Стандартная ошибка среднего сос - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

МЕТОДОЛОГИЯ МЕДИЦИНСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

нию, т. е. при графическом изображении кривая име-

В тексте статьи должно иметься объяснение того,

ет вид колокола. При этом диапазон нормальных зна-

каким образом подобные результаты были учтены

чений лежит в пределах ±2 СКО от средней величи-

при определении чувствительности и специфично-

ны, т. е. включает в себя 95% всех измерений. Однако

сти метода. Операционные характеристики будут за-

оставшиеся 2,5% с каждой стороны диапазона (от-

висеть от того, как неопределенные результаты учи-

клонение от нормы) не имеют клинического смыс-

тывались: как положительные, отрицательные, либо

ла, поскольку встречаются слишком редко. Следует

не включались в анализ. В стандартной таблице со-

учитывать, что многие результаты не подчиняются

пряженности 2½2, использующейся для расчета чув-

нормальному распределению.

ствительности и специфичности диагностического

Перцентильное определение нормы: нормальным счи-

метода, столбцы и строки для сомнительных резуль-

тается показатель, лежащий в пределах диапазона.

татов отсутствуют (табл. 2). Даже при условии высо-

Например, любой показатель в пределах нижних 95%

кой чувствительности или специфичности, но при

всех значений определяется как норма, а в пределах

наличии значительного процента сомнительных ре-

оставшихся верхних 5% — как отклонение от нормы.

зультатов, практическая значимость метода будет

И в данном случае критерием служит частота показа-

невелика.

теля вне зависимости от клинической значимости.

Ошибка 14. Рисунки и таблицы используются

Социальное определение нормы: нормальным сле-

лишь для «хранения» данных, а не с целью

дует называть показатель, который принято считать

облегчить восприятие материала

таковым. Например, желаемая масса тела или воз-

раст, к которому ребенок должен научиться само-

При отображении, анализе и интерпретации дан-

стоятельно ходить. Подобные критерии не всегда

ных огромное значение имеют таблицы и рисунки.

клинически значимы.

Однако в научных статьях, помимо собственно «хра-

Ошибка 13. Отсутствует объяснение, каким

нения» информации, они должны служить для об-

легчения восприятия материала [26]. Вследствие это-

образом неопределенные (сомнительные)

го таблицы и рисунки в статьях могут отличаться от

результаты учтены при вычислении

тех, которые были созданы автором исключительно

операционных характеристик диагностического

для регистрации данных и проведения анализа. Так,

теста (таких, как чувствительность и

таблица, включающая в себя 3 переменных, может

специфичность)

выглядеть совершенно по-разному (табл. 3). Легче

Далеко не всегда использование диагностическо-

всего сравнивать данные, расположенные рядом друг

го метода позволяет получить однозначно положи-

с другом, поэтому оптимальным следует считать

тельный или отрицательный результат. Возможно,

именно такую структуру таблицы, подсказывающую

контрастное вещество было введено не полностью,

читателю то или иное сравнение.

результаты бронхоскопического исследования не

В таблице и диаграммах на рис. 7 представлены

позволяют ни подтвердить, ни опровергнуть нали-

одни и те же данные о распространенности заболе-

чие заболевания, врач может не согласиться с интер-

вания в 9 регионах. Однако таблица позволяет наи-

претацией клинических признаков. Результаты, ко-

более информативно отобразить точные показатели

торые нельзя признать ни положительными, ни от-

распространенности, точечная диаграмма — срав-

рицательными, влияют на практическую значимость

нить показатели в различных регионах, а гистограм-

метода, поэтому их наличие и относительная часто-

ма — отразить пространственные взаимоотношения

та должны быть приведены в статье.

между регионами и распространенностью.

Существует три варианта таких неопределенных

Ошибка 15. Несоответствие между внешним

результатов [25]:

видом графика или диаграммы и данными, на

Промежуточные результаты занимают промежу-

которых они основаны

точное положение между отрицательными и поло-

жительными. Например, при микроскопическом ис-

Информация, представленная в графическом

следовании ткани положительным результатом слу-

виде, воспринимается легче, чем представленная в

жит выявление клеток, окрашенных в синий цвет.

виде текста [27]. Поэтому очень важно, чтобы внеш-

Появление клеток, имеющих голубоватую окраску,

ний вид графиков не искажал смысл данных, на

не достигающую по интенсивности требуемого от-

которых они основаны. Одна из проблем возникает

тенка, в данном случае следует считать промежу-

Таблица

2. Стандартная

таблица

для определения опера-

точным результатом.

ционных

характеристик

диагностического

теста*

Неопределенные результаты такие, которые не

позволяют сделать ни положительного, ни отрица-

Результат

Заболевание

Всего

тельного заключения. Например, ответы, получен-

имеется

отсутствует

ные при психологическом тестировании, из которых

Положительный

a+b

неясно, страдает ли обследуемый алкогольной за-

Отрицательный

c+d

висимостью.

Всего

a+c

b+d

a+b+c+d

Не поддающиеся интерпретации результаты полу-

чены при использовании метода с несоблюдением

Примечание. * — чувствительность

à/(à+ñ),

специфичность =

существующих стандартов проведения исследования.

d/(b+d). Данная таблица позволяет

рассчитать

также

отношения

Например, определение уровня глюкозы в крови

правдоподобия. Таблица не включает в себя сомнительные ре зуль-

после приема пищи.

таты, которые нередко и не всегда оправданно игнорируют.

Источник

Стандартное отклонение (SD), измеряет количество изменчивости или дисперсии, из отдельных значений данных, к среднему значению, в то время как стандартная ошибка среднего (SEM) мер, как далеко образец среднее (среднее) данных, вероятно, будет от истинного среднего значения населения. SEM всегда меньше SD.

Ключевые выводы

Стандартное отклонение (SD) измеряет разброс набора данных относительно его среднего значения.
Стандартная ошибка среднего (SEM) измеряет, насколько вероятно расхождение между средним значением выборки по сравнению со средним значением генеральной совокупности.
SEM берет SD и делит его на квадратный корень из размера выборки.

SEM против SD

Стандартное отклонение и стандартная ошибка используются во всех типах статистических исследований, включая исследования в области финансов, медицины, биологии, инженерии, психологии и т. Д. В этих исследованиях стандартное отклонение (SD) и расчетная стандартная ошибка среднего (SEM) ) используются для представления характеристик данных выборки и объяснения результатов статистического анализа. Однако некоторые исследователи иногда путают SD и SEM. Таким исследователям следует помнить, что расчеты SD и SEM включают разные статистические выводы, каждый из которых имеет свое значение. SD – это разброс отдельных значений данных.

Другими словами, SD указывает, насколько точно среднее значение представляет данные выборки. Однако значение SEM включает статистический вывод, основанный на распределении выборки. SEM – это стандартное отклонение теоретического распределения выборочных средних (выборочное распределение).

Расчет стандартного отклонения

Формула SD требует нескольких шагов:

Во-первых, возьмите квадрат разницы между каждой точкой данных и средним значением выборки, найдя сумму этих значений.
Затем разделите эту сумму на размер выборки минус один, который представляет собой дисперсию.
Наконец, извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение.

Стандартная ошибка среднего

SEM рассчитывается путем деления стандартного отклонения на квадратный корень из размера выборки.

Стандартная ошибка дает точность выборочного среднего путем измерения изменчивости выборочного среднего от образца к образцу. SEM описывает, насколько точное среднее значение выборки является оценкой истинного среднего значения совокупности. По мере увеличения размера выборки данных SEM уменьшается по сравнению с SD; следовательно, по мере увеличения размера выборки среднее значение выборки оценивает истинное среднее значение генеральной совокупности с большей точностью. Напротив, увеличение размера выборки не обязательно делает SD больше или меньше, это просто становится более точной оценкой SD населения.

Стандартная ошибка и стандартное отклонение в финансах

В финансах стандартная ошибка средней дневной доходности актива измеряет точность выборочного среднего как оценки долгосрочной (постоянной) средней дневной доходности актива.

С другой стороны, стандартное отклонение доходности измеряет отклонения индивидуальных доходов от среднего значения. Таким образом, SD является мерой волатильности и может использоваться в качестве меры риска для инвестиций. Активы с более высокими ежедневными движениями цен имеют более высокое SD, чем активы с меньшими ежедневными движениями. Предполагая нормальное распределение, около 68% дневных изменений цен находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, при этом около 95% дневных изменений цен находятся в пределах двух стандартных значений среднего.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

For a value that is sampled with an unbiased normally distributed error, the above depicts the proportion of samples that would fall between 0, 1, 2, and 3 standard deviations above and below the actual value.

The standard error (SE)^[1] of a statistic (usually an estimate of a parameter) is the standard deviation of its sampling distribution^[2] or an estimate of that standard deviation. If the statistic is the sample mean, it is called the standard error of the mean (SEM).^[1]

The sampling distribution of a mean is generated by repeated sampling from the same population and recording of the sample means obtained. This forms a distribution of different means, and this distribution has its own mean and variance. Mathematically, the variance of the sampling mean distribution obtained is equal to the variance of the population divided by the sample size. This is because as the sample size increases, sample means cluster more closely around the population mean.

Therefore, the relationship between the standard error of the mean and the standard deviation is such that, for a given sample size, the standard error of the mean equals the standard deviation divided by the square root of the sample size.^[1] In other words, the standard error of the mean is a measure of the dispersion of sample means around the population mean.

In regression analysis, the term «standard error» refers either to the square root of the reduced chi-squared statistic or the standard error for a particular regression coefficient (as used in, say, confidence intervals).

Standard error of the sample mean[edit]

Exact value[edit]

Suppose a statistically independent sample of observations ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ is taken from a statistical population with a standard deviation of sigma . The mean value calculated from the sample, , will have an associated standard error on the mean, ${displaystyle {sigma }_{bar {x}}}$ , given by:^[1]

${displaystyle {sigma }_{bar {x}} ={frac {sigma }{sqrt {n}}}}$ .

Practically this tells us that when trying to estimate the value of a population mean, due to the factor , reducing the error on the estimate by a factor of two requires acquiring four times as many observations in the sample; reducing it by a factor of ten requires a hundred times as many observations.

Estimate[edit]

The standard deviation sigma of the population being sampled is seldom known. Therefore, the standard error of the mean is usually estimated by replacing sigma with the sample standard deviation $sigma _{x}$ instead:

${displaystyle {sigma }_{bar {x}} approx {frac {sigma _{x}}{sqrt {n}}}}$

As this is only an estimator for the true «standard error», it is common to see other notations here such as:

${displaystyle {widehat {sigma }}_{bar {x}}approx {frac {sigma _{x}}{sqrt {n}}}}$

or alternately ${displaystyle {s}_{bar {x}} approx {frac {s}{sqrt {n}}}}$ .

A common source of confusion occurs when failing to distinguish clearly between:

Accuracy of the estimator[edit]

When the sample size is small, using the standard deviation of the sample instead of the true standard deviation of the population will tend to systematically underestimate the population standard deviation, and therefore also the standard error. With n = 2, the underestimate is about 25%, but for n = 6, the underestimate is only 5%. Gurland and Tripathi (1971) provide a correction and equation for this effect.^[3] Sokal and Rohlf (1981) give an equation of the correction factor for small samples of n < 20.^[4] See unbiased estimation of standard deviation for further discussion.

Derivation[edit]

The standard error on the mean may be derived from the variance of a sum of independent random variables,^[5] given the definition of variance and some simple properties thereof. If ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ are independent samples from a population with mean and standard deviation sigma , then we can define the total

${displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n})}$

which due to the Bienaymé formula, will have variance

${displaystyle operatorname {Var} (T)approx {big (}operatorname {Var} (x_{1})+operatorname {Var} (x_{2})+cdots +operatorname {Var} (x_{n}){big )}=nsigma ^{2}.}$

where we’ve approximated the standard deviations, i.e., the uncertainties, of the measurements themselves with the best value for the standard deviation of the population. The mean of these measurements is simply given by

The variance of the mean is then

${displaystyle operatorname {Var} ({bar {x}})=operatorname {Var} left({frac {T}{n}}right)={frac {1}{n^{2}}}operatorname {Var} (T)={frac {1}{n^{2}}}nsigma ^{2}={frac {sigma ^{2}}{n}}.}$

The standard error is, by definition, the standard deviation of which is simply the square root of the variance:

${displaystyle sigma _{bar {x}}={sqrt {frac {sigma ^{2}}{n}}}={frac {sigma }{sqrt {n}}}}$

For correlated random variables the sample variance needs to be computed according to the Markov chain central limit theorem.

Independent and identically distributed random variables with random sample size[edit]

There are cases when a sample is taken without knowing, in advance, how many observations will be acceptable according to some criterion. In such cases, the sample size is a random variable whose variation adds to the variation of such that,

${displaystyle operatorname {Var} (T)=operatorname {E} (N)operatorname {Var} (X)+operatorname {Var} (N){big (}operatorname {E} (X){big )}^{2}}$

^[6]

If has a Poisson distribution, then with estimator . Hence the estimator of becomes ${displaystyle nS_{X}^{2}+n{bar {X}}^{2}}$ , leading the following formula for standard error:

${displaystyle operatorname {Standard~Error} ({bar {X}})={sqrt {frac {S_{X}^{2}+{bar {X}}^{2}}{n}}}}$

(since the standard deviation is the square root of the variance)

Student approximation when σ value is unknown[edit]

In many practical applications, the true value of σ is unknown. As a result, we need to use a distribution that takes into account that spread of possible σ’s.
When the true underlying distribution is known to be Gaussian, although with unknown σ, then the resulting estimated distribution follows the Student t-distribution. The standard error is the standard deviation of the Student t-distribution. T-distributions are slightly different from Gaussian, and vary depending on the size of the sample. Small samples are somewhat more likely to underestimate the population standard deviation and have a mean that differs from the true population mean, and the Student t-distribution accounts for the probability of these events with somewhat heavier tails compared to a Gaussian. To estimate the standard error of a Student t-distribution it is sufficient to use the sample standard deviation «s» instead of σ, and we could use this value to calculate confidence intervals.

Note: The Student’s probability distribution is approximated well by the Gaussian distribution when the sample size is over 100. For such samples one can use the latter distribution, which is much simpler.

Assumptions and usage[edit]

An example of how is used is to make confidence intervals of the unknown population mean. If the sampling distribution is normally distributed, the sample mean, the standard error, and the quantiles of the normal distribution can be used to calculate confidence intervals for the true population mean. The following expressions can be used to calculate the upper and lower 95% confidence limits, where is equal to the sample mean, is equal to the standard error for the sample mean, and 1.96 is the approximate value of the 97.5 percentile point of the normal distribution:

Upper 95% limit

{displaystyle ={bar {x}}+(operatorname {SE} times 1.96),}

and

Lower 95% limit

In particular, the standard error of a sample statistic (such as sample mean) is the actual or estimated standard deviation of the sample mean in the process by which it was generated. In other words, it is the actual or estimated standard deviation of the sampling distribution of the sample statistic. The notation for standard error can be any one of SE, SEM (for standard error of measurement or mean), or S_E.

Standard errors provide simple measures of uncertainty in a value and are often used because:

in many cases, if the standard error of several individual quantities is known then the standard error of some function of the quantities can be easily calculated;
when the probability distribution of the value is known, it can be used to calculate an exact confidence interval;
when the probability distribution is unknown, Chebyshev’s or the Vysochanskiï–Petunin inequalities can be used to calculate a conservative confidence interval; and
as the sample size tends to infinity the central limit theorem guarantees that the sampling distribution of the mean is asymptotically normal.

Standard error of mean versus standard deviation[edit]

In scientific and technical literature, experimental data are often summarized either using the mean and standard deviation of the sample data or the mean with the standard error. This often leads to confusion about their interchangeability. However, the mean and standard deviation are descriptive statistics, whereas the standard error of the mean is descriptive of the random sampling process. The standard deviation of the sample data is a description of the variation in measurements, while the standard error of the mean is a probabilistic statement about how the sample size will provide a better bound on estimates of the population mean, in light of the central limit theorem.^[7]

Put simply, the standard error of the sample mean is an estimate of how far the sample mean is likely to be from the population mean, whereas the standard deviation of the sample is the degree to which individuals within the sample differ from the sample mean.^[8] If the population standard deviation is finite, the standard error of the mean of the sample will tend to zero with increasing sample size, because the estimate of the population mean will improve, while the standard deviation of the sample will tend to approximate the population standard deviation as the sample size increases.

Extensions[edit]

Finite population correction (FPC)[edit]

The formula given above for the standard error assumes that the population is infinite. Nonetheless, it is often used for finite populations when people are interested in measuring the process that created the existing finite population (this is called an analytic study). Though the above formula is not exactly correct when the population is finite, the difference between the finite- and infinite-population versions will be small when sampling fraction is small (e.g. a small proportion of a finite population is studied). In this case people often do not correct for the finite population, essentially treating it as an «approximately infinite» population.

If one is interested in measuring an existing finite population that will not change over time, then it is necessary to adjust for the population size (called an enumerative study). When the sampling fraction (often termed f) is large (approximately at 5% or more) in an enumerative study, the estimate of the standard error must be corrected by multiplying by a »finite population correction» (a.k.a.: FPC):^[9]
^[10]

${displaystyle operatorname {FPC} ={sqrt {frac {N-n}{N-1}}}}$

which, for large N:

${displaystyle operatorname {FPC} approx {sqrt {1-{frac {n}{N}}}}={sqrt {1-f}}}$

to account for the added precision gained by sampling close to a larger percentage of the population. The effect of the FPC is that the error becomes zero when the sample size n is equal to the population size N.

This happens in survey methodology when sampling without replacement. If sampling with replacement, then FPC does not come into play.

Correction for correlation in the sample[edit]

Expected error in the mean of A for a sample of n data points with sample bias coefficient ρ. The unbiased standard error plots as the ρ = 0 diagonal line with log-log slope −½.

If values of the measured quantity A are not statistically independent but have been obtained from known locations in parameter space x, an unbiased estimate of the true standard error of the mean (actually a correction on the standard deviation part) may be obtained by multiplying the calculated standard error of the sample by the factor f:

$f={sqrt {frac {1+rho }{1-rho }}},$

where the sample bias coefficient ρ is the widely used Prais–Winsten estimate of the autocorrelation-coefficient (a quantity between −1 and +1) for all sample point pairs. This approximate formula is for moderate to large sample sizes; the reference gives the exact formulas for any sample size, and can be applied to heavily autocorrelated time series like Wall Street stock quotes. Moreover, this formula works for positive and negative ρ alike.^[11] See also unbiased estimation of standard deviation for more discussion.

References[edit]

^ ^a ^b ^c ^d Altman, Douglas G; Bland, J Martin (2005-10-15). «Standard deviations and standard errors». BMJ: British Medical Journal. 331 (7521): 903. doi:10.1136/bmj.331.7521.903. ISSN 0959-8138. PMC 1255808. PMID 16223828.
^ Everitt, B. S. (2003). The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 978-0-521-81099-9.
^ Gurland, J; Tripathi RC (1971). «A simple approximation for unbiased estimation of the standard deviation». American Statistician. 25 (4): 30–32. doi:10.2307/2682923. JSTOR 2682923.
^ Sokal; Rohlf (1981). Biometry: Principles and Practice of Statistics in Biological Research (2nd ed.). p. 53. ISBN 978-0-7167-1254-1.
^ Hutchinson, T. P. (1993). Essentials of Statistical Methods, in 41 pages. Adelaide: Rumsby. ISBN 978-0-646-12621-0.
^ Cornell, J R, and Benjamin, C A, Probability, Statistics, and Decisions for Civil Engineers, McGraw-Hill, NY, 1970, ISBN 0486796094, pp. 178–9.
^ Barde, M. (2012). «What to use to express the variability of data: Standard deviation or standard error of mean?». Perspect. Clin. Res. 3 (3): 113–116. doi:10.4103/2229-3485.100662. PMC 3487226. PMID 23125963.
^ Wassertheil-Smoller, Sylvia (1995). Biostatistics and Epidemiology : A Primer for Health Professionals (Second ed.). New York: Springer. pp. 40–43. ISBN 0-387-94388-9.
^ Isserlis, L. (1918). «On the value of a mean as calculated from a sample». Journal of the Royal Statistical Society. 81 (1): 75–81. doi:10.2307/2340569. JSTOR 2340569. (Equation 1)
^ Bondy, Warren; Zlot, William (1976). «The Standard Error of the Mean and the Difference Between Means for Finite Populations». The American Statistician. 30 (2): 96–97. doi:10.1080/00031305.1976.10479149. JSTOR 2683803. (Equation 2)
^ Bence, James R. (1995). «Analysis of Short Time Series: Correcting for Autocorrelation». Ecology. 76 (2): 628–639. doi:10.2307/1941218. JSTOR 1941218.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia