Модель коррекции ошибок

Отметим близость результатов, полученных тремя методами:

Фактически, во всех трех случаях воспроизводится одна и та же линейная модель связи между рядами разностей:

∆yt = 0.7 ∆xt + et .

Эта регрессионная связь между продифференцированными рядами не является ложной (в отличие от регрессионной связи между рядами уровней): статистика Дарбина – Уотсона принимает значение 1.985; P-значение критерия Jarque – Bera равно 0.344.

Замечание

В связи с результатами, полученными при рассмотрении последних примеров, естественно возникает следующий вопрос, который поднимался в свое время различными исследователями. Не будет ли разумным, имея дело с рядами, траектории которых обнаруживают выраженный тренд, сразу приступать к оцениванию связей между рядами разностей (между продифференцированными рядами) ?

Против некритичного использования такого подхода говорят два обстоятельства:

(a)Если ряды в действительности стационарны относительно детерминированного тренда, то тогда дифференцирование приводит к

передифференцированным рядам, имеющим необратимую MA

составляющую.

(b)Если ряды являются интегрированными порядка 1 и при этом коинтегрированы, то при переходе к продифференцированным рядам теряется информация о долговременной связи между уровнями этих рядов.

Дифференцирование рядов оправданно и полезно, если ряды являются интегрированными, но при этом между ними отсутствует коинтеграционная связь.

Пусть yt ~ I(1), xt ~ I(0). Строить регрессию yt на xt в этом случае бессмысленно, т.к. для любых a и b в такой ситуации

yt – a – b xt ~ I(1).

Пусть, наоборот, yt ~ I(0), xt ~ I(1). Для любых a и b ≠ 0 здесь опять yt – a – b xt ~ I(1),

и только при b = 0 получаем yt – a – b xt ~ I(0),

так что и в таком сочетании строить регрессию одного ряда на другой не имеет смысла.

действовать в такой ситуации.

Обратимся теперь к случаю, когда при некотором b ≠ 0 yt – b xt ~ I(0) – стационарный ряд.

Если это так, то ряды yt и xt называют коинтегрированными рядами, а вектор (1, – b)T – коинтегрирующим вектором.

Вообще, ряды yt ~ I(1), xt ~ I(1) называют коинтегрированными (в узком смысле – детерминистская коинтеграция), если существует ненулевой (коинтегрирующий)

вектор β = (β1, β2)T ≠ 0 , для которого

β1 xt + β2 yt ~ I(0) – стационарный ряд.

Заметим, что если вектор β = (β1, β2)T является коинтегрирующим вектором для рядов xt и yt , то тогда коинтегрирующим для этих рядов будет и любой вектор вида сβ = (сβ1, сβ2)T , где с ≠ 0 – постоянная величина. Чтобы выделить какой-то определенный вектор, приходится вводить условие нормировки, например, рассматривать только векторы вида (1, – b)T (или только векторы (– a, 1)T ).

Поскольку мы предполагаем сейчас, что xt , yt ~ I(1), то ряды разностей ∆xt , ∆yt стационарны. Будем предполагать в дополнение, что стационарен векторный ряд (∆xt , ∆yt)T , так что для него существует разложение Вольда в виде скользящего среднего

(∆xt , ∆yt)T = µ + B(L) εt ,

где

µ = (µ 1, µ 2 )T , µ 1 = E(∆xt ) , µ 2 = E(∆yt) ;

εt = (ε1t , ε2t )T – векторный белый шум,

т.е.

Знаменитый результат Гренджера ([Granger (1983)], см. также [Engle, Granger (1987)])

состоит в том, что в случае коинтегрированности I(1) рядов xt и yt (в узком смысле)

A(L) (xt, yt )T = c + d(L)εt ,

в котором

εt – тот же векторный белый шум, что и в (I), c = (c1, c2)T , c1 и c2 – постоянные,

A(L) – матричный полином от оператора запаздывания, d(L) – скалярный полином от оператора запаздывания, причем

A(0) = I2 (единичная матрица размера 2×2), rank A(1) = 1 (ранг 2×2-матрицы A(1) равен 1),

значение d(1) конечно.

Всвязи с тем, что в последнем представлении ранг (2×2)-матрицы A(1) меньше двух, об этом представлении часто говорят как о векторной авторегрессии пониженного ранга (reduced rank VAR).

Вразвернутой форме представление (II) имеет вид

При этом верхние пределы p и q у сумм в правых частях могут быть бесконечными.

Если возможно векторное AR представление, то в нем d(L) ≡ 1 , p < ∞ .

zt ~ I(0),

и

α12 + α22 > 0.

Если в (II) возможно векторное AR(p) представление (p < ∞), то тогда ECM принимает вид

∆xt =µ1 +α1zt −1 +∑p −1(γ 1j ∆xt − j +δ1j ∆yt − j ) +ε1,t , j =1

∆yt = µ2 +α2 zt −1 +∑p −1(γ 2 j ∆xt − j +δ 2 j ∆yt − j )+ε2,t , j =1

Здесь важно отметить следующее:

•Если ряды xt , yt ~ I(1) коинтегрированы, то все составляющие в ECM стационарны.

•Если векторный ряд (xt , yt)T ~ I(1) (так что векторный ряд (∆xt , ∆yt)T стационарен) и порождается ECM моделью, то ряды xt и yt коинтегрированы. (Действительно, в этом случае все составляющие ECM, отличные от zt–1, стационарны; но тогда стационарна и zt – 1.)

• Если ряды xt , yt ~ I(1) коинтегрированы, то тогда VAR в разностях не может иметь конечный порядок. (В отличие от случая, когда ряды xt и yt не коинтегрированы.)

принимают во внимание величину и знак предыдущего отклонения от равновесия zt – 1 . Ряд zt , конечно, вовсе не обязательно убывает по абсолютной величине при переходе от одного периода времени к другому, но он является стационарным рядом, и поэтому расположен к движению по направлению к своему среднему.

Замечание 1

Переменная xt не является причиной по Гренджеру для переменной yt , если неучет прошлых значений переменной xt не приводит к ухудшению качества прогноза значения yt по совокупности прошлых значений этих двух переменных. Переменная yt не является причиной по Гренджеру для переменной xt , если неучет прошлых значений переменной yt не приводит к ухудшению качества прогноза значения xt по совокупности прошлых значений этих двух переменных. (Качество прогноза измеряется среднеквадратичной ошибкой прогноза.)

Если xt , yt ~ I(1) и коинтегрированы, то должна иметь место причинность по Гренджеру , по крайней мере, в одном направлении. Этот факт вытекает из представления такой системы рядов в форме ECM, в которой α12 + α22 > 0. Значение xt

– 1 через посредство zt– 1 помогает в прогнозировании значения yt (т.е. переменная xt является причиной по Гренджеру для переменной yt), если α2 ≠ 0. Значение yt – 1 через посредство zt– 1 помогает в прогнозировании значения xt (т.е. переменная yt является причиной по Гренджеру для переменной xt), если α1 ≠ 0.

Замечание 2

Пусть xt , yt ~ I(1) коинтегрированы и wt ~ I(0). Тогда для любого k коинтегрированы ряды xt и γ yt – k + wt , γ ≠ 0. Формально, если xt ~ I(1), то коинтегрированы ряды xt

и xt – k . (Действительно, тогда xt – xt – k = ∆xt + ∆xt – 1 + … + ∆xt – k – сумма I(0)- переменных, которая также является I(0)-переменной.)

Итак, при коинтегрированности рядов xt , yt ~ I(1) мы имеем

•модель краткосрочной динамики в форме ECM,

иэти модели согласуются друг с другом.

Проблема, однако, состоит в том, что для построения ECM по реальным статистическим данным нам надо знать коинтегрирующий вектор (в данном случае, знать значение β). Хорошо, если этот вектор определяется экономической теорией. К сожалению, чаще его приходится оценивать по имеющимся данным.

Энгл и Гренджер [Engle, Granger (1987)] рассмотрели двухшаговую процедуру, в которой на первом шаге значения α и β оцениваются в рамках модели регрессии yt на xt

yt = α + β xt + ut .

Получив методом наименьших квадратов оценки αˆ и βˆ (НK-оценки), мы тем самым находим оцененные значения отклонений от положения равновесия

zˆt = yt – αˆ – βˆ xt

– это просто остатки от оцененной регрессии.

После этого, на втором шаге, методом наименьших квадратов раздельно (не как система!) оцениваются уравнения

∆xt =µ1 +α1zˆt −1 +∑p −1(γ 1j ∆xt − j +δ1j ∆yt − j ) +ν t , j =1

∆yt = µ2 +α2 zˆt −1 + ∑p −1(γ 2 j ∆xt − j +δ 2 j ∆yt − j ) +wt , j =1

(т.е. предполагается модель VAR(p) для xt , yt).

Определяющим в этой процедуре является то обстоятельство, что получаемая на первом шаге оценка βˆ быстрее обычного приближается (по вероятности) к истинному

значению β – второй компоненте коинтегрирующего вектора (1, β)T . ( βˆ является суперсостоятельной оценкой для β .) Это, в конечном счете, приводит к тому, что оценки в отдельном уравнении ECM, использующие оцененные значения zt−1 , имеют то же самое асимптотическое распределение, что и оценка максимального правдоподобия, использующая истинные значения zt−1 . (Обычно это асимптотически

нормальное распределение.) При этом НК-оценки стандартных ошибок всех коэффициентов являются состоятельными оценками истинных стандартных ошибок.

Заметим, что последние результаты справедливы несмотря на то, что ряд оцененных значений zˆt формально не является стационарным, поскольку βˆ ≠ β.

Отметим также, что если мы хотим использовать другую нормировку коинтегрирующего вектора в виде (β, 1)T , то нам придется оценивать регрессию xt на константу и yt , и это приведет к вектору, не пропорциональному вектору, оцененному в первом случае.

Замечание

означает,что мы можем пользоваться на первом шаге процедуры Энгла – Гренджера обычными регрессионными критериями. Дело в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики, вообще говоря, имеют нестандартные асимптотические распределения.

Однако первый шаг является в данном контексте вспомогательным, и на этом шаге нет необходимости обращать внимание на сообщаемые в протоколах соответствующих пакетов программ значения статистик.

Напротив, на втором шаге мы можем использовать обычные статистические процедуры (разумеется, если количество наблюдений не мало и если коинтеграция имеется).

Пример Расмотрим реализацию процесса порождения данных

DGP: xt = xt – 1 + εt , yt = 2 xt + νt ,

где x1 = 0, а εt и νt – порождаемые независимо друг от друга последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное

Пара (xt , yt) образует векторный процесс авторегрессии

xt = xt – 1 + εt , yt = 2 xt – 1 + ηt ,

где ηt = νt + 2εt ~ i.i.d. N(0, 5).

В форме ECM пара уравнений принимает вид

∆xt = εt ,

∆yt = – (yt – 1 – 2 xt – 1) + ηt = – zt + где zt = yt – 2 xt ,

или

∆xt = α1 zt – 1 + εt ,

∆yt = α2 zt – 1 + ηt ,

где α1 = 0, α2 = – 1, так что α12

На практике, приступая к анализу статистических данных, исследователь не знает точно, какой порядок имеет VAR в DGP. Имея это в виду, выберем для оценивания в качестве статистической модели ECM в виде

∆xt = α1 zt – 1 + γ11∆xt – 1 + δ11∆yt – 1 + vt ,

∆yt = α2 zt – 1 + γ21∆xt – 1 + δ21∆yt – 1 + wt ,

допуская, что данные порождаются моделью векторной авторегрессии второго порядка (p = 2). Для анализа используем 100 наблюдений.

(I шаг) Исходим из модели yt = α + β xt + ut . Оцененная модель:

т.е.

yt = – 0.006764 + 1.983373 xt + uˆt ,

так что

zˆt = uˆt = yt + 0.006764 – 1.983373 xt .

Исключая из правой части оцениваемого уравнения константу, получаем:

Хотя формально здесь следовало бы начать исключение статистически незначимых переменных с zˆt −1 , мы должны принять во внимание уже принятое решение о

коинтегрированности рядов yt и xt . Но если эти ряды действительно коинтегрированы, то в ECM должно выполняться соотношение α12 + α22 > 0. Поскольку же переменная zt – 1 не вошла в правую часть уравнения для ∆xt , она должна оставаться в правой части уравнения для ∆yt . Если начать исключение с переменной ∆yt – 1 , то в оцененном редуцированном уравнении

статистически незначим коэффициент при ∆xt – 1 , что приводит нас к уравнению ∆yt = α2 zˆt−1 + wt , оценивая которое, получаем

Проверка гипотезы H0: α2 = – 1 дает:

Поскольку эта гипотеза не отвергается, мы можем остановиться на модели ECM

∆xt = εt , ∆yt = – zˆt−1 + wt ,

где

zˆt−1 = yt – 1 + 0.006764 – 1.983373 xt – 1 .

Подстановка последнего выражения для zˆt−1 в уравнение для ∆yt приводит к соотношению

yt = – 0.0068 + 1.983 xt – 1 + wt ,

которое близко к соотношению yt = 2 xt – 1 + ηt ,

соответствующему использованному DGP.

Заметим, наконец, что последовательность wt = ∆yt + zˆt−1 идентифицируется по

наблюдаемой ее реализации как гауссовский белый шум с оцененной дисперсией 4.62 (использованному DGP соответствует значение 5.00), а последовательность εt = ∆xt идентифицируется как гауссовский белый шум с оцененной дисперсией 1.04 (использованному DGP соответствует значение 1.00).

Оценив ECM и остановившись на модели

∆xt = εt , ∆yt = – zˆt−1 + wt ,

мы тем самым обнаруживаем, что коррекция производится только в отношении ряда yt : при положительных zˆt−1 , т.е. при

yt– 1 – (– 0.0068 + 1.983 xt – 1) > 0,

в правой части уравнения для ∆yt корректирующая составляющая – zˆt−1 отрицательна и действует в сторону уменьшения приращения переменной yt . Напротив, при отрицательных zˆt−1 корректирующая составляющая действует в сторону увеличения приращения переменной yt .

Прошлые значения переменной xt через посредство zˆt−1 помогают в прогнозировании

значения yt , т.е. переменная xt является причиной по Гренджеру для переменной yt . В то же время, прошлые значения переменной yt никак не помогают прогнозированию значения xt , так что yt не является причиной по Гренджеру для xt .

Заметим далее, что даже если в ECM Cov(vt, wt) ≠ 0, оценивание пары уравнений ЕСМ как системы не повышает эффективности оценок, поскольку в правые части обоих уравнений входят одни и те же переменные.

Расмотренный в нашем примере процесс порождения данных

DGP: xt = xt – 1 + εt , yt = 2 xt + νt ,

является частным случаем модели, известной как треугольная система Филлипса. В общем случае (для двух рядов) эта система имеет вид

yt = β xt + νt , xt = xt – 1 + εt ,

где (εt , νt)T ~ i.i.d. N2(0, Σ) – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов, имеющих двумерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Σ . (Такая последовательность называется двумерным гауссовским белым шумом.)

Если матрица Σ диагональная, так что Cov(εt , νt) = 0, то тогда xt является экзогенной переменной в первом уравнении, и никаких проблем с оцениванием коэффициента β в этом случае не возникает.

Если же Cov(εt , νt) ≠ 0, то тогда xt уже не является экзогенной переменной в первом уравнении, т.к. при этом Cov(xt , νt) = Cov(xt – 1 + εt , νt) ≠ 0. Поэтому получаемая в первом уравнении оценка наименьших квадратов для β не имеет даже асимптотически нормального распределения.

В дальнейшем мы еще вернемся к проблеме оценивания коинтегрирующего вектора, а сейчас обратимся к вопросу о коинтеграции нескольких временных рядов.

Пусть мы имеем N временных рядов y1t , … , yN t , каждый из которых является интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор β = (β1, … , βN)T , отличный от нулевого, для которого

β1 y1t + … + βN yN t ~ I(0) – стационарный ряд,

то говорят, что эти ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор β называется коинтегрирующим вектором. Если при этом

c = E(β1 y1t + … + βN yN t),

то тогда можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде

β1 y1t + … + βN yN t = c .

В каждый конкретный момент времени t существует некоторое отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной

zt = β1 y1t + … + βN yN t – c .

Ряд zt , в силу сделанных предположений, является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.

Естественной процедурой для проверки коинтегрированности рядов y1t , … , yN t является построение регрессии одного из этих рядов на остальные N – 1 рядов и проверка гипотезы наличия единичного корня у ряда zt на основании исследования ряда остатков от оцененной регрессии. Иначе говоря, мы оцениваем, например, модель

y1t = θ1 + θ2 y2 t + … + θN yN t + ut ,

и проверяем гипотезу единичного корня на основании исследования ряда остатков uˆt = y1t – (θˆ1+ θˆ2 y2 t + … + θˆN yN t),

опираясь на статистику Дики – Фуллера. Критические значения можно найти, следуя

[MacKinnon (1991)] (см. также [Patterson (2000), таблица A8.1]).

Если гипотеза единичного корня отвергается, то вектор

βˆ = (1, – θˆ2 , … , – θˆN )

берется в качестве оцененного коинтегрирующего вектора. При этом отклонение системы от положения равновесия оценивается величиной

zˆt = uˆt .

Поясним теперь, что мы имели в виду, оговаривая, что приведенные выше определения коинтеграции соответствуют коинтеграции в узком смысле.

В приведенных определениях ненулевой вектор β = (β1, … , βN)T определялся как коинтегрирующий вектор, если β1 y1t + … + βN yN t – стационарный ряд. Это означает, что если ряды y1t , … , yN t (по крайней мере, некоторые из них) содержат, наряду со стохастическим, еще и детерминированные тренды, то тогда коинтегрирующий вектор должен аннулировать оба вида трендов одновременно. И в связи с этим, коинтеграцию в узком смысле называют еще детерминистской коинтеграцией.

7.3. Проверка нескольких рядов на коинтегрированность. Критерии Дики – Фуллера

Здесь надо различать несколько случаев.

(1) Коинтегрирующий вектор определяется экономической теорией.

Тогда надо просто проверить на наличие единичного корня соответствующую линейную комбинацию

β1 y1t + … + βN yN t .

При этом используются те же критические значения, которые рассчитаны на применение к отдельно взятому ряду; эти значения не зависят от количества задействованных рядов N .

Пусть возможный коинтегрирующий вектор не определен заранее.

Тогда отдельно рассматриваются следующие ситуации.

(2) Ряды y1t , … , yN t не имеют детерминированного тренда (точнее, E(∆yk t) = 0).

(2a) В коинтеграционное соотношение (SM) константа не включается.

В этом случае мы оцениваем

SM: y1t = γ2 y2t + … + γN yN t + ut ,

получаем ряд остатков

uˆt = y1t − (γˆ2 y2 t +K+ γˆN yN t ),

оцениваем модель регрессии

∆uˆt = ϕ uˆt −1 +ζ1∆uˆt −1 +K+ζ K ∆uˆt − K + εt

с достаточным количеством запаздывающих разностей и проверяем гипотезу H0: φ

= 0 против альтернативы H0: φ < 0 .

На этот раз критические значения для t-статистики tφ зависят от количества задействованных рядов N . При большом количестве наблюдений можно использовать

критические значения, приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 1]. Однако на практике в правую часть оцениваемого уравнения константа обычно включается.

(2b) В коинтеграционное соотношение (SM) константа включается.

В этом случае мы оцениваем

SM: y1t = α + γ2 y2t + … + γN yN t + ut ,

опять получаем ряд остатков – теперь это будет ряд

uˆt = y1t − (αˆ + γˆ2 y2 t +K+ γˆN yN t ),

оцениваем модель регрессии

∆uˆt = ϕ uˆt −1 +ζ1∆uˆt −1 +K+ζ K ∆uˆt − K + εt

с достаточным количеством запаздывающих разностей и проверяем гипотезу H0: φ

= 0 против альтернативы H0: φ < 0 .

Критические значения в этом случае отличаются от случая (2a). При большом

количестве наблюдений можно использовать критические значения, приведенные в

[Hamilton (1994), Table B.9, Case 2]. При небольших T критические значения

вычисляются по формуле, приведенной в [MacKinnon (1991), таблица 1 (вариант “no

trend”)] и воспроизведенной в [Patterson (2000)].

(3a) В коинтеграционное соотношение включается константа.

В этом случае оценивается

SM: y1t = α + γ2 y2t + … + γN yN t + ut .

Далее действуем опять как в (2b), только критические значения другие. При

большом количестве наблюдений можно использовать критические значения,

приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]. При небольших T критические

значения вычисляются по формуле, приведенной в работе [MacKinnon (1991), Table

1 (вариант “with trend”)] и воспроизведенной в [Patterson (2000)].

(3b) В коинтеграционное соотношение включается линейный тренд.

В этом случае оценивается

SM: y1t = α + δt + γ2 y2t + … + γN yN t + ut .

Действуя так же, как и ранее, используем те же таблицы, что и в (3a), но только не для N , а для N + 1 переменных.

Включение тренда в коинтеграционное соотношение приводит к уменьшению

мощности критерия из-за необходимости оценивания “мешающего” параметра δ .

Однако такой подход вполне уместен в тех случаях, когда нет полной уверенности в

том, имеется ли ненулевой тренд хотя бы у одного из рядов y1t, y2t , … , yN t .

Пример

Смоделируем реализации четырех рядов y1t , y2t , y3t , y4t , следуя процессу порождения данных

DGP: y1t = y2, t + y3, t + y4, t + ε1t ,

y2t = y2, t – 1 + ε2t , y3t = y3, t – 1 + ε3t , y4t = y4, t – 1 + ε4t ,

где ε1t , ε2t , ε3t , ε4t – независимые друг от друга процессы гауссовского белого шума с дисперсиями, равными 1 для ε2t , ε3t , ε4t и 2 для ε1t .

Графики полученных реализаций для T = 200 приведены ниже.

При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем

Вычисленное значение t-статистики критерия равно – 15.17, что намного ниже 5%

критического значения – 3.74 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 1]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.

(2b) Оценивание статистической модели с включением константы:

При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем

Вычисленное значение t-статистики – 15.23 опять намного ниже 5% критического значения, которое здесь равно – 4.11 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 2]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.

Вычисленное значение t-статистики – 15.234 намного ниже 5% критического значения, которое здесь равно –4.49 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.

Последние два результата весьма важны для уточнения того, что понимается под коинтеграцией в настоящее время.

Фактически, мы обнаружили следующее. Ряды y1t , y2t , y3t , y4t коинтегрированы в том смысле, который был определен выше (коинтегрированы в узком смысле). Именно в таком виде ввели в обиход понятие коинтеграции Энгл и Гренджер. Ряды y*1t , y2t , y3t , y4t не являются коинтегрированными в узком смысле. В то же время, включение в правую часть статистической модели трендовой составляющей приводит к стационарным остаткам.

Вспомним в связи с этим, что при включении тренда в правую часть линейного регрессионного уравнения коэффициенты при объясняющих переменных интерпретируются как коэффициенты линейной связи между переменными, очищенными от детерминированного тренда. Последние же действительно были коинтегрированы по построению.

Наблюдаемая ситуация известна теперь под названием “стохастическая коинтеграция”. Оно указывает на наличие коинтеграционной связи между стохастическими трендами, входящими в состав рассматриваемых рядов, и не требует согласованности детерминированных трендовых составляющих ( если таковые имеются). В этом случае коинтегрирующий вектор аннулирует стохастический тренд, но не обязан одновременно аннулировать и детерминированный тренд. Другими словами, существует линейная комбинация рассматриваемых рядов, которая образует ряд, стационарный относительно детерминированного тренда, но не обязательно стационарный.

В противоположность стохастической коинтеграции, при наличии коинтеграции в узком смысле коинтегрирующий вектор аннулирует и стохастический и