n)} dt,$

we conclude that

$g_i(z) = int_0^1 left. frac{partial f(z)}{partial z_i}right|_{z=(t z_1, ldots, t z_n)} dt$

and

$g_i(0) = left. frac{partial f(z)}{partial z_i} right|_{z=0}.$

Without loss of generality, we translate the origin to z⁰, such that z⁰ = 0 and S(0) = 0. Using the Auxiliary Statement, we have

$S(z) = sum_{i=1}^n z_i g_i (z).$

Since the origin is a saddle point,

$left. frac{partial S(z)}{partial z_i} right|_{z=0} = g_i(0) = 0,$

we can also apply the Auxiliary Statement to the functions g_i(z) and obtain

$S(z) = sum_{i,j=1}^n z_i z_j h_{ij}(z).$

(1)

Recall that an arbitrary matrix A can be represented as a sum of symmetric A^(s) and anti-symmetric A^(a) matrices,

$A_{ij} = A_{ij}^{(s)} + A_{ij}^{(a)}, qquad A_{ij}^{(s)} = tfrac{1}{2}left( A_{ij} + A_{ji} right), qquad A_{ij}^{(a)} = tfrac{1}{2}left( A_{ij} - A_{ji} right).$

The contraction of any symmetric matrix B with an arbitrary matrix A is

$sum_{i,j} B_{ij} A_{ij} = sum_{i,j} B_{ij} A_{ij}^{(s)},$

(2)

i.e., the anti-symmetric component of A does not contribute because

$sum_{i,j} B_{ij} C_{ij} = sum_{i,j} B_{ji} C_{ji} = - sum_{i,j} B_{ij} C_{ij} = 0.$

Thus, h_ij(z) in equation (1) can be assumed to be symmetric with respect to the interchange of the indices i and j. Note that

$left. frac{partial^2 S(z)}{partial z_i partial z_j} right|_{z=0} = 2h_{ij}(0);$

hence, det(h_ij(0)) ≠ 0 because the origin is a non-degenerate saddle point.

Let us show by induction that there are local coordinates u = (u₁, … u_n), z = ψ(u), 0 = ψ(0), such that

$S(boldsymbol{psi}(u)) = sum_{i=1}^n u_i^2.$

(3)

First, assume that there exist local coordinates y = (y₁, … y_n), z = φ(y), 0 = φ(0), such that

$S(boldsymbol{phi}(y)) = y_1^2 + cdots + y_{r-1}^2 + sum_{i,j = r}^n y_i y_j H_{ij} (y),$

(4)

where H_ij is symmetric due to equation (2). By a linear change of the variables (y_r, … y_n), we can assure that H_rr(0) ≠ 0. From the chain rule, we have

$frac{partial^2 S (boldsymbol{phi}(y))}{partial y_i partial y_j} = sum_{l,k=1}^n left. frac{partial^2 S (z)}{partial z_k partial z_l} right|_{z=boldsymbol{phi}(y)} frac{partial phi_k}{partial y_i} frac{partial phi_l}{partial y_j} + sum_{k=1}^n left. frac{partial S (z)}{partial z_k } right|_{z=boldsymbol{phi}(y)} frac{partial^2 phi_k}{partial y_i partial y_j}$

Therefore:

$S''_{yy} (boldsymbol{phi}(0)) = boldsymbol{phi}'_y(0)^T S''_{zz}(0) boldsymbol{phi}'_y(0), qquad det boldsymbol{phi}'_y(0) neq 0;$

whence,

$0 neq det S''_{yy} (boldsymbol{phi}(0)) = 2^{r-1} det left( 2H_{ij}(0) right).$

The matrix (H_ij(0)) can be recast in the Jordan normal form: (H_ij(0)) = LJL⁻¹, were L gives the desired non-singular linear transformation and the diagonal of J contains non-zero eigenvalues of (H_ij(0)). If H_ij(0) ≠ 0 then, due to continuity of H_ij(y), it must be also non-vanishing in some neighborhood of the origin. Having introduced $tilde{H}_{ij}(y) = H_{ij}(y)/H_{rr}(y)$ , we write

$begin{align} S(boldsymbol{varphi}(y)) =& y_1^2 + cdots + y_{r-1}^2 + H_{rr}(y) sum_{i,j = r}^n y_i y_j tilde{H}_{ij} (y) \ =& y_1^2 + cdots + y_{r-1}^2 + H_{rr}(y)left[ y_r^2 + 2y_r sum_{j=r+1}^n y_j tilde{H}_{rj} (y) + sum_{i,j = r+1}^n y_i y_j tilde{H}_{ij} (y) right] \ =& y_1^2 + cdots + y_{r-1}^2 + H_{rr}(y)left[ left( y_r + sum_{j=r+1}^n y_j tilde{H}_{rj} (y)right)^2 - left( sum_{j=r+1}^n y_j tilde{H}_{rj} (y)right)^2 right] + H_{rr}(y) sum_{i,j = r+1}^n y_i y_j tilde{H}_{ij}(y) end{align}$

Motivated by the last expression, we introduce new coordinates z = η(x), 0 = η(0),

$x_r = sqrt{ H_{rr}(y) } left( y_r + sum_{j=r+1}^n y_j tilde{H}_{rj} (y)right), qquad x_j = y_j, quad forall j neq r.$

The change of the variables y ↔ x is locally invertible since the corresponding Jacobian is non-zero,

$left. frac{partial x_r}{partial y_k} right|_{y=0} = sqrt{H_{rr}(0)} left[ delta_{r,, k} + sum_{j=r+1}^n delta_{j, , k} tilde{H}_{jr}(0) right].$

Therefore,

$S(boldsymbol{eta}(x)) = {x}_1^2 + cdots + {x}_r^2 + sum_{i,j = r+1}^n {x}_i {x}_j W_{ij} (x).$

(5)

Comparing equations (4) and (5), we conclude that equation (3) is verified. Denoting the eigenvalues of $S''_{zz}(0)$ by μ_j, equation (3) can be rewritten as

$S(boldsymbol{varphi}(w)) = frac 12 sum_{j=1}^n mu_j w_j^2.$

(6)

Therefore,

$S''_{ww} (boldsymbol{varphi}(0)) = boldsymbol{varphi}'_w(0)^T S''_{zz}(0) boldsymbol{varphi}'_w(0),$

(7)

From equation (6), it follows that $det S''_{ww} (boldsymbol{varphi}(0)) = mu_1 cdots mu_n$ . The Jordan normal form of $S''_{zz}(0)$ reads $S''_{zz}(0) = P J_z P^{-1}$ , where J_z is an upper diagonal matrix containing the eigenvalues and det P ≠ 0; hence, $det S''_{zz} (0) = mu_1 cdots mu_n$ . We obtain from equation (7)

$det S''_{ww} (boldsymbol{varphi}(0)) = left[det boldsymbol{varphi}'_w(0) right]^2 det S''_{zz}(0) Longrightarrow det boldsymbol{varphi}'_w(0) = pm 1.$

If $det boldsymbol{varphi}'_w(0) = -1$ , then interchanging two variables assures that $det boldsymbol{varphi}'_w(0) = +1$ .

The asymptotic expansion in the case of a single non-degenerate saddle point[edit]

Assume

f (z) and S(z) are holomorphic functions in an open, bounded, and simply connected set Ω_x ⊂ Cⁿ such that the I_x = Ω_x ∩ Rⁿ is connected;
has a single maximum: $max_{z in I_x} Re(S(z)) = Re(S(x^0))$ for exactly one point x⁰ ∈ I_x;
x⁰ is a non-degenerate saddle point (i.e., ∇S(x⁰) = 0 and $det S''_{xx}(x^0) neq 0$ ).

Then, the following asymptotic holds

$I(lambda) equiv int_{I_x} f(x) e^{lambda S(x)} dx = left( frac{2pi}{lambda}right)^{frac{n}{2}} e^{lambda S(x^0)} left(f(x^0)+ Oleft(lambda^{-1}right) right) prod_{j=1}^n (-mu_j)^{-frac{1}{2}}, qquad lambda to infty,$

(8)

where μ_j are eigenvalues of the Hessian $S''_{xx}(x^0)$ and $(-mu_j)^{-frac{1}{2}}$ are defined with arguments

$left | argsqrt{-mu_j} right| < tfrac{pi}{4}.$

(9)

This statement is a special case of more general results presented in Fedoryuk (1987).^[5]

Derivation of equation (8)

An illustration to the derivation of equation (8)

First, we deform the contour I_x into a new contour passing through the saddle point x⁰ and sharing the boundary with I_x. This deformation does not change the value of the integral I(λ). We employ the Complex Morse Lemma to change the variables of integration. According to the lemma, the function φ(w) maps a neighborhood x⁰ ∈ U ⊂ Ω_x onto a neighborhood Ω_w containing the origin. The integral I(λ) can be split into two: I(λ) = I₀(λ) + I₁(λ), where I₀(λ) is the integral over , while I₁(λ) is over (i.e., the remaining part of the contour I′_x). Since the latter region does not contain the saddle point x⁰, the value of I₁(λ) is exponentially smaller than I₀(λ) as λ → ∞;^[6] thus, I₁(λ) is ignored. Introducing the contour I_w such that $Ucap I'_x = boldsymbol{varphi}(I_w)$ , we have

$I_0(lambda) = e^{lambda S(x^0)} int_{I_w} f[boldsymbol{varphi}(w)] expleft( lambda sum_{j=1}^n tfrac{mu_j}{2} w_j^2 right) left |detboldsymbol{varphi}_w'(w) right | dw.$

(10)

Recalling that x⁰ = φ(0) as well as $det boldsymbol{varphi}_w'(0) = 1$ , we expand the pre-exponential function into a Taylor series and keep just the leading zero-order term

$I_0(lambda) approx f(x^0) e^{lambda S(x^0)} int_{mathbf{R}^n} exp left( lambda sum_{j=1}^n tfrac{mu_j}{2} w_j^2 right) dw = f(x^0)e^{lambda S(x^0)} prod_{j=1}^n int_{-infty}^{infty} e^{frac{1}{2}lambda mu_j y^2} dy.$

(11)

Here, we have substituted the integration region I_w by Rⁿ because both contain the origin, which is a saddle point, hence they are equal up to an exponentially small term.^[7] The integrals in the r.h.s. of equation (11) can be expressed as

$mathcal{I}_j = int_{-infty}^{infty} e^{frac{1}{2} lambda mu_j y^2} dy = 2int_0^{infty} e^{-frac{1}{2} lambda left(sqrt{-mu_j} yright)^2} dy = 2int_0^{infty} e^{-frac{1}{2} lambda left |sqrt{-mu_j} right|^2 y^2expleft(2iargsqrt{-mu_j}right)} dy.$

(12)

From this representation, we conclude that condition (9) must be satisfied in order for the r.h.s. and l.h.s. of equation (12) to coincide. According to assumption 2, $Re left( S_{xx}''(x^0) right)$ is a negatively defined quadratic form (viz., ) implying the existence of the integral ${mathcal {I}}_{j}$ , which is readily calculated

$mathcal{I}_j = frac{2}{sqrt{-mu_j}sqrt{lambda}} int_0^{infty} e^{-frac{xi^2}{2}} dxi = sqrt{frac{2pi}{lambda}} (-mu_j)^{-frac{1}{2}}.$

Equation (8) can also be written as

$I(lambda) = left( frac{2pi}{lambda}right)^{frac{n}{2}} e^{lambda S(x^0)} left ( det (-S_{xx}''(x^0)) right )^{-frac{1}{2}} left (f(x^0) + Oleft(lambda^{-1}right) right),$

(13)

where the branch of

$sqrt{det left (-S_{xx}''(x^0) right)}$

is selected as follows

$begin{align} left (det left (-S_{xx}''(x^0) right ) right)^{-frac{1}{2}} &= expleft( -i text{ Ind} left (- S_{xx}''(x^0) right ) right) prod_{j=1}^n left| mu_j right|^{-frac{1}{2}}, \ text{Ind} left (-S_{xx}''(x^0) right) &= tfrac{1}{2} sum_{j=1}^n arg (-mu_j), && |arg(-mu_j)| < tfrac{pi}{2}. end{align}$

Consider important special cases:

The case of multiple non-degenerate saddle points[edit]

If the function S(x) has multiple isolated non-degenerate saddle points, i.e.,

$nabla S left (x^{(k)} right ) = 0, quad det S''_{xx} left (x^{(k)} right ) neq 0, quad x^{(k)} in Omega_x^{(k)},$

where

$left { Omega_x^{(k)} right }_{k=1}^K$

is an open cover of Ω_x, then the calculation of the integral asymptotic is reduced to the case of a single saddle point by employing the partition of unity. The partition of unity allows us to construct a set of continuous functions ρ_k(x) : Ω_x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ K, such that

$begin{align} sum_{k=1}^K rho_k(x) &= 1, && forall x in Omega_x, \ rho_k(x) &= 0 && forall x in Omega_xsetminus Omega_x^{(k)}. end{align}$

Whence,

$int_{I_x subset Omega_x} f(x) e^{lambda S(x)} dx equiv sum_{k=1}^K int_{I_x subset Omega_x} rho_k(x) f(x) e^{lambda S(x)} dx.$

Therefore as λ → ∞ we have:

$sum_{k=1}^K int_{text{a neighborhood of }x^{(k)}} f(x) e^{lambda S(x)} dx = left(frac{2pi}{lambda}right)^{frac{n}{2}} sum_{k=1}^K e^{lambda S left (x^{(k)} right )} left ( det left(-S_{xx}'' left (x^{(k)} right )right) right)^{-frac{1}{2}} f left (x^{(k)} right ),$

where equation (13) was utilized at the last stage, and the pre-exponential function f (x) at least must be continuous.

The other cases[edit]

When ∇S(z⁰) = 0 and $det S''_{zz}(z^0) = 0$ , the point z⁰ ∈ Cⁿ is called a degenerate saddle point of a function S(z).

Calculating the asymptotic of

$int f(x) e^{lambda S(x)} dx,$

when λ → ∞, f (x) is continuous, and S(z) has a degenerate saddle point, is a very rich problem, whose solution heavily relies on the catastrophe theory. Here, the catastrophe theory replaces the Morse lemma, valid only in the non-degenerate case, to transform the function S(z) into one of the multitude of canonical representations. For further details see, e.g., Poston & Stewart (1978) and Fedoryuk (1987).

Integrals with degenerate saddle points naturally appear in many applications including optical caustics and the multidimensional WKB approximation in quantum mechanics.

The other cases such as, e.g., f (x) and/or S(x) are discontinuous or when an extremum of S(x) lies at the integration region’s boundary, require special care (see, e.g., Fedoryuk (1987) and Wong (1989)).

Extensions and generalizations[edit]

An extension of the steepest descent method is the so-called nonlinear stationary phase/steepest descent method. Here, instead of integrals, one needs to evaluate asymptotically solutions of Riemann–Hilbert factorization problems.

Given a contour C in the complex sphere, a function f defined on that contour and a special point, say infinity, one seeks a function M holomorphic away from the contour C, with prescribed jump across C, and with a given normalization at infinity. If f and hence M are matrices rather than scalars this is a problem that in general does not admit an explicit solution.

An asymptotic evaluation is then possible along the lines of the linear stationary phase/steepest descent method. The idea is to reduce asymptotically the solution of the given Riemann–Hilbert problem to that of a simpler, explicitly solvable, Riemann–Hilbert problem. Cauchy’s theorem is used to justify deformations of the jump contour.

The nonlinear stationary phase was introduced by Deift and Zhou in 1993, based on earlier work of the Russian mathematician Alexander Its. A (properly speaking) nonlinear steepest descent method was introduced by Kamvissis, K. McLaughlin and P. Miller in 2003, based on previous work of Lax, Levermore, Deift, Venakides and Zhou. As in the linear case, steepest descent contours solve a min-max problem. In the nonlinear case they turn out to be «S-curves» (defined in a different context back in the 80s by Stahl, Gonchar and Rakhmanov).

The nonlinear stationary phase/steepest descent method has applications to the theory of soliton equations and integrable models, random matrices and combinatorics.

Notes[edit]

^ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4757-3069-2. ISBN 978-1-4419-3187-0.
^ A modified version of Lemma 2.1.1 on page 56 in Fedoryuk (1987).
^ Lemma 3.3.2 on page 113 in Fedoryuk (1987)
^ Poston & Stewart (1978), page 54; see also the comment on page 479 in Wong (1989).
^ Fedoryuk (1987), pages 417-420.
^ This conclusion follows from a comparison between the final asymptotic for I₀(λ), given by equation (8), and a simple estimate for the discarded integral I₁(λ).
^ This is justified by comparing the integral asymptotic over Rⁿ [see equation (8)] with a simple estimate for the altered part.
^ See equation (4.4.9) on page 125 in Fedoryuk (1987)
^ Rigorously speaking, this case cannot be inferred from equation (8) because the second assumption, utilized in the derivation, is violated. To include the discussed case of a purely imaginary phase function, condition (9) should be replaced by $left | argsqrt{-mu_j} right | leqslant tfrac{pi}{4}.$
^ See equation (2.2.6′) on page 186 in Fedoryuk (1987)

References[edit]

Chaichian, M.; Demichev, A. (2001), Path Integrals in Physics Volume 1: Stochastic Process and Quantum Mechanics, Taylor & Francis, p. 174, ISBN 075030801X
Debye, P. (1909), «Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index», Mathematische Annalen, 67 (4): 535–558, doi:10.1007/BF01450097, S2CID 122219667 English translation in Debye, Peter J. W. (1954), The collected papers of Peter J. W. Debye, Interscience Publishers, Inc., New York, ISBN 978-0-918024-58-9, MR 0063975
Deift, P.; Zhou, X. (1993), «A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation», Ann. of Math., The Annals of Mathematics, Vol. 137, No. 2, vol. 137, no. 2, pp. 295–368, arXiv:math/9201261, doi:10.2307/2946540, JSTOR 2946540, S2CID 12699956.
Erdelyi, A. (1956), Asymptotic Expansions, Dover.
Fedoryuk, M. V. (2001) [1994], «Saddle point method», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Fedoryuk, M. V. (1987), Asymptotic: Integrals and Series, Nauka, Moscow [in Russian].
Kamvissis, S.; McLaughlin, K. T.-R.; Miller, P. (2003), «Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation», Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, vol. 154.
Riemann, B. (1863), Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita (Unpublished note, reproduced in Riemann’s collected papers.)
Siegel, C. L. (1932), «Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie», Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
- Translated in Deift, Percy; Zhou, Xin (2018), «On Riemanns Nachlass for Analytic Number Theory: A translation of Siegel’s Uber», arXiv:1810.05198 [math.HO].
Poston, T.; Stewart, I. (1978), Catastrophe Theory and Its Applications, Pitman.
Schulman, L. S. (2005), «Ch. 17: The Phase of the Semiclassical Amplitude», Techniques and Applications of Path Integration, Dover, ISBN 0486445283
Wong, R. (1989), Asymptotic approximations of integrals, Academic Press.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

The integral to be estimated is often of the form

${displaystyle int _{C}f(z)e^{lambda g(z)},dz,}$

where C is a contour, and λ is large. One version of the method of steepest descent deforms the contour of integration C into a new path integration C′ so that the following conditions hold:

C′ passes through one or more zeros of the derivative g′(z),
the imaginary part of g(z) is constant on C′.

Basic idea[edit]

The method of steepest descent is a method to approximate a complex integral of the form

${displaystyle I(lambda )=int _{C}f(z)e^{lambda g(z)},mathrm {d} z}$

${displaystyle I(lambda )=e^{ilambda {text{Im}}{g(z)}}int _{C'}f(z)e^{lambda {text{Re}}{g(z)}},mathrm {d} z,}$

and the remaining integral can be approximated with other methods like Laplace’s method.^[1]

Etymology[edit]

The method is called the method of steepest descent because for analytic g(z) , constant phase contours are equivalent to steepest descent contours.

If is an analytic function of z=x+iy , it satisfies the Cauchy–Riemann equations

${displaystyle {frac {partial X}{partial x}}={frac {partial Y}{partial y}}qquad {text{and}}qquad {frac {partial X}{partial y}}=-{frac {partial Y}{partial x}}.}$

Then

${displaystyle {frac {partial X}{partial x}}{frac {partial Y}{partial x}}+{frac {partial X}{partial y}}{frac {partial Y}{partial y}}=nabla Xcdot nabla Y=0,}$

so contours of constant phase are also contours of steepest descent.

A simple estimate^[2][edit]

Let f, S : Cⁿ → C and C ⊂ Cⁿ. If

$M = sup_{x in C} Re (S(x)) < infty,$

where denotes the real part, and there exists a positive real number λ₀ such that

$int_{C} left| f(x) e^{lambda_0 S(x)} right| dx < infty,$

then the following estimate holds:

$left| int_{C} f(x) e^{lambda S(x)} dx right| leqslant text{const}cdot e^{lambda M}, qquad forall lambda in mathbb{R}, quad lambda geqslant lambda_0.$

Proof of the simple estimate:

The case of a single non-degenerate saddle point[edit]

Basic notions and notation[edit]

Let x be a complex n-dimensional vector, and

$S''_{xx}(x) equiv left( frac{partial^2 S(x)}{partial x_i partial x_j} right), qquad 1leqslant i,, jleqslant n,$

denote the Hessian matrix for a function S(x). If

$boldsymbol{varphi}(x) = (varphi_1(x), varphi_2(x), ldots, varphi_k(x))$

is a vector function, then its Jacobian matrix is defined as

$boldsymbol{varphi}_x' (x) equiv left( frac{partial varphi_i (x)}{partial x_j} right), qquad 1 leqslant i leqslant k, quad 1 leqslant j leqslant n.$

The following is the main tool for constructing the asymptotics of integrals in the case of a non-degenerate saddle point:

Complex Morse lemma[edit]

$forall w in V: qquad S(boldsymbol{varphi}(w)) = S(z^0) + frac{1}{2} sum_{j=1}^n mu_j w_j^2, quad detboldsymbol{varphi}_w'(0) = 1,$

Here, the μ_j are the eigenvalues of the matrix $S_{zz}''(z^0)$ .

An illustration of Complex Morse lemma

Proof of complex Morse lemma

The following proof is a straightforward generalization of the proof of the real Morse Lemma, which can be found in.^[4] We begin by demonstrating

Auxiliary statement. Let f : Cⁿ → C be holomorphic in a neighborhood of the origin and f (0) = 0. Then in some neighborhood, there exist functions g_i : Cⁿ → C such that

${displaystyle f(z)=sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$

where each g_i is holomorphic and

${displaystyle g_{i}(0)=left.{tfrac {partial f(z)}{partial z_{i}}}right|_{z=0}.}$

From the identity

$f(z) = int_0^1 frac{d}{dt} f left (t z_1,cdots, t z_n right ) dt = sum_{i=1}^n z_i int_0^1 left. frac{partial f(z)}{partial z_i}right|_{z=(t z_1, ldots, t z_n)} dt,$

we conclude that

$g_i(z) = int_0^1 left. frac{partial f(z)}{partial z_i}right|_{z=(t z_1, ldots, t z_n)} dt$

and

$g_i(0) = left. frac{partial f(z)}{partial z_i} right|_{z=0}.$

Without loss of generality, we translate the origin to z⁰, such that z⁰ = 0 and S(0) = 0. Using the Auxiliary Statement, we have

$S(z) = sum_{i=1}^n z_i g_i (z).$

Since the origin is a saddle point,

$left. frac{partial S(z)}{partial z_i} right|_{z=0} = g_i(0) = 0,$

we can also apply the Auxiliary Statement to the functions g_i(z) and obtain

$S(z) = sum_{i,j=1}^n z_i z_j h_{ij}(z).$

(1)

Recall that an arbitrary matrix A can be represented as a sum of symmetric A^(s) and anti-symmetric A^(a) matrices,

$A_{ij} = A_{ij}^{(s)} + A_{ij}^{(a)}, qquad A_{ij}^{(s)} = tfrac{1}{2}left( A_{ij} + A_{ji} right), qquad A_{ij}^{(a)} = tfrac{1}{2}left( A_{ij} - A_{ji} right).$

The contraction of any symmetric matrix B with an arbitrary matrix A is

$sum_{i,j} B_{ij} A_{ij} = sum_{i,j} B_{ij} A_{ij}^{(s)},$

(2)

i.e., the anti-symmetric component of A does not contribute because

$sum_{i,j} B_{ij} C_{ij} = sum_{i,j} B_{ji} C_{ji} = - sum_{i,j} B_{ij} C_{ij} = 0.$

Thus, h_ij(z) in equation (1) can be assumed to be symmetric with respect to the interchange of the indices i and j. Note that

$left. frac{partial^2 S(z)}{partial z_i partial z_j} right|_{z=0} = 2h_{ij}(0);$

hence, det(h_ij(0)) ≠ 0 because the origin is a non-degenerate saddle point.

Let us show by induction that there are local coordinates u = (u₁, … u_n), z = ψ(u), 0 = ψ(0), such that

$S(boldsymbol{psi}(u)) = sum_{i=1}^n u_i^2.$

(3)

First, assume that there exist local coordinates y = (y₁, … y_n), z = φ(y), 0 = φ(0), such that

$S(boldsymbol{phi}(y)) = y_1^2 + cdots + y_{r-1}^2 + sum_{i,j = r}^n y_i y_j H_{ij} (y),$

(4)

where H_ij is symmetric due to equation (2). By a linear change of the variables (y_r, … y_n), we can assure that H_rr(0) ≠ 0. From the chain rule, we have

Therefore:

$S''_{yy} (boldsymbol{phi}(0)) = boldsymbol{phi}'_y(0)^T S''_{zz}(0) boldsymbol{phi}'_y(0), qquad det boldsymbol{phi}'_y(0) neq 0;$

whence,

$0 neq det S''_{yy} (boldsymbol{phi}(0)) = 2^{r-1} det left( 2H_{ij}(0) right).$

Motivated by the last expression, we introduce new coordinates z = η(x), 0 = η(0),

$x_r = sqrt{ H_{rr}(y) } left( y_r + sum_{j=r+1}^n y_j tilde{H}_{rj} (y)right), qquad x_j = y_j, quad forall j neq r.$

The change of the variables y ↔ x is locally invertible since the corresponding Jacobian is non-zero,

$left. frac{partial x_r}{partial y_k} right|_{y=0} = sqrt{H_{rr}(0)} left[ delta_{r,, k} + sum_{j=r+1}^n delta_{j, , k} tilde{H}_{jr}(0) right].$

Therefore,

$S(boldsymbol{eta}(x)) = {x}_1^2 + cdots + {x}_r^2 + sum_{i,j = r+1}^n {x}_i {x}_j W_{ij} (x).$

(5)

Comparing equations (4) and (5), we conclude that equation (3) is verified. Denoting the eigenvalues of $S''_{zz}(0)$ by μ_j, equation (3) can be rewritten as

$S(boldsymbol{varphi}(w)) = frac 12 sum_{j=1}^n mu_j w_j^2.$

(6)

Therefore,

$S''_{ww} (boldsymbol{varphi}(0)) = boldsymbol{varphi}'_w(0)^T S''_{zz}(0) boldsymbol{varphi}'_w(0),$

(7)

$det S''_{ww} (boldsymbol{varphi}(0)) = left[det boldsymbol{varphi}'_w(0) right]^2 det S''_{zz}(0) Longrightarrow det boldsymbol{varphi}'_w(0) = pm 1.$

If $det boldsymbol{varphi}'_w(0) = -1$ , then interchanging two variables assures that $det boldsymbol{varphi}'_w(0) = +1$ .

The asymptotic expansion in the case of a single non-degenerate saddle point[edit]

Assume

f (z) and S(z) are holomorphic functions in an open, bounded, and simply connected set Ω_x ⊂ Cⁿ such that the I_x = Ω_x ∩ Rⁿ is connected;
has a single maximum: $max_{z in I_x} Re(S(z)) = Re(S(x^0))$ for exactly one point x⁰ ∈ I_x;
x⁰ is a non-degenerate saddle point (i.e., ∇S(x⁰) = 0 and $det S''_{xx}(x^0) neq 0$ ).

Then, the following asymptotic holds

(8)

where μ_j are eigenvalues of the Hessian $S''_{xx}(x^0)$ and $(-mu_j)^{-frac{1}{2}}$ are defined with arguments

$left | argsqrt{-mu_j} right| < tfrac{pi}{4}.$

(9)

This statement is a special case of more general results presented in Fedoryuk (1987).^[5]

Derivation of equation (8)

An illustration to the derivation of equation (8)

$I_0(lambda) = e^{lambda S(x^0)} int_{I_w} f[boldsymbol{varphi}(w)] expleft( lambda sum_{j=1}^n tfrac{mu_j}{2} w_j^2 right) left |detboldsymbol{varphi}_w'(w) right | dw.$

(10)

Recalling that x⁰ = φ(0) as well as $det boldsymbol{varphi}_w'(0) = 1$ , we expand the pre-exponential function into a Taylor series and keep just the leading zero-order term

(11)

(12)

$mathcal{I}_j = frac{2}{sqrt{-mu_j}sqrt{lambda}} int_0^{infty} e^{-frac{xi^2}{2}} dxi = sqrt{frac{2pi}{lambda}} (-mu_j)^{-frac{1}{2}}.$

Equation (8) can also be written as

$I(lambda) = left( frac{2pi}{lambda}right)^{frac{n}{2}} e^{lambda S(x^0)} left ( det (-S_{xx}''(x^0)) right )^{-frac{1}{2}} left (f(x^0) + Oleft(lambda^{-1}right) right),$

(13)

where the branch of

$sqrt{det left (-S_{xx}''(x^0) right)}$

is selected as follows

Consider important special cases:

The case of multiple non-degenerate saddle points[edit]

If the function S(x) has multiple isolated non-degenerate saddle points, i.e.,

$nabla S left (x^{(k)} right ) = 0, quad det S''_{xx} left (x^{(k)} right ) neq 0, quad x^{(k)} in Omega_x^{(k)},$

where

$left { Omega_x^{(k)} right }_{k=1}^K$

$begin{align} sum_{k=1}^K rho_k(x) &= 1, && forall x in Omega_x, \ rho_k(x) &= 0 && forall x in Omega_xsetminus Omega_x^{(k)}. end{align}$

Whence,

$int_{I_x subset Omega_x} f(x) e^{lambda S(x)} dx equiv sum_{k=1}^K int_{I_x subset Omega_x} rho_k(x) f(x) e^{lambda S(x)} dx.$

Therefore as λ → ∞ we have:

where equation (13) was utilized at the last stage, and the pre-exponential function f (x) at least must be continuous.

The other cases[edit]

When ∇S(z⁰) = 0 and $det S''_{zz}(z^0) = 0$ , the point z⁰ ∈ Cⁿ is called a degenerate saddle point of a function S(z).

Calculating the asymptotic of

$int f(x) e^{lambda S(x)} dx,$

Integrals with degenerate saddle points naturally appear in many applications including optical caustics and the multidimensional WKB approximation in quantum mechanics.

Extensions and generalizations[edit]

The nonlinear stationary phase/steepest descent method has applications to the theory of soliton equations and integrable models, random matrices and combinatorics.

Notes[edit]

^ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4757-3069-2. ISBN 978-1-4419-3187-0.
^ A modified version of Lemma 2.1.1 on page 56 in Fedoryuk (1987).
^ Lemma 3.3.2 on page 113 in Fedoryuk (1987)
^ Poston & Stewart (1978), page 54; see also the comment on page 479 in Wong (1989).
^ Fedoryuk (1987), pages 417-420.
^ This conclusion follows from a comparison between the final asymptotic for I₀(λ), given by equation (8), and a simple estimate for the discarded integral I₁(λ).
^ This is justified by comparing the integral asymptotic over Rⁿ [see equation (8)] with a simple estimate for the altered part.
^ See equation (4.4.9) on page 125 in Fedoryuk (1987)
^ Rigorously speaking, this case cannot be inferred from equation (8) because the second assumption, utilized in the derivation, is violated. To include the discussed case of a purely imaginary phase function, condition (9) should be replaced by $left | argsqrt{-mu_j} right | leqslant tfrac{pi}{4}.$
^ See equation (2.2.6′) on page 186 in Fedoryuk (1987)

References[edit]

Chaichian, M.; Demichev, A. (2001), Path Integrals in Physics Volume 1: Stochastic Process and Quantum Mechanics, Taylor & Francis, p. 174, ISBN 075030801X
Debye, P. (1909), «Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index», Mathematische Annalen, 67 (4): 535–558, doi:10.1007/BF01450097, S2CID 122219667 English translation in Debye, Peter J. W. (1954), The collected papers of Peter J. W. Debye, Interscience Publishers, Inc., New York, ISBN 978-0-918024-58-9, MR 0063975
Deift, P.; Zhou, X. (1993), «A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation», Ann. of Math., The Annals of Mathematics, Vol. 137, No. 2, vol. 137, no. 2, pp. 295–368, arXiv:math/9201261, doi:10.2307/2946540, JSTOR 2946540, S2CID 12699956.
Erdelyi, A. (1956), Asymptotic Expansions, Dover.
Fedoryuk, M. V. (2001) [1994], «Saddle point method», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Fedoryuk, M. V. (1987), Asymptotic: Integrals and Series, Nauka, Moscow [in Russian].
Kamvissis, S.; McLaughlin, K. T.-R.; Miller, P. (2003), «Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation», Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, vol. 154.
Riemann, B. (1863), Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita (Unpublished note, reproduced in Riemann’s collected papers.)
Siegel, C. L. (1932), «Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie», Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
- Translated in Deift, Percy; Zhou, Xin (2018), «On Riemanns Nachlass for Analytic Number Theory: A translation of Siegel’s Uber», arXiv:1810.05198 [math.HO].
Poston, T.; Stewart, I. (1978), Catastrophe Theory and Its Applications, Pitman.
Schulman, L. S. (2005), «Ch. 17: The Phase of the Semiclassical Amplitude», Techniques and Applications of Path Integration, Dover, ISBN 0486445283
Wong, R. (1989), Asymptotic approximations of integrals, Academic Press.

Источник

Как правильно пишется словосочетание «крутой спуск»

Делаем Карту слов лучше вместе

Ассоциации к слову «крутой»

Ассоциации к слову «спуск»

Синонимы к словосочетанию «крутой спуск»

Предложения со словосочетанием «крутой спуск»

Цитаты из русской классики со словосочетанием «крутой спуск»

Значение слова «крутой»

Значение слова «спуск»

Афоризмы русских писателей со словом «крутой»

Отправить комментарий

Дополнительно

Орфография

Грамматика

Пунктуация

Какие языки поддерживает инструмент?

Горные лыжи — техника катания

Горные лыжи — ошибки в технике катания и обучении. Коррекция ошибок и устранение причин ошибок инструктором.

Горные лыжи и разножка

Горные лыжи. Ошибки переноса

Basic idea[edit]

Etymology[edit]

A simple estimate[2][edit]

The case of a single non-degenerate saddle point[edit]

Basic notions and notation[edit]

Complex Morse lemma[edit]

The asymptotic expansion in the case of a single non-degenerate saddle point[edit]

The case of multiple non-degenerate saddle points[edit]

The other cases[edit]

Extensions and generalizations[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Basic idea[edit]

Etymology[edit]

A simple estimate[2][edit]

The case of a single non-degenerate saddle point[edit]

Basic notions and notation[edit]

Complex Morse lemma[edit]

The asymptotic expansion in the case of a single non-degenerate saddle point[edit]

The case of multiple non-degenerate saddle points[edit]

The other cases[edit]

Extensions and generalizations[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Читайте также:

Горные
лыжи — техника катания

Горные лыжи — ошибки
в технике катания и обучении.

Коррекция ошибок и устранение причин
ошибок инструктором.

Горные лыжи. Ошибки
переноса

A simple estimate^[2][edit]

A simple estimate^[2][edit]