Относительная квадратическая ошибка

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)^[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.^[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.^[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).^{[citation needed]} For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

In other words, the MSE is the mean of the squares of the errors . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

where is and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

Estimator[edit]

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter is defined as^[1]

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.^[5]

Proof of variance and bias relationship[edit]

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , . By substituting with, , we have

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,^[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).^[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

where is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for which are proportional to , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

then we calculate:

This is minimized when

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean,
	= the unbiased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

• Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
• In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
• In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics^{[citation needed]}, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.^[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.^[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.^[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

• Bias–variance tradeoff
• Hodges’ estimator
• James–Stein estimator
• Mean percentage error
• Mean square quantization error
• Mean square weighted deviation
• Mean squared displacement
• Mean squared prediction error
• Minimum mean square error
• Minimum mean squared error estimator
• Overfitting
• Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

References[edit]

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)^[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.^[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.^[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).^{[citation needed]} For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

In other words, the MSE is the mean of the squares of the errors . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

where is and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

Estimator[edit]

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter is defined as^[1]

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.^[5]

Proof of variance and bias relationship[edit]

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , . By substituting with, , we have

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,^[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).^[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

where is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for which are proportional to , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

then we calculate:

This is minimized when

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean,
	= the unbiased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

• Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
• In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
• In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics^{[citation needed]}, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.^[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.^[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.^[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

• Bias–variance tradeoff
• Hodges’ estimator
• James–Stein estimator
• Mean percentage error
• Mean square quantization error
• Mean square weighted deviation
• Mean squared displacement
• Mean squared prediction error
• Minimum mean square error
• Minimum mean squared error estimator
• Overfitting
• Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

References[edit]

Для правильного
использования результатов измерений
необходимо знать, с какой точностью,
т.е. с какой степенью близости к истинному
значению измеряемой величины, они
получены.

Характеристикой
точности отдельного измерения в теории
погрешностей служит предложенная
Гауссом средняя квадратическая
погрешность

где п — число
измерений данной величины. Эта формула
применима для случаев, когда известно
истинное значение измеряемой величины.
Такие случаи в практике встречаются

редко. В то же время
из измерений можно получить результат,
наиболее близкий к истинному значению,
— арифметическую средину. Для этого
случая средняя квадратическая погрешность
одного измерения подсчитывается по
формуле Бесселя:

m, вычисляемая по
следующей формуле:

где б — отклонения
отдельных значении измеренной величины
ог арифметической средины, называемые
вероятнейшими погрешностями, причем
[б] = 0. Точность арифметической средины,
естественно, будет выше точности
отдельного измерения. Ее средняя
квадратическая погрешность определяется
по формуле

где т — средняя
квадратическая погрешность одного
измерения, вычисляемая по формулам
(5.1) или (5.2). Часто в практике для контроля
и повышения точности определяемую
величину измеряют дважды — в прямом и
обратном направлениях, например, длину
линий, превышения между точками. Из двух
полученных значений за окончательное
принимается

среднее из них. В
этом случае средняя квадратическая
погрешность

а среднего результата
из двух измерений одного измерения

где d — разность
двукратно измеренных величин; n —

число разностей
(двойных измерений). В соответствии с
первым свойством случайных погрешностей
для абсолютной величины случайной
погрешности при данных условиях измерений
существует допустимый предел, называемый
предельной погрешностью. В строительных
нормах предельная погрешность называется
допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей
измерений доказывается, что абсолютное
большинство случайных погрешностей
(68,3%) данного ряда измерений находится
в интервале от 0 до ±т; в интервал от 0 до
±2т попадает 95,4 %, а от 0 до ±3т — 99,7 %
погрешностей. Таким образом, из 100
погрешностей данного ряда измерений
лишь пять могут оказаться больше или
равны 2т, а из 1000 погрешностей только
три будут больше или равны 3т. На основании
этого в качестве предельной погрешности
«дельта»пр для данного ряда измерений
принимается утроенная средняя
квадратическая погрешность, т.е.
«дельта»пр = 3т. На практике во

многих работах для
повышения требований точности измерений
принимают «дельта»пр = 2т. Погрешности
измерений, величины которых превосходят
«дельта»пр, считают грубыми.

Иногда о точности
измерений судят не по абсолютной величине
средней квадратической или предельной
погрешности, а по величине относительной
погрешности. Относительной погрешностью
называется отношение абсолютной
погрешности к значению самой измеренной
величины. Относительную погрешность
выражают в виде простой дроби, числитель
которой — единица, а знаменатель —
число, округленное до двух-трех значащих
цифр с нулями. Например, относительная
средняя квадратическая погрешность
измерения линии длиной l = 110 м при ml = 2
см равна тl/1 = 1/5500, а относительная
предельная погрешность при «дельта»пр
= 3т = 6 см «дельта»пр/l= 1/1800.

Соседние файлы в предмете Геодезия

• #

  28.12.201376.15 Кб297Работа №2 Вариант 1.dwg

• #

  28.12.201366.58 Кб190Работа №2 Вариант 2.dwg

• #

  28.12.201390.08 Кб179Работа №2 Вариант 3.dwg

• #
• #
• #
• #

• Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error)
• Корень из среднеквадратичной ошибки (Root Mean Squared Error)
• Среднеквадратичная ошибка в процентах (Mean Squared Percentage Error)
• Cредняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error)
• Средняя абсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error)
• Cимметричная средняя абсолютная процентная ошибка (Symmetric Mean Absolute Percentage Error)
• Средняя абсолютная масштабированная ошибка (Mean absolute scaled error)
• Средняя относительная ошибка (Mean Relative Error)
• Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (Root Mean Squared Logarithmic Error
• R-квадрат
• Скорректированный R-квадрат
• Сравнение метрик

«Хорошая» аналитическая модель должна удовлетворять двум, зачастую противоречивым, требованиям — как можно лучше соответствовать данным и при этом быть удобной для интерпретации пользователем. Действительно, повышение соответствия модели данным как правило связано с её усложнением (в случае регрессии — увеличением числа входных переменных модели). А чем сложнее модель, тем ниже её интерпретируемость.

Поэтому при выборе между простой и сложной моделью последняя должна значимо увеличивать соответствие модели данным чтобы оправдать рост сложности и соответствующее снижение интерпретируемости. Если это условие не выполняется, то следует выбрать более простую модель.

Таким образом, чтобы оценить, насколько повышение сложности модели значимо увеличивает её точность, необходимо использовать аппарат оценки качества регрессионных моделей. Он включает в себя следующие меры:

• Среднеквадратичная ошибка (MSE).
• Корень из среднеквадратичной ошибки (RMSE).
• Среднеквадратичная ошибка в процентах (MSPE).
• Средняя абсолютная ошибка (MAE).
• Средняя абсолютная ошибка в процентах (MAPE).
• Cимметричная средняя абсолютная процентная ошибка (SMAPE).
• Средняя абсолютная масштабированная ошибка (MASE)
• Средняя относительная ошибка (MRE).
• Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (RMSLE).
• Коэффициент детерминации R-квадрат.
• Скорректированный коэффициент детеминации.

Прежде чем перейти к изучению метрик качества, введём некоторые базовые понятия, которые нам в этом помогут. Для этого рассмотрим рисунок.

Наклонная прямая представляет собой линию регрессии с переменной, на которой расположены точки, соответствующие предсказанным значениям выходной переменной widehat{y} (кружки синего цвета). Оранжевые кружки представляют фактические (наблюдаемые) значения y . Расстояния между ними и линией регрессии — это ошибка предсказания модели y-widehat{y} (невязка, остатки). Именно с её использованием вычисляются все приведённые в статье меры качества.

Горизонтальная линия представляет собой модель простого среднего, где коэффициент при независимой переменной x равен нулю, и остаётся только свободный член b, который становится равным среднему арифметическому фактических значений выходной переменной, т.е. b=overline{y}. Очевидно, что такая модель для любого значения входной переменной будет выдавать одно и то же значение выходной — overline{y}.

В линейной регрессии такая модель рассматривается как «бесполезная», хуже которой работает только «случайный угадыватель». Однако, она используется для оценки, насколько дисперсия фактических значений y относительно линии среднего, больше, чем относительно линии регрессии с переменной, т.е. насколько модель с переменной лучше «бесполезной».

MSE

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) применяется в случаях, когда требуется подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше именно больших ошибок. Большие значения ошибок становятся заметнее за счет квадратичной зависимости.

Действительно, допустим модель допустила на двух примерах ошибки 5 и 10. В абсолютном выражении они отличаются в два раза, но если их возвести в квадрат, получив 25 и 100 соответственно, то отличие будет уже в четыре раза. Таким образом модель, которая обеспечивает меньшее значение MSE допускает меньше именно больших ошибок.

MSE рассчитывается по формуле:

MSE=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(y_{i}-widehat{y}_{i})^{2},

где n — количество наблюдений по которым строится модель и количество прогнозов, y_{i} — фактические значение зависимой переменной для i-го наблюдения, widehat{y}_{i} — значение зависимой переменной, предсказанное моделью.

Таким образом, можно сделать вывод, что MSE настроена на отражение влияния именно больших ошибок на качество модели.

Недостатком использования MSE является то, что если на одном или нескольких неудачных примерах, возможно, содержащих аномальные значения будет допущена значительная ошибка, то возведение в квадрат приведёт к ложному выводу, что вся модель работает плохо. С другой стороны, если модель даст небольшие ошибки на большом числе примеров, то может возникнуть обратный эффект — недооценка слабости модели.

RMSE

Корень из среднеквадратичной ошибки (Root Mean Squared Error) вычисляется просто как квадратный корень из MSE:

RMSE=sqrt{frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(y_{i}-widehat{y_{i}})^{2}}

MSE и RMSE могут минимизироваться с помощью одного и того же функционала, поскольку квадратный корень является неубывающей функцией. Например, если у нас есть два набора результатов работы модели, A и B, и MSE для A больше, чем MSE для B, то мы можем быть уверены, что RMSE для A больше RMSE для B. Справедливо и обратное: если MSE(A)<MSE(B), то и RMSE(A)<RMSE(B).

Следовательно, сравнение моделей с помощью RMSE даст такой же результат, что и для MSE. Однако с MSE работать несколько проще, поэтому она более популярна у аналитиков. Кроме этого, имеется небольшая разница между этими двумя ошибками при оптимизации с использованием градиента:

frac{partial RMSE}{partial widehat{y}_{i}}=frac{1}{2sqrt{MSE}}frac{partial MSE}{partial widehat{y}_{i}}

Это означает, что перемещение по градиенту MSE эквивалентно перемещению по градиенту RMSE, но с другой скоростью, и скорость зависит от самой оценки MSE. Таким образом, хотя RMSE и MSE близки с точки зрения оценки моделей, они не являются взаимозаменяемыми при использовании градиента для оптимизации.

Влияние каждой ошибки на RMSE пропорционально величине квадрата ошибки. Поэтому большие ошибки оказывают непропорционально большое влияние на RMSE. Следовательно, RMSE можно считать чувствительной к аномальным значениям.

MSPE

Среднеквадратичная ошибка в процентах (Mean Squared Percentage Error) представляет собой относительную ошибку, где разность между наблюдаемым и фактическим значениями делится на наблюдаемое значение и выражается в процентах:

MSPE=frac{100}{n}sumlimits_{i=1}^{n}left ( frac{y_{i}-widehat{y}_{i}}{y_{i}} right )^{2}

Проблемой при использовании MSPE является то, что, если наблюдаемое значение выходной переменной равно 0, значение ошибки становится неопределённым.

MSPE можно рассматривать как взвешенную версию MSE, где вес обратно пропорционален квадрату наблюдаемого значения. Таким образом, при возрастании наблюдаемых значений ошибка имеет тенденцию уменьшаться.

MAE

Cредняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error) вычисляется следующим образом:

MAE=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}left | y_{i}-widehat{y}_{i} right |

Т.е. MAE рассчитывается как среднее абсолютных разностей между наблюдаемым и предсказанным значениями. В отличие от MSE и RMSE она является линейной оценкой, а это значит, что все ошибки в среднем взвешены одинаково. Например, разница между 0 и 10 будет вдвое больше разницы между 0 и 5. Для MSE и RMSE, как отмечено выше, это не так.

Поэтому MAE широко используется, например, в финансовой сфере, где ошибка в 10 долларов должна интерпретироваться как в два раза худшая, чем ошибка в 5 долларов.

MAPE

Средняя абсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error) вычисляется следующим образом:

MAPE=frac{100}{n}sumlimits_{i=1}^{n}frac{left | y_{i}-widehat{y_{i}} right |}{left | y_{i} right |}

Эта ошибка не имеет размерности и очень проста в интерпретации. Её можно выражать как в долях, так и в процентах. Если получилось, например, что MAPE=11.4, то это говорит о том, что ошибка составила 11.4% от фактического значения.

SMAPE

Cимметричная средняя абсолютная процентная ошибка (Symmetric Mean Absolute Percentage Error) — это мера точности, основанная на процентных (или относительных) ошибках. Обычно определяется следующим образом:

SMAPE=frac{100}{n}sumlimits_{i=1}^{n}frac{left | y_{i}-widehat{y_{i}} right |}{(left | y_{i} right |+left | widehat{y}_{i} right |)/2}

Т.е. абсолютная разность между наблюдаемым и предсказанным значениями делится на полусумму их модулей. В отличие от обычной MAPE, симметричная имеет ограничение на диапазон значений. В приведённой формуле он составляет от 0 до 200%. Однако, поскольку диапазон от 0 до 100% гораздо удобнее интерпретировать, часто используют формулу, где отсутствует деление знаменателя на 2.

Одной из возможных проблем SMAPE является неполная симметрия, поскольку в разных диапазонах ошибка вычисляется неодинаково. Это иллюстрируется следующим примером: если y_{i}=100 и widehat{y}_{i}=110, то SMAPE=4.76, а если y_{i}=100 и widehat{y}_{i}=90, то SMAPE=5.26.

Ограничение SMAPE заключается в том, что, если наблюдаемое или предсказанное значение равно 0, ошибка резко возрастет до верхнего предела (200% или 100%).

MASE

Средняя абсолютная масштабированная ошибка (Mean absolute scaled error) — это показатель, который позволяет сравнивать две модели. Если поместить MAE для новой модели в числитель, а MAE для исходной модели в знаменатель, то полученное отношение и будет равно MASE. Если значение MASE меньше 1, то новая модель работает лучше, если MASE равно 1, то модели работают одинаково, а если значение MASE больше 1, то исходная модель работает лучше, чем новая модель. Формула для расчета MASE имеет вид:

MASE=frac{MAE_{i}}{MAE_{j}}

MASE симметрична и устойчива к выбросам.

MRE

Средняя относительная ошибка (Mean Relative Error) вычисляется по формуле:

MRE=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}frac{left | y_{i}-widehat{y}_{i}right |}{left | y_{i} right |}

Несложно увидеть, что данная мера показывает величину абсолютной ошибки относительно фактического значения выходной переменной (поэтому иногда эту ошибку называют также средней относительной абсолютной ошибкой, MRAE). Действительно, если значение абсолютной ошибки, скажем, равно 10, то сложно сказать много это или мало. Например, относительно значения выходной переменной, равного 20, это составляет 50%, что достаточно много. Однако относительно значения выходной переменной, равного 100, это будет уже 10%, что является вполне нормальным результатом.

Очевидно, что при вычислении MRE нельзя применять наблюдения, в которых y_{i}=0.

Таким образом, MRE позволяет более адекватно оценить величину ошибки, чем абсолютные ошибки. Кроме этого она является безразмерной величиной, что упрощает интерпретацию.

RMSLE

Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (Root Mean Squared Logarithmic Error) представляет собой RMSE, вычисленную в логарифмическом масштабе:

RMSLE=sqrt{frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(log(widehat{y}_{i}+1)-log{(y_{i}+1}))^{2}}

Константы, равные 1, добавляемые в скобках, необходимы чтобы не допустить обращения в 0 выражения под логарифмом, поскольку логарифм нуля не существует.

Известно, что логарифмирование приводит к сжатию исходного диапазона изменения значений переменной. Поэтому применение RMSLE целесообразно, если предсказанное и фактическое значения выходной переменной различаются на порядок и больше.

R-квадрат

Перечисленные выше ошибки не так просто интерпретировать. Действительно, просто зная значение средней абсолютной ошибки, скажем, равное 10, мы сразу не можем сказать хорошая это ошибка или плохая, и что нужно сделать чтобы улучшить модель.

В этой связи представляет интерес использование для оценки качества регрессионной модели не значения ошибок, а величину показывающую, насколько данная модель работает лучше, чем модель, в которой присутствует только константа, а входные переменные отсутствуют или коэффициенты регрессии при них равны нулю.

Именно такой мерой и является коэффициент детерминации (Coefficient of determination), который показывает долю дисперсии зависимой переменной, объяснённой с помощью регрессионной модели. Наиболее общей формулой для вычисления коэффициента детерминации является следующая:

R^{2}=1-frac{sumlimits_{i=1}^{n}(widehat{y}_{i}-y_{i})^{2}}{sumlimits_{i=1}^{n}({overline{y}}_{i}-y_{i})^{2}}

Практически, в числителе данного выражения стоит среднеквадратическая ошибка оцениваемой модели, а в знаменателе — модели, в которой присутствует только константа.

Главным преимуществом коэффициента детерминации перед мерами, основанными на ошибках, является его инвариантность к масштабу данных. Кроме того, он всегда изменяется в диапазоне от −∞ до 1. При этом значения близкие к 1 указывают на высокую степень соответствия модели данным. Очевидно, что это имеет место, когда отношение в формуле стремится к 0, т.е. ошибка модели с переменными намного меньше ошибки модели с константой. R^{2}=0 показывает, что между независимой и зависимой переменными модели имеет место функциональная зависимость.

Когда значение коэффициента близко к 0 (т.е. ошибка модели с переменными примерно равна ошибке модели только с константой), это указывает на низкое соответствие модели данным, когда модель с переменными работает не лучше модели с константой.

Кроме этого, бывают ситуации, когда коэффициент R^{2} принимает отрицательные значения (обычно небольшие). Это произойдёт, если ошибка модели среднего становится меньше ошибки модели с переменной. В этом случае оказывается, что добавление в модель с константой некоторой переменной только ухудшает её (т.е. регрессионная модель с переменной работает хуже, чем предсказание с помощью простой средней).

На практике используют следующую шкалу оценок. Модель, для которой R^{2}>0.5, является удовлетворительной. Если R^{2}>0.8, то модель рассматривается как очень хорошая. Значения, меньшие 0.5 говорят о том, что модель плохая.

Скорректированный R-квадрат

Основной проблемой при использовании коэффициента детерминации является то, что он увеличивается (или, по крайней мере, не уменьшается) при добавлении в модель новых переменных, даже если эти переменные никак не связаны с зависимой переменной.

В связи с этим возникают две проблемы. Первая заключается в том, что не все переменные, добавляемые в модель, могут значимо увеличивать её точность, но при этом всегда увеличивают её сложность. Вторая проблема — с помощью коэффициента детерминации нельзя сравнивать модели с разным числом переменных. Чтобы преодолеть эти проблемы используют альтернативные показатели, одним из которых является скорректированный коэффициент детерминации (Adjasted coefficient of determinftion).

Скорректированный коэффициент детерминации даёт возможность сравнивать модели с разным числом переменных так, чтобы их число не влияло на статистику R^{2}, и накладывает штраф за дополнительно включённые в модель переменные. Вычисляется по формуле:

R_{adj}^{2}=1-frac{sumlimits_{i=1}^{n}(widehat{y}_{i}-y_{i})^{2}/(n-k)}{sumlimits_{i=1}^{n}({overline{y}}_{i}-y_{i})^{2}/(n-1)}

где n — число наблюдений, на основе которых строится модель, k — количество переменных в модели.

Скорректированный коэффициент детерминации всегда меньше единицы, но теоретически может принимать значения и меньше нуля только при очень малом значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве переменных модели.

Сравнение метрик

Резюмируем преимущества и недостатки каждой приведённой метрики в следующей таблице:

В данной статье рассмотрены наиболее популярные меры качества регрессионных моделей, которые часто используются в различных аналитических приложениях. Эти меры имеют свои особенности применения, знание которых позволит обоснованно выбирать и корректно применять их на практике.

Однако в литературе можно встретить и другие меры качества моделей регрессии, которые предлагаются различными авторами для решения конкретных задач анализа данных.

Другие материалы по теме:

Отбор переменных в моделях линейной регрессии

Репрезентативность выборочных данных

Логистическая регрессия и ROC-анализ — математический аппарат

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ – это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:
(1.25)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,
2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,
3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:
(1.26)
4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
(1.27)

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δпред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δпред = 3*m.

Отношение mx/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, mx/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

F = f( X, Y, Z … ),                        (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
(1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргуметов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений ΔX, ΔY, ΔZ:
(1.30)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,
(1.32)

Как частные случаи формулы (1.32) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:

Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.32) или (1.33) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
(1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина   (1.36)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.35) в виде

по третьему свойству ошибок (1.26) можно написать:

что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.36) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.32) напишем:

или

Но ml1 = ml2 = … = mln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m2, одно n сократится и в итоге получим:

M2 = m2/n

или
(1.37)

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
(1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0.                   (1.39)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:
(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:
(1.41)

Разность (X0 – X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ0 и перепишем уравнения (1.41):
(1.42)
Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:
.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:
(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m2                  (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:
(1.46)
или              X0 = [l*p] / [p] .

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда  (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p],                 (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

P = n.                  (1.50)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:
(1.51)

где pi – вес i-того элемента.