Когда данные зашумлены т е полны случайных ошибок тогда аппроксимация данных простой функцией

Линейная аппроксимация комбинации линий по набору зашумленных точек

Постановка задачи

Рассмотрим задачу аппроксимации комбинации прямых линий по набору зашумленных координат точек, находящихся на данной комбинации линий (см. Рис. 1 и Рис. 2). Обычная формула линейной аппроксимации здесь не подойдет, так как точки перемешаны и результат будет некая усредненная линия между ними (см. Рис. 3).

Рис. 1 Комбинация линий и зашумленный набор координат

Рис. 2 Комбинация линий и зашумленный набор координат в увеличенном масштабе

Рис. 3 Результат линейной аппроксимации

Алгоритм

Единственный способ, который пришел в голову, это перебирать разные варианты линий. Т.е. перебираем все возможные углы, естественно на ограниченной сетке, от -90 градусов до +90 градусов (от -180 до 180 бессмысленно, т.к. линия симметрична относительно центра координат).

Таким образом, перебирая всевозможные варианты углов оцениваем тот угол наклона линии, при котором наибольшее количество точек находится на одинаковом расстоянии. Данный угол является искомым углом наклона линии, но он приблизительный, ввиду дискретности начального набора углов. Далее строим линейную аппроксимацию по полученному набору точек и получаем максимально приближенную аппроксимацию первой линии.

Для нахождения следующей линии, из рассмотрения убираются точки, использованные на предыдущем этапе. Таким образом, линия за линией, аппроксимируем все линии.

1. Набор рассматриваемых углов

На данном этапе необходимо разобраться какой набор углов будет перебираться. Зная особенности конкретной задачи можно подкорректировать данный набор углов, тем самым ускорив процесс детектирования линий. Так же можно учесть особенности угла наклона между линиями, то есть на каждом следующем шаге сужать диапазон перебираемых углов. В данной задаче будем использовать в лоб равномерный набор углов от -90 до 90 градусов с шагом 0.1 градуса.

2. Определение расстояния от точки до прямой

Для удобства перебора всевозможных вариантов линий, нам необходимо вывести формулу оценки кратчайшего расстояния от точки до линии.

Пусть уравнение линии и координаты точки, расстояние от которой измеряем, принимают следующие обозначения:

Тогда, так как кратчайшее расстояние от точки до линии это перпендикуляр к этой линии, получаем уравнение перпендикуляра, проходящего через заданную точку следующего вида:

Тогда, точка пересечения этих двух прямых:

Получаем расстояние от интересующей точки до точки пересечения:

3. Построение гистограммы расстояний

Если мы построим просто гистограмму расстояний, она будет малоинформативной, поэтому нам необходимо построить гистограмму по скользящему окну, таким образом она будет более плавной и результат мы получим с меньшей ошибкой (см. Рис. 4-6).

По построенной гистограмме определяем расстояние с максимальным количеством точек. По полученному набору максимального количества точек для каждого угла, строим зависимость количества точек и угла наклона линии (см. Рис. 7, 8). На Рис. 7 видно четких два пика, данные пики и есть углы наклона интересующих нас линий.

Рис. 4 Гистограмма расстояний (ошибочная линия)

Рис. 5 Гистограмма расстояний (правильная линия)

Рис. 6 Увеличенная гистограмма расстояний (правильная линия)

Рис. 7 Гистограмма распределения максимального количества равноудаленных точек в зависимости от угла наклона рассматриваемой линии (Шаг 1)

Рис. 8 Гистограмма распределения максимального количества равноудаленных точек в зависимости от угла наклона рассматриваемой линии (Шаг 2)

4. Построение линейной аппроксимации

Полученный из гистограммы угол наклона линии является неточным, так как он был получен на фиксированной сетке углов. Для получения более точного угла наклона и смещения интересующей линии, необходимо выполнить линейную аппроксимацию полученного набора точек по следующим формулам (см. Рис. 9 и Рис. 10):

Рис. 9 Результат аппроксимации первой линии

Рис. 10 Результат аппроксимации второй линии

Примеры использования

Приведем примеры распознавания линий на произвольных наборах точек (см. Рис 11-13).

Рис. 11 Результат работы на произвольной выборке точек

Рис. 12 Результат работы на произвольной выборке точек

Рис. 13 Результат работы на произвольной выборке точек

Вывод

С помощью приведенного алгоритма можно детектировать прямые линии с относительно высокой скоростью и определять их параметры (наклон и смещение). Количество линий при этом может быть неограниченное количество.

Для успешного детектирования линий, желательно чтобы точки были максимально сильно разбросаны по координатной системе, так как если все точки будут рядом, то при процедуре перехода детектирования от одной линии к другой, точки новой линии будут отброшены ввиду их близости к линии с предыдущей итерации.

Основная цель данной статьи увидеть взгляд со стороны, встречались ли у кого-либо подобные задачи и как вы их решали. Вдруг есть способы, которые в один проход умеют детектировать эти линии. Увидеть какие-нибудь интересные решения, которые можно будет использовать в других задачах.

Если информации
о моделируемом объекте (процессе)
недостаточно или он настолько сложен
(имеет случайный характер), что невозможно
составить его детерминированную модель,
используют стохастические модели и
соответствующие экспериментально-статистические
методы.

На
практике весьма распространенной
является задача определения функции
(аналитической зависимости), которая
должна соответствовать некоторым
данным, полученным, например, при
проведении экспериментальных исследований.
При этом можно выделить два направления
приближения функции –
процесс интерполяции,
определяющий вид функции, совпадающей
с табличными данными, а также процесс
аппроксимации,
направленный на восстановление
функциональной зависимости по данным
эксперимента, возможно содержащего
ошибки. Аппроксимация при этом должна
обеспечивать оптимальное расположение
линии (поверхности для многофакторного
эксперимента) функции среди множества
экспериментальных точек, не обязательно
совпадающей с ними.

Простейшим
случаем интерполяции является определение
вида функции f(x)
одной переменной, проходящей через
заданные точки (x_i,
y_i),
т.е. f(x_i)=y_i
, i=1,…,N
(рис.19а).

y
y

x

x

а) б)

Рис.
19. Виды аппроксимации

Говорят,
что функция f
интерполирует
данные, и в
этом случае она называется интерполянтом,
или интерполирующей
функцией.
Как видно из графика, в зависимости от
способа интерполяции можно получить
различные интерполянты. Отсюда следует:

1)
данные (x_i,
y_i)
сами по себе не могут определить
интерполянт, и для фиксированного набора
данных существует бесконечное множество
интерполянтов;

2)
интерполяция может быть полезна только
в том случае, если данные не содержат
ошибок, если же, например, y_i
содержит погрешности, данные необходимо
аппроксимировать как-то по-другому.

Наиболее
употребительным способом аппроксимации
данных, содержащих ошибки, является
метод наименьших квадратов. Он позволяет
определить вид функции с минимальной
суммой квадратов отклонений ее значений
от экспериментальных. На рис. 19б отражен
вариант такой функции при одномерной
линейной аппроксимации.

В общем случае
задача аппроксимации данных решается
для нелинейной функции многих переменных.

Так
как в реальном процессе всегда существуют
неуправляемые и неконтролируемые
переменные, результат эксперимента
есть случайная величина. Пусть, например,
требуется исследовать зависимость
y(x₁,
x₂,…x_m),
причем величины y
и Х={x₁,
x₂,…x_m}
измеряются в одних и тех же экспериментах.
Будем считать, что погрешность измерения
величин x_j
пренебрежимо мала по сравнению с
погрешностью измерения величины y,
т.е. величины x_j
измеряются точно, в то время как измерение
величины y
содержит случайные погрешности. Таким
образом, результаты эксперимента можно
рассматривать как выборочные значения
случайной величины (X),
зависящей от X
, как от параметра.

Регрессией
называют зависимость

условного математического ожидания
величины (X)
от переменной X
, т.е.
.
Задача регрессионного анализа состоит
в этом случае в восстановлении
функциональной зависимости

по результатам измерений (X_i,
y_i),
i=1,2,…,
N.
Аппроксимируем неизвестную зависимость

при помощи заданной функции уравнения
регрессии
.
Это значит, что результаты измерений
можно представить в виде
,
где

–
неизвестные параметры регрессии, _i
–
случайные величины, характеризующие
погрешности эксперимента. С учетом
разложения исследуемой зависимости в
ряд Тейлора в окрестности X₀
и использования выборочных коэффициентов

как оценок теоретических (₀=f(X₀),
₁=
f(X₀)/
x₁,…)
уравнение регрессии можно записать в
следующем общем виде [8]

,
(86)

где
b₀
– свободный член уравнения регрессии;
b_j
– линейные эффекты; b_jj
–
квадратичные эффекты; b_jk
— эффекты взаимодействия.

Коэффициенты
уравнения (86) определяются методом
наименьших квадратов из условия

,
(87)

где
N
– объем выборки.

Необходимым
условием минимума

является равенство нулю соответствующих
частных производных
,
,…
Тогда после преобразования получим

.
(88)

Система
(88) содержит столько же уравнений, сколько
неизвестных коэффициентов

входит в уравнение регрессии и называется
в математической статистике системой
нормальных уравнений.
Для решения системы (52) необходимо задать
конкретный вид функции
.

Линейная
регрессия одного параметра.
Определим по методу наименьших квадратов
коэффициенты линейного уравнения
.
Тогда с учетом

и

для системы (3) можно записать

или
.
(89)

Решая
данную систему относительно

и
,
получим при помощи определителей
следующие выражения:

, .

Коэффициент

проще найти по известному

из первого уравнения системы (53)

, где

–
средние значения x
и y
().

Для
оценки силы линейной связи вычисляется
выборочный коэффициент корреляции r^*

.
(89)

Чем
ближе r^*
к единице, тем выше линейность зависимости
между x
и y.

Параболическая
регрессия одного параметра
определяется коэффициентами параболического
уравнения
.
Тогда для параболы второго порядка
система
нормальных уравнений (88) имеет вид

(90)

Аналогично
могут быть определены коэффициенты

для параболы любого порядка.

Трансцендентная
регрессия одного параметра
определяется коэффициентами уравнений
показательного
,
дробно-степенного типа

и др. Обычно трансцендентную регрессию
используют, чтобы уменьшить число
неопределенных коэффициентов, т.к. при
малых объемах выборки N
увеличение порядка полинома может
привести к росту остаточной дисперсии.
Вычисление коэффициентов трансцендентной
регрессии может оказаться весьма
трудоемким вследствие необходимости
решать систему нелинейных уравнений.
Вычисления можно упростить, если провести
замену переменных и линеаризовать
приведенные выше зависимости путем
логарифмирования:

Коэффициенты

или

определяются методом наименьших
квадратов, значения которых используются
для нахождения
.

Для
оценки силы (тесноты) нелинейной связи
(проведения корреляционного
анализа)
вычисляется корреляционное
отношение

,
(91)

где
f₁=N–1,
f₂=N–l
– числа степеней свободы; l
– число связей, наложенных на выборку
(для уравнения регрессии это число
определяемых коэффициентов);

–
остаточная дисперсия;

— дисперсия относительно среднего.

Чем
больше ,
тем сильнее связь (01).
При =0
однозначное отсутствие связи между
случайными величинами возможно только
для нормального распределения. В случае
линейной регрессии (l=2)
корреляционное отношение равно
коэффициенту корреляции =|r^*
|.

Множественная
регрессия
предполагает определение коэффициентов
(исследование корреляционной связи)
для многофакторного уравнения. Например,
для линейного случая уравнение
множественной регрессии имеет вид
.
Здесь, следовательно, требуется определить
не линию регрессии, а поверхность (m=2)
или гиперповерхность (m>2).

Статистический
анализ результатов (регрессионный
анализ)
проводится после определения уравнения
регрессии и включает: оценку адекватности
уравнения; проверку значимости всех
коэффициентов

в сравнении с ошибкой воспроизводимости;
расчет доверительных интервалов для
параметров модели

и выходной переменной
.

При
отсутствии параллельных опытов и,
следовательно, дисперсии воспроизводимости,
а также нормальном распределении
случайных величин y_i
качество аппроксимации (адекватность)
можно оценить по критерию
Фишера

[4]. В данном случае он показывает, во
сколько раз уменьшается рассеяние
относительно полученного уравнения
регрессии по сравнению с рассеянием
относительно среднего. Чем больше
значение F
превышает табличное

для выбранного уровня вероятности
(значимости, надежности) p
(обычно
p=0.95)
и чисел
,
тем эффективнее уравнение регрессии.

При
одинаковом числе параллельных опытов
(каждый i-й
опыт с объемом выборки N
()
проводится U
раз
)
выборочные дисперсии

должны быть однородны. Последнее
выполняется если справедливо условие
G_max<G_p^ТАБ(N,U-1),
где G_p^ТАБ(N,U–1)
– табличное значение критерия
Кохнера
при уровне значимости p;

;

–
максимальное значение выборочной
дисперсии. Для однородных выборочных
дисперсий рассчитываются дисперсия
воспроизводимости

и дисперсия адекватности
,
которые необходимы для определения
критерия Фишера
.
Если расчетное значение меньше табличного
,
то уравнение адекватно.

Оценка
значимости коэффициентов уравнения
регрессии проводится по критерию
Стьюдента
,
где

–
h-й
коэффициент уравнения;

–
среднее квадратичное отклонение h-го
коэффициента. Если

больше табличного

для выбранного уровня значимости p
и степени свободы f=N(U–1),
то коэффициент

значимо отличается от нуля. Незначимые
коэффициенты из уравнения исключаются
с последующим пересчетом оставшихся.
Чтобы не проводить повторных расчетов
модели, при отбрасывании (включении)
отдельных факторов применяют регрессионные
уравнения в форме ортогональных полиномов
(ортогональные многочлены Чебышева)
[4, 8]. Для уравнения регрессии

, .

Определив

и табличные значения величины t_
корня уравнения F_N-2()=1–0.5,
функции распределения Стьюдента (t
– распределение) с N-2
степенями свободы можно найти доверительные
интервалы параметров модели

и доверительный коридор выходной
переменной
.
Для уравнения регрессии

получим

для
параметров

и
:

,

,

где
₀,
₁
–
половина ширины доверительного интервала
для

и
;

для
определения концов доверительных
интервалов (доверительной полосы или
коридора) выходной переменной

при каждом конкретном значении

(доказано, что доверительный интервал
накрывает истинное значение

с вероятностью 1-):

;

для
определения доверительной области всей
линии регрессии соответственно нижней
(left)
и верхней (right)
границ полосы:

,

где

–
корень уравнения F_2,N-2()=1–;
F_2,N-2(x)
– функция распределения Фишера (F
–
распределение) с 2 и N–2
степенями свободы.

Использование
модели

за пределами исследуемого диапазона
не обосновано.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Аппроксимацией (приближением) функции  называется нахождение такой функции  (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций  и  могут быть различные.

Основная задача аппроксимации — построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все точки, как в интерполяций) или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Рис. 3.6 Метод Лагранжа

Концепция аппроксимации

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой

— критерием аппроксимации (близости). Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от «экспериментальных» (т.е. заданных), — критерий близости в заданных точках:

Здесь у_i — заданные табличные значения функции; у_i^расч — расчетные значения по аппроксимирующей функции; b_i — весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i-и точки (увеличение b,. приводит при стремлении уменьшить R к уменьшению, прежде всего отклонения в i—й точке, так как это отклонение искусственно увеличено за счет относительно большого значения весового коэффициента).

Квадратичный критерий обладает рядом «хороших» свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

Другим распространенным критерием близости является следующий:

Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими и вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.

Выделяют две основные задачи:

1)    получение аппроксимирующей функции, описывающей  имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;

2)    получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наилучшей возможной погрешностью.

Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.

Метод наименьших квадратов

Метод базируется на применении в качестве критерия близости суммы квадратов отклонений заданных и расчетных значений. При заданной структуре аппроксимирующей функции у_i^расч(х) необходимо таким образом подобрать параметры этой функции, чтобы получить наименьшее значение критерия близости, т.е. наилучшую аппроксимацию. Рассмотрим путь нахождения этих параметров на примере полиномиальной функции одной переменной:

Запишем выражение критерия аппроксимации при b_i =1 (i=1, 2,…, n) для полиномиального у_i^расч (х):

Искомые переменные а_j можно найти из необходимого условия минимума R по этим переменным, т.е. dR / dа_р = 0 (для _р =0, 1,2,…,k). Продифференцируем по а_р (р — текущий индекс):

После очевидных преобразований (сокращение на два, раскрытие скобок, изменение порядка суммирования) получим

Перепишем последние равенства

Получилась система n+1 уравнений с таким же количеством неизвестных а_j, причем линейная относительно этих переменных. Эта система называется системой нормальных уравнений. Из ее решения находятся параметры а_j аппроксимирующей функции, обеспечивающие minR, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Зная коэффициенты, можно (если нужно) вычислить и величину R (например, для сравнения различных аппроксимирующих функций). Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных (или пары значений х_i, у_i, или одного из них) все коэффициенты изменят в общем случае свои значения, так как они полностью определяются исходными данными. Поэтому при повторении аппроксимации с несколько изменившимися данными (например, вследствие погрешностей измерения, помех, влияния неучтенных факторов и т.п.) получится другая аппроксимирующая функция, отличающаяся коэффициентами. Обратим внимание на то, что коэффициенты а_j полинома находятся из решения системы уравнений, т.е. они связаны между собой. Это приводит к тому, что если какой-то коэффициент вследствие его малости захочется отбросить, придется пересчитывать заново оставшиеся. Можно рассчитать количественные оценки тесноты связи коэффициентов. Существует специальная теория планирования экспериментов, которая

позволяет обосновать и рассчитать значения х_i, используемые для аппроксимации, чтобы получить заданные свойства коэффициентов (несвязанность, минимальная дисперсия коэффициентов и т.д.) или аппроксимирующей функции (равная точность описания реальной зависимости в различных направлениях, минимальная дисперсия предсказания значения функции и т.д.).

Рис. 3.7 Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации

В случае постановки другой задачи — найти аппроксимирующую функцию, обеспечивающую погрешность не хуже заданной, — необходимо подбирать и структуру этой функции. Эта задача значительно сложнее предыдущей (найти параметры аппроксимирующей функции заданной структуры, обеспечивающей наилучшую возможную погрешность) и решается в основном путем перебора различных функций и сравнения получающихся мер близости. Для примера на рис. 3.7 приведены для визуального сравнения исходная и аппроксимирующие функции с различной степенью полинома, т.е. функции с различной структурой. Не следует забывать, что с повышением точности аппроксимации растет и сложность функции (при полиномиальных аппроксимирующих функциях), что делает ее менее удобной при использовании.

Рассмотрим решение задачи аппроксимации и интерполяции с шумом в

программе MathCAD (рисунок 3.8).

Пример 3.1. В ходе проведения эксперимента были получены данные, представленные в таблице 3.1. Необходимо способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x и y квадратичную функцию . Построить на одной координатной плоскости экспериментальные данные и аппроксимирующую функцию.

Таблица 3.1 Данные эксперимента

Решение. Для определения коэффициентов  квадратичной функции построим дополнительную таблицу 3.2.

Таблица 3.2 Дополнительная таблица

Строим систему уравнений

В нашем случае она будет иметь вид:

Из полученной системы уравнений находим

Искомая зависимость

Строим график экспериментальных данных и найденной зависимости.

Рис.3.8 Аппроксимация и интерполяция в задаче с помехами

Если требуется построить зависимость в виде показательной функции , то необходимо составить систему:

   (3.7)

Для этого строится таблица

Из системы 3.7 находим коэффициенты  и  (необходимо выразить ).

Если требуется построить зависимость в виде степенной функции , то составляется система:

   (3.8)

Для этого строится таблица

Из системы 3.8 находим коэффициенты  и  (необходимо выразить ).

Краткие сообщения

УДК 517.977.58 DOI: 10.14529/ctcr210314

ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ СПЛАЙНОВОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗАШУМЛЕННЫХ ДАННЫХ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

И.П. Болодурина, Л.С. Гришина, Л.Ф. Анциферова

Оренбургский государственный университет, г. Оренбург, Россия

В настоящее время проблемы искажения данных измерений шумом и появления неопределенностей в критериях качества послужили причиной повышенного интереса к исследованиям в области сплайновой аппроксимации. При этом существующие методы минимизации эмпирического риска, предполагая, что шум является равномерным распределением с более тяжелыми хвостами, чем гауссов, ограничивают области применения данных исследований. Проблема оценки искаженных шумом данных, как правило, основывается на решении оптимизационной задачи с функцией, содержащей неопределенность, возникающей на основе задачи поиска оптимальных параметров. В связи с этим оценка искаженных шумов не может быть разрешена классическими методами. Цель исследования. Данное исследование направлено на решение и анализ задачи сплайновой аппроксимации данных в условиях неопределённости на основе параметризации управления и алгоритма проекции градиента. Методы. Исследование задачи сплайновой аппроксимации зашумленных данных проведено методом приближения кусочно-постоянной функции управления. При этом параметризация управления возможна только при конечном числе точек разрыва первого рода. В рамках экспериментального исследования применен алгоритм метода проекции градиента для численного решения задачи сплайновой аппроксимации. Предложенные методы применены для исследования параметров задачи сплайновой аппроксимации данных в условиях неопределённости. Результаты. Численное исследование подхода к параметризации управления и алгоритма проекции градиента проведено на основе разработанного программно-алгоритмического средства для решения задачи сплайновой модели аппроксимации в условиях неопределенности. Для оценки искаженных шумом данных проведены численные эксперименты по исследованию параметров модели и установлено, что повышение значения параметра а ведёт к увеличению точности, но к потере гладкости. Кроме того, проведенный анализ показал, что рассмотренные законы распределения не изменили точность и скорость сходимости алгоритма. Заключение. Предложенный подход для решения задачи сплайновой аппроксимации в условиях неопределенности позволяет определить проблемы искажения данных измерений шумом и появления неопределенностей в критериях качества. Исследование параметров модели показало, что построенная система устойчива к ошибке начального приближения, а законы распределения не оказывают существенного влияния на точность и сходимость метода проекции градиента.

Ключевые слова: цитирования, наукометрические методы, агрегирование библиографической информации, модификация метода Winnowing, метод Левенштейна, метод шинглов.

Введение

В настоящее время исследования в области сплайновой аппроксимации стали наиболее актуальными в прикладных задачах. Например, сплайны играют ведущую роль в качестве генераторов контуров или кривых, а сглаживающие сплайны достаточно часто применяются в статистике. Классические сплайны представляют интерполяционные кривые, в то время как сплайны сглаживания удовлетворяют условию аппроксимации достаточно «близко» к точкам исходных данных. В рамках данной работы сглаживающие сплайны представлены как естественная часть теории оптимального управления (ОУ). При этом теоретические концепции управления позволяют находить и интерпретировать сплайны наиболее эффективно.

Исходная форма полиномиальной интерполяции содержит недостатки, которые ограничивают ее применение во многих сферах деятельности, в частности, для многоразмерных задач.

Основные недостатки исправляет теория сплайнов, в связи с этим рассмотрение вопросов применения сплайнов в различных областях является актуальным вопросом.

В рамках данного исследования рассмотрена линейная квадратичная задача ОУ, для которой не задано начальное состояние системы, однако известны априорные сведения о данной системе. При решении задачи о поиске данных параметров с наиболее эффективным значением функционала качества по набору измеренных данных, необходимо учитывать шум и искажения данных. Данная работа рассматривает частный пример задачи ОУ — задачу аппроксимации сплайновой. Функционал качества вычисляется на основе входных данных и, следовательно, содержит искаженную информацию. В связи с этим данная задача относится к задаче с неопределенностью.

1. Обзор исследований

Исследованиями и разработкой методов аппроксимации сплайн-функций с целью моделирования взаимосвязи между целевым откликом и несколькими переменными предикторами занимаются по всему миру.

Сплайн широко используется в обработке сигналов, дискретных вычислениях, статистике и, в частности, сплайн сглаживания позволят получить гладкую кривую, которая наилучшим образом подходит для аппроксимации данных с шумом [1, 2]. Теоретический сглаживающий сплайн в работе [3] является обобщением сглаживающего сплайна с использованием новых подходов управления, с помощью которых кривая сплайна определяется выходом линейной динамической системы.

В исследовании [4] показано, что управляющие теоретические сплайны относительно полиномиальных позволяют построить более широкий набор сглаживающих кривых. Кроме того, теоретический сплайн управления доказал свою полезность для планирования траектории мобильных роботов [5], контурного моделирования изображений [6], оценки распределения вероятностей [7] и других. Дополнительные приложения и наиболее обширные сведения о теории управления сплайнами представлены в исследовании [8].

Традиционный вид теоретических сплайнов управления основан на оптимизации ¿2 и имеет два основных недостатка. Во-первых, данный подход требует количество параметров, равное размерности данных, чтобы представить подобранную кривую.

Оператор наименьшей абсолютной усадки и выбора LASSO представлен в работах [9, 10]. Методы минимизации эмпирического риска, предполагая, что шум является равномерным распределением, представлены в исследовании [11]. Затем проблема описывается в выпуклой оптимизации, которая может быть эффективно решена с помощью численных методов.

В исследовании [12] рассматривается подход к решению задачи ОУ с априорными знаниями и предположениями о распределении шума на входных данных. Данную проблему оценки параметров авторы сформулировали в виде стохастической задачи выбора оптимального параметра.

Таким образом, анализ современных исследований показал, что оценку шума исходных данных можно проводить статистическими методами. Тогда для перевода функционала качества с неопределенностью в детерминированную функцию можно использовать выпуклую комбинацию среднего значения и дисперсии исходной функции. В результате применения данного подхода и формирования детерминированной задачи выбора оптимального параметра возможно использование градиентных алгоритмов оптимизации.

Данная работа направлена на исследование задачи сплайновой аппроксимации данных в условиях неопределённости на основе параметризации управления и алгоритма метода проекции градиента.

2. Постановка задачи сплайновой аппроксимации данных

Рассмотрим задачу сплайновой аппроксимации данных, если входные данные представляют собой зафиксированные значения функции в конкретные моменты времени с применением метода интерполяции сплайнами [13].

Пусть D = (ti,аг-):i = 1,…, nj — набор данных в момент времени ti и значением аг-, а

F = {f е C2 [0,Г]| f (ti ) = ai} — множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, которые интерполируют данные.

Рассмотрим задачу сплайновой аппроксимации данных:

T N

Ju (t)2 dt + Х^(у (t, ))2 , (1)

[о,г ] о ,=1

= Ах ^) + Ви ), (2)

х ( 0 ) = хо, (3)

У(0 = Сх(^). (4)

Пусть / : [0,Т] ^ Е» — функция, которую необходимо аппроксимировать. После проведения эксперимента данные измерений /при …, могут отличаться от реальных значений из-за шума или погрешности измерения. Тогда значения измерений в каждый момент времени имеют вид Р, = /(4 ) + <, / = 1, …, N. (5)

где si =

■ случайные отклонения, генерируемые наложенным шумом и соответствующей

ошибкой измерения. Предположим, что средние значения, дисперсии и третьи моменты известны. Оптимизируемая функция примет вид

N ■ „2 T

g(хо, и)=&|| у (^ )-Р,|| +[|Iй (‘I (6)

1=1 о

где wг, г = 1,…, N — весовые коэффициенты, X — константа для регулирования гладкости кривой аппроксимации х ((| хо, и) , || . || — Евклидова норма.

Так как функция g (хо, и) содержит случайные значения, то преобразуем ее к детерминированной с помощью выпуклой комбинации среднего значения и дисперсии данной функции.

Таким образом, задача состоит в отыскании начального условия Хо е X и управляющей функции и(t)еи для целевого функционала

О ( Хо, и ) = аМ{я ( Хо, и)) + (1 -а)Уаг ^ ( Хо, и)), (7)

минимизируемого по Хо е X и и(t)еи, где М{.} — математическое ожидание, Уаг {.} — дисперсия, а а е [о,1] — весовой коэффициент.

Функцию О (Хо,и) можно преобразовать в детерминированную и задача ОУ будет иметь вид:

N N N Т 2

О(Хо,и) = а{^г(у (^))т у (^)-2^,(у(^))т М{р, } + М{(Рг)тРг} + Х|||иА) +

,=1 ,=1 i=1

N N I N

+(1 -«){4ZZ( y () )т Cov {(Р, )т Р/} y ()+Var (Р, )т р,

i=1 /=1 l i =1

-4Xl1mCov {(Р, )2,Р/} y (t[)}, (8)

г=11=1

где и ^) :[о,Т] ^ и — функция управления, где и — компактное выпуклое множество в Ег, у ^)е Е» — результирующая функция, а Хо е X — неизвестное начальное состояние, где X является компактным подмножеством Е .

Подход к параметризации управления является наиболее распространенным для решения задачи ОУ общего вида. В этом случае временной интервал разбивается на несколько частей и на каждом строится кусочно-постоянная функция управления с возможными точками разрыва первого рода в точках разбиения интервала.

Используя данную схему аппроксимации, формируют конечномерную задачу аппроксимации исходной ОУ, которая соответствует задаче выбора оптимального параметра.

s

s

Болодурина И.П., Гришина Л.С., Исследование параметров задачи сплайновой

Анциферова Л.Ф. аппроксимации зашумленных данных…

3. Методы решения задачи сплайновой аппроксимации данных

Для численного решения задачи (2)-(4), (8) представим управление кусочно-постоянной функцией с конечным числом переключений методом параметризации управления.

Для каждого i = 1,…, N +1 разобьем интервал ti] на р, подинтервалов, а граничные

точки обозначим как х’у, где у = 1, …, pi _1. Последовательность

горизонта, а хм 1

N+1 i = 1

г1 ^ +1

Г1, 1 PN+1 _1

хУ_1 ,хУ |, i=1, …, N+1; у = 1,…, р1 называется разделом временного е Вм_1 — вектором допустимого времени переключения при

м = У р, .

i = 1

Для некоторого управления и(t)еи определим конечномерное приближение

N+1 р,

КО*им ^)=ЦуЦуХг, ^(0,tе[0Т], (9)

,=1 ,=1 Iх у_1 7

— у=

,_1

р/ +

/=1

где С’у = УрI + у — метка подинтервала, у’ = у1,…, у’г е Rr, у’ еи, I = 1,…, г — допустимый

вектор управления и % 1 ^) — индикаторная функция вида 1, если t е I, [0, иначе.

При подстановке приближения (9) в уравнение (2) получим систему, которая определена на

%1 ^ )={0;

подинтервале

хУ_1 , хУ):

= Ах ^ ) + Ву , (10)

у^) = Сх (t). (11)

Детерминированная задача выбора оптимального параметра

Для динамической системы (10)—(11) найти Хо еX и уе Г, соответствующие минимуму функции:

Г N N N Т 2

х0,и) = а Ущ (у (t;))т у (^ ) _ 2У щ,- (у (t;))т М{Р, 1 + У щ,.М {(Р,)тР, 1 + X Г||и (t)|| Л} +

( Х0, и) = аУщ, (у (^) )т у (^ )_ 2Ущ’ (у (^) )т М {Р, } + Ущ М {(Р, )т Р, } + х|| |и Л}-

I’=1 ‘=1 ‘=1 0

NN . , Г N ]

+ (1 _а){4уу( у (и) )т Соу {(Р, )т Р1} у (^ ) + Varу>щ (Р, )т р, 1_

,=11=1 [,=1 ]

N N ]

_ 4УУГС^ {(р, )2, Р1} у (^ )1 (12)

Метод проекции градиента

Для решения поставленной задачи (12) в рамках данной работы рассмотрен алгоритм метода проекции градиента [14, 15], основная идея которого состоит в поиске экстремума функции в направлении антиградиента функции. В данной работе антиградиент функции сформирован таким образом, чтобы выполнялось свойство допустимости значений траектории движения.

4. Вычислительные эксперименты

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В рамках данной статьи рассмотрено исследование параметров численного решения задачи сплайновой аппроксимации данных при различных весовых коэффициентах между математическим ожиданием и дисперсией исходной функции, а также различных подходах к наложению шума на аппроксимируемые данные.

Для проведения численных экспериментов были зафиксированы следующие параметры задачи: А = 1,8, В = о,2, С = 2, q = 10 000, хо =-о,5, и = о,5, М(р,) = -о,528,

Уаг (р, ) = 3,4483, а = о,5, рг = 1оо.

Исходные данные содержат 1о6 измерений, имеющие нормальный закон распределения, и с наложенным шумом в виде функции / (t) :

-0,2074х2 + о,5584х — о,2321, ift е[0;0,5713],

/ (^ = <|о,02х3 — о,224х2 + о,562х — о,2323, ift е [0,5713;7,8013], (13)

о,2815х2 -3,7729х +12,137, ift е [7,8013;10].

Отметим, что погрешности полученных значений тах(у (^)- С * /(^ )) = 0,074,

тах (х ) — / (^ )) = 0,037 первого порядка и соответствуют устойчивой модели с достаточно высокой точностью.

Проведём исследование влияния параметра весового коэффициента а между математическим ожиданием и дисперсией исходной функции при следующих значениях а = 0,2; 0,5; 0,7 (рис. 1, 2).

Рис. 1. Траектория x(t) и управление u(t) при различных значениях весового коэффициента а Fig. 1. Trajectory x(t) and control u(t) at different values of the weight coefficient а

Рис. 2. Траектория y(t) при различных значениях весового коэффициента а Fig. 2. Trajectory y(t) at different values of the weight coefficient а

Болодурина И.П., Гришина Л.С., Исследование параметров задачи сплайновой

Анциферова Л.Ф. аппроксимации зашумленных данных…

Результаты исследования влияния параметра весового коэффициента а на аппроксимацион-ную функцию представлены в табл. 1 с указанием количества итераций и погрешностей.

Таблица 1

Результаты исследования параметра а

Table 1

Results of the study of the parameter а

а _ 0,2 0 5 _ 0,8

J 34,02 1,2 0,34

Count 11 235 13 101 12 540

IU x ( h )-f (t,)) N 0,068 0,037 0,021

zNx( > (t,)-f (t/)) N 0,079 0,044 0,027

При увеличении а значения х ) и у (ti) имеют большее отклонение к реальным значениям набора данных. Однако данное поведение сопровождается сильным искривлением графиков, что соответствует уровню гладкости второй производной функции у (ti). При этом погрешность

снижается, а точность решения значительно увеличивается.

На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что при а = 0,5 решение задачи соответствует достаточно высокой точности и не имеет больших потерь в гладкости функций.

Исследование влияния закона распределения шумов

Исследуем влияние закона распределения шумов, накладываемых на исходную функцию, на точность и скорость сходимости данного метода. Рассмотрим следующие законы распределения накладываемых шумов: нормальный, экспоненциальный и равномерный. Зафиксируем параметры для каждого закона распределения.

Нормальный закон распределения шумов:

(*i -ц)

Р/ =( ti ) + -7S=

—V 2 л

2—2

1 2— ^, / = 1,…, N, ц = 5, a2 = 0,0001. (14)

Равномерный закон распределения шумов:

Р, = f (ti) +

0, ti < a,

t■ — а

-*3, а < ti <Ь, i = 1,…, И, а = 0, Ь = 10. (15)

Ь — а

0, ^ > ь.

Экспоненциальный закон распределения шумов:

Г0, t¡ < 0,

Р, = /(tiН, Л i = 1,И, Х = 3. (16)

[1 — е ‘, ti > 0,

На рис. 3, 4 представлены графики х(0 и и(^), полученные при наложении шумов с разными законами распределения.

Результаты исследования влияния закона распределения шумов на аппроксимационную функцию представлены в табл. 2 с указанием количества итераций и погрешностей.

Траектори и xft) Траектории u(t)

Рис. 3. Траектория x(t) и управление u(t) при различных законах распределения шумов Fig. 3. Trajectory x(t) and control u(t) under different noise distribution laws

Траектории y(t)

4————-

5J———-

0 123J 567в9Ю

Рис. 4. Траектория y(t) при различных законах распределения шумов Fig. 4. Trajectory y(t) under different noise distribution laws

Таблица 2

Результаты анализа изменения закона распределения шумов

Table 2

Results of the analysis of changes in the noise distribution law

Закон распределения Экспоненциальный Нормальный Равномерный

J 0,61 0,58 0,563

Count 12 351 11 927 11 468

I N=1( — (t,)-f (t)) N 0,031 0,024 0,021

I N=1( у (t,)-f (t,)) N 0,06 0,049 0,044

Результаты исследования показали, что различные законы распределения шумов не оказывают сильного воздействия на сходимость метода и количество итераций варьируется не значительно. Таким образом, при равномерном распределении шумов на исходных данных значения погрешностей найденных траекторий сравнительно ниже, чем при иных законах.

При задании параметра а с потерей гладкости, но с повышением точности аппроксимации произойдет изменение порядка ранжирования законов распределения шумов.

Данные результаты свидетельствуют об устойчивости предлагаемого подхода к подбору начальных условий. В частности, весовой коэффициент а регулирует гладкость функции и точность аппроксимации. При этом закон распределения шумов на исходных данных не влияет в должной степени на точность данного подхода и свидетельствует об устойчивости модели и пригодности метода при ограниченных знаниях о шумах.

Заключение

В рамках данного исследования решена задача сплайновой аппроксимации данных в условиях неопределённости. Для применения параметризации управления представлена стохастическая функция, в дальнейшем преобразованная в детерминированную. На основе метода параметризации управления сформирована последовательность приближенного оптимального управления.

С использованием численного метода проекции градиента разработано программное обеспечение для решения задачи сплайновой аппроксимации на зашумленных данных.

Результаты численных экспериментов исследования параметров модели показали, что повышение значений весового коэффициента а при математическом ожидании искомой функции приводит к повышению точности, однако решение в некоторой степени теряет гладкость. Кроме того, проведенный анализ показал, что изученный закон распределения шумов не влияет в должной степени на точность данного подхода и свидетельствует об устойчивости.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-07-01065, а также гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ-2502.2020.9).

Литература

1. Lai, M.J. Scattered data interpolation with nonnegative preservation using bivariate splmes and its apphcation /M.J. Lai, C. Meile // Computer Aided Geometric Design. — 2015. — Vol. 34. — P. 37-49. DOI: 10.1016/j.cagd.2015.02.004

2. A comparative study on apphcation of Chebyshev and spline methods for geometrically non-hnear analysis of truss structures / S.H. Mahdavi, H.A. Razak, S. Shojaee, M.S. Mahdavi // International Journal of Mechanical Sciences. — 2015. — Vol. 101. — P. 241-251. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2015.08.001

3. Inversion of top of atmospheric reflectance values by conic multivariate adaptive regression splmes / S. Kuter, G.W. Weber, Z. Akyurek, A. Ozmen // Inverse Problems in Science and Engineering. -2015. — Vol. 23, iss. 4. — P. 651-669. DOI: 10.1080/17415977.2014.933828

4. Agwu, N.N. Optimal control of dynamic systems: apphcation to splme approximations / N.N. Agwu, C.F. Martin // ApphedMathematics and Computation. — 1998. — Vol. 97, iss. 2. — P. 99-138. DOI: 10.1016/S0096-3003(97)10101 -1

5. Burt, P.J. A multiresolution sphne with apphcation to mage mosaics / P.J. Burt, E.H. Adelson // ACM Transactions on Graphics. — 1983. — Vol. 2, iss. 4. — P. 217-236. DOI: 10.1145/245.247

6. A Distributionally robust hnear receiver design for multi-access space-time block coded MIMO systems / B. Li, Y. Rong, J. Sun, K.L. Teo //IEEE Transactions on Wireless Communications. — 2016. -Vol. 16, iss. 1. — P. 464-474. DOI: 10.1109/TWC.2016.2625246

7. Some characterizations of robust optimal solutions for uncertain fractional optimization and applications / X.K. Sun, X.J. Long, H.Y. Fu, X.B. Li // Journal of Industrial & Management Optimization. -2017. — Vol. 13, iss. 2. — pp. 803-824. DOI: 10.3934/jimo.2016047

8. Wang, J. Data-driven tight frame for multi-channel images and its application to joint color-depth image reconstruction / J. Wang, J.F. Cai // Journal of the Operations Research Society of China. -2015. — Vol. 3. — P. 99-115. DOI: 10.1007/s40305-015-0074-2

9. Yan, H.Y. A linear-quadratic control problem of uncertain discrete-time switched systems / H.Y. Yan, Y. Sun, Y.G. Zhu // Journal of Industrial & Management Optimization. — 2017. — Vol. 13, iss. 1. — P. 267-282. DOI: 10.3934/jimo.2016016

10. A sequential regression model for big data with attributive explanatory variables / Q.T. Zhang, Y. Liu, W. Zhou, Z. W. Yang // Journal of the Operations Research Society of China. — 2015. — Vol. 3. -P. 475-488. DOI: 10.1007/s40305-015-0109-8

11. Friedman, J.H. Multivariate adaptive regression splines / J.H. Friedman // The Annals of Statistics. — 1991. — Vol. 19, iss. 1. — P. 1-141. DOI: 10.1214/aos/1176347963

12. Taylan, P. New approaches to regression by generalized additive models and continuous optimization for modern applications in finance, science and technology / P. Taylan, G.W. Weber, A. Beck // Optimization — 2007. — Vol. 56, iss. 6. — P. 675-698. DOI: 10.1080/02331930701618740

13. Исаков, В.Н. Оптимальная регулярная локальная сплайновая интерполяция сигналов / В.Н. Исаков // Вестник Концерна ВКО Алмаз-Антей. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 24-31. DOI: 10.38013/2542-0542-2016-4-24-31

14. Новиков, М. Ю. Конечномерная оптимизация. Алгоритм метода проекции градиента / М.Ю. Новиков // Устойчивое развитие российских регионов: экономическая политика в условиях внешних и внутренних шоков: сб. науч. тр. — Екатеринбург: УрФУ, 2015. — С. 781-785.

15. Голубев, М.О. Метод проекции градиента для сильно выпуклого множества /М.О. Голубев // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. -2013. — № 13 (2). — С. 33-38.

Болодурина Ирина Павловна, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Оренбургский государственный университет, г. Оренбург; prmat@mail.osu.ru.

Гришина Любовь Сергеевна, аспирант кафедры прикладной математики, Оренбургский государственный университет, г. Оренбург; grishina_ls@inbox.ru.

Анциферова Лариса Михайловна, канд. пед. наук, доцент кафедры прикладной математики, Оренбургский государственный университет, г. Оренбург; antsiferova_68@mail.ru.

Поступила в редакцию 21 июня 2021 г

DOI: 10.14529/ctcr210314

INVESTIGATION OF PARAMETERS OF THE PROBLEM OF SPLINE APPROXIMATION OF NOISY DATA BY NUMERICAL METHODS OF OPTIMAL CONTROL

I.P. Bolodurina, prmat@mail.osu.ru, L.S. Grishina, grishina_ls@inbox.ru, L.M. Antsiferova, antsiferova_68@mail.ru Orenburg State University, Orenburg, Russian Federation

Currently, the problems of distortion of measurement data by noise and the appearance of uncertainties in quality criteria have caused increased interest in research in the field of spline approximation. At the same time, existing methods of minimizing empirical risk, assuming that the noise is a uniform distribution with heavier tails than Gaussian, limit the scope of application of these studies. The problem of estimating noise-distorted data is usually based on solving an optimization problem with a function containing uncertainty arising from the problem of finding optimal parameters. In this regard, the estimation of distorted noise cannot be solved by classical methods. Aim. This study is aimed at solving and analyzing the problem of spline approximation

of data under uncertainty conditions based on the parametrization of control and the gradient projection algorithm. Methods. The study of the problem of spline approximation of noisy data is carried out by the method of approximation of the piecewise constant control function. In this case, parametrization of the control is possible only for a finite number of break points of the first kind. In the framework of the experimental study, the gradient projection algorithm is used for the numerical solution of the spline approximation problem. The proposed methods are used to study the parameters of the problem of spline approximation of data under conditions of uncertainty. Results. The numerical study of the control parametrization approach and the gradient projection algorithm is based on the developed software and algorithmic tool for solving the problem of the spline approximation model under uncertainty. To evaluate the noise-distorted data, numerical experiments were conducted to study the model parameters and it was found that increasing the value of the parameter a leads to an increase in accuracy, but a loss of smoothness. In addition, the analysis showed that the considered distribution laws did not change the accuracy and convergence rate of the algorithm. Conclusion. The proposed approach for solving the problem of spline approximation under uncertainty conditions allows us to determine the problems of distortion of measurement data by noise and the appearance of uncertainties in the quality criteria. The study of the model parameters showed that the constructed system is stable to the error of the initial approximation, and the distribution laws do not significantly affect the accuracy and convergence of the gradient projection method.

Keywords: citation system, scientometric methods, aggregation of bibliographic information, modification of the Winnowing method, Levenshtein method, shingle method.

References

1. Lai M.J., Meile C. Scattered data interpolation with nonnegative preservation using bivariate splines and its application Computer Aided Geometric Design, 2015, vol. 34, pp. 37-49. DOI: 10.1016/j.cagd.2015.02.004

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Mahdavi S.H., Razak H.A., Shojaee S., Mahdavi M.S. A comparative study on application of Chebyshev and spline methods for geometrically non-linear analysis of truss structures International Journal of Mechanical Sciences, 2015, vol. 101, pp. 241-251. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2015.08.001

3. Kuter S., Weber G.W., Akyurek Z., Ozmen A. Inversion of top of atmospheric reflectance values by conic multivariate adaptive regression splines Inverse Problems in Science and Engineering, 2015, vol. 23, iss. 4, pp. 651-669. DOI: 10.1080/17415977.2014.933828

4. Agwu N.N., Martin C.F. Optimal control of dynamic systems: application to spline approximations Applied Mathematics and Computation, 1998, vol. 97, iss. 2, pp. 99-138. DOI: 10.1016/S0096-3003(97)10101-1

5. Burt P.J., Adelson E.H. A multiresolution spline with application to image mosaics ACM Transactions on Graphics, 1983, vol. 2, iss. 4, pp. 217-236. DOI: 10.1145/245.247

6. Li B., Rong Y., Sun J., Teo K.L. A Distributionally robust linear receiver design for multi-access space-time block coded MIMO systems IEEE Transactions on Wireless Communications, 2016, vol. 16, iss. 1, pp. 464-474. DOI: 10.1109/ TWC.2016.2625246

7. Sun X.K., Long X.J., Fu H.Y., Li X.B. Some characterizations of robust optimal solutions for uncertain fractional optimization and applications Journal of Industrial & Management Optimization, 2017, vol. 13, iss. 2, pp. 803-824. DOI: 10.3934/ jimo.2016047

8. Wang J., Cai J.F. Data-driven tight frame for multi-channel images and its application to joint color-depth image reconstruction Journal of the Operations Research Society of China, 2015, vol. 3, pp. 99-115. DOI: 10.1007/s40305-015-0074-2

9. Yan H.Y., Sun Y., Zhu Y.G. A linear-quadratic control problem of uncertain discrete-time switched systems Journal of Industrial & Management Optimization, 2017, vol. 13, iss. 1, pp. 267-282. DOI: 10.3934/jimo.2016016

10. Zhang Q.T., Liu Y., Zhou W., Yang Z.W. A sequential regression model for big data with attributive explanatory variables Journal of the Operations Research Society of China, 2015, vol. 3, pp. 475-488. DOI: 10.1007/s40305-015-0109-8

11. Friedman J.H. Multivariate adaptive regression splines The Annals of Statistics, 1991, vol. 19, iss. 1, pp. 1-141. DOI: 10.1214/aos/ 1176347963

12. Taylan P., Weber G.W., Beck A. New approaches to regression by generalized additive models and continuous optimization for modern applications in finance, science and technology Optimization, 2007, vol. 56, iss. 6, pp. 675-698. DOI: 10.1080/02331930701618740

13. Isakov V.N. [Optimal regular local spline signal interpolation]. Bulletin of Koncern VKO Almaz-Antey, 2016, vol. 19, no. 4. — pp. 24-31. (in Russ.)

14. Novikov M.Yu. [Finite-dimensional optimization. Algorithm of the gradient projection method ]. Ustoychivoye razvitiye rossiyskikh regionov: ekonomicheskaya politika v usloviyakh vneshnikh i vnut-rennikh shokov: sb. nauch. tr. [Sustainable development of Russian Regions: Economic Policy in the conditions of external and internal shocks: collection of scientific papers], Yekaterinburg: Ural Federal University Publ., 2015, pp. 781-785. (in Russ.)

15. Golubev M.O. [The gradient projection method for a strongly convex set]. Izvestiya Saratov-skogo universiteta. SeriyaMatematika. Mekhanika. Informatika, 2013, vol. 13, no. 2, pp. 33-38. (in Russ.)

Received 21 June 2021

ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ

FOR CITATION

Болодурина, И.П. Исследование параметров задачи сплайновой аппроксимации зашумленных данных численными методами оптимального управления / И.П. Болодурина, Л.С. Гришина, Л.Ф. Анциферова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». — 2021. — Т. 21, № 3. —

С. 138-148. DOI: 10.14529/ctcr210314

Bolodurina I.P., Grishina L.S., Antsiferova L.M. Investigation of Parameters of the Problem of Spline Approximation of Noisy Data by Numerical Methods of Optimal Control. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics, 2021, vol. 21, no. 3, pp. 138-148. (in Russ.) DOI: 10.14529/ctcr210314

Построить аппроксимацию входных данных с учётом их погрешностей

04.03.2021, 02:16. Показов 723. Ответов 9

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

clear
clc
 
%Задаём
func = @(x) (150.*x + 20);
x = [0:1:5]';
y = func(x);
 
%Зашумляем
to_approx_x = x + (rand([size(x, 1), 1]).*(0.7 + 0.2)) + (-0.2);
to_approx_y = y + ((rand([size(y, 1), 1]).*(50 + 14)) + (-14)).*rand([size(y, 1), 1]).*5;
 
%Задаём вектор "измернной погрешности"
sigma_x = abs((rand([size(x, 1), 1]).*(0.7 + 0.2)) + (-0.2));
sigma_y = abs((rand([size(y, 1), 1]).*(50 + 14)) + (-14)).*5;
 
%Демонстрируем, что имеем с "эксперимента": 
figure
hold on
err = errorbar(to_approx_x, to_approx_y, -sigma_y, sigma_y, -sigma_x, sigma_x, '.');
h = plot(to_approx_x, to_approx_y, 'r.');
grid on
 
xlabel ('Ось данных х');
ylabel ('Ось данных y');

__________________
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь

0

Полиномиальная аппроксимация непрерывной на отрезке функции.

Аппроксимация (от латинского «approximate» -«приближаться»)-
приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация — приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию
зависимости (или ее «тренд»).

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости.

Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

Здесь будет рассмотрена полиномиальная аппроксимация. Это означает, что наша задача состоит в том, что, опираясь на начальные данные (функция и отрезок), необходимо найти такой полином, отклонение линии которого от графика начальной функции будет минимальным.

Наиболее популярным методом полиномиальной аппроксимации является метод наименьших квадратов. В Excel он реализуется при помощи диаграммы и линии тренда.

Разберем данный метод в Excel.

Начальные данные:

Сначала нам необходимо разбить данный отрезок при помощи «Чебышевского» разбиения, т.к. данный вид разбиения всегда дает более точный результат.

В колонке I(рис. 1) записываем числа от 0 до 8, т.к. отрезок разбиваем на 8 частей.

В колонке z ячейки вычисляем по формуле: COS(3,141593*I/8). Для вычисления каждой ячейки используем соответствующее ей I.

Значение каждого x находим по формуле: 2*z + 1.

В колонке F(x) вычисляем значение данной функции для каждого x.

Рисунок 1


Далее в ячейках H2,I2,J2 задаем начальные значения коэффициентов a, b и c в искомом полиноме (рис. 2).

Рисунок 2


В столбце F со 2 по 10 ячейки вычисляем значения отклонений, т.е. модуль разности между значением начальной функции и найденным полиномом.

Формула: ABS((1+x^2)^0,5+2^(-x)-($H$2*x^2+$I$2*x+$J$2)).

В ячейке B11 вычисляется сумма отклонений, а в ячейке B12 среднее отклонение (рис. 3).

Рисунок 3


С помощью «Мастера диаграмм» строим точечную диаграмму, исходя из данных столбцов x и F(x). Теперь во вкладке «Диаграмма» выбираем «Добавить линию тренда» и устанавливаем необходимый флажок для того, чтобы показать уравнение на диаграмме (рис. 4).

Рисунок 4


Теперь подставляем коэффициенты из полученного уравнения в ячейки H2, I2 и J2 (рис. 5).

Рисунок 5


Как видно, среднее отклонение равно 0,117006252.

Найденный полином: 0,363*x² — 0,6901*x + 2,2203.

Предложим иной метод полиномиальной аппроксимации.

Открываем вкладку «Сервис» и выбираем «Поиск решений». В появившемся окне целевой ячейкой указываем F11, причем равной минимальному значению. В поле «изменяя ячейки» указываем H2, I2 и J2.

Нажимаем кнопку «Выполнить». После выполнения процедуры мы видим, что результаты изменились (рис. 6).

Рисунок 6


На этот раз среднее отклонение равно 0,106084329.

Найденный полином: 0,35724*x² — 0,702*x + 2,259158.

Этот результат существенно точнее предыдущего, что подтверждает преимущество использования минимизации суммы отклонений по сравнению с методом наименьших квадратов.

ЗАВИСИМОСТЕЙ

Excel
располагает средствами, позволяющими прогнозировать процессы. Задача
аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически описать явления,
имеющие место в жизни и заданные в виде таблиц, содержащих значения аргумента
(аргументов) и функции. Если зависимость удается найти, можно сделать прогноз о
поведении исследуемой системы в будущем и, возможно, выбрать оптимальное
направление ее развития. Такая аналитическая функция (называемая еще трендом)
может иметь разный вид и разный уровень сложности в зависимости от сложности
системы и желаемой точности представления.

10.1. Линейная регрессия

Самый
простой и популярной является аппроксимация прямой линией – линейная регрессия.

Пусть мы
имеем фактическую информацию об уровнях прибыли Y в зависимости от размера X
капиталовложений – Y(X). На рис. 10.1-1 показаны четыре такие точки М(Y,X).
Пусть также у нас имеются основания предполагать, что зависимость эта линейная,
т.е. имеет вид Y=А+ВX.
Если бы нам удалось найти коэффициенты A и B и
по ним построить прямую (например, такую, как на рисунке), в дальнейшем мы
могли бы сделать осознанные предположения о динамике бизнеса и возможном
коммерческом состоянии предприятия в будущем. Очевидно, что нас бы устроила
прямая, находящаяся как можно ближе к известным точкам М(Y,X), т.е. имеющая
минимальную сумму отклонений или сумму ошибок (на рисунке отклонения показаны
пунктирными линиями). Известно, что существует только одна такая прямая.

Для решения этой задачи используют метод наименьших
квадратов ошибок. Разность (ошибка) между известным значением Y1 точки М1(Y1,X1) и значением Y(X1), вычисленным по уравнению прямой для того же
значения X1, составит

D1 = Y1 – A – B X1.

Такая же разность

для X=X2 составит D2 = Y2 – A – B X2;

для X=X3 D3 = Y3 – A – B X3;

и для X=X4 D4 = Y4 – A – B X4.

Запишем
выражение для суммы квадратов этих ошибок

Ф(A,В)=(Y1–A–B X1) 2 +(Y2–A–B X2) 2 +(Y3–A–B X3) 2 +(Y4–A–B X4) 2

или
сокращенно Ф(B,A) = å(Yi – A – BXi) 2 .

Здесь нам
известны все X и Y и неизвестны коэффициенты A и B. Проведем искомую прямую так
(т.е. выберем A и B такими), чтобы эта сумма квадратов ошибок Ф(A,B) была
минимальной. Условиями минимальности являются известные соотношения

¶Ф(A,B)/¶A=0 и ¶Ф(A,B)/¶B=0.

Выведем эти выражения (индексы при знаке суммы опускаем):

¶[å(Yi–A–B Xi) 2 ]/¶A = å(Yi–A–B Xi)(–1)

¶[å(Yi–A–B Xi) 2 ]/¶B = å(Yi–A–B Xi)(–Xi).

Преобразуем полученные формулы и приравняем их нулю

Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) — программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и, за исключением Excel 2008 под Mac OS X, язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире.

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x — отвлеченные величины) или точечного графика (x — имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).

Возможны следующие варианты функций:

· Линейная — y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

· Полиномиальная — y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n , где до шестого порядка включительно (n?6), a i — константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени — не более трех экстремумов и т.д.

· Логарифмическая — y=a·lnx+b, где a и b — константы, ln — функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

· Степенная — y=b·x a , где a и b — константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

· Экспоненциальная — y=b·e ax , a и b — константы, e — основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R 2). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).

Аппроксимация экспериментальных данных в программе MathCAD

MathCAD — это специфический язык программирования, который позволяет облегчить решение математических уравнений. MathCAD — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. MathCAD идеально подходит для осуществления математического моделирования — осуществляя решение разного рода уравнений и создавая отчет о полученных результатах.

В MathCAD совсем немного типов данных по сравнению с универсальными языками программирования — всего три. Кратко охарактеризуем их (более детально они будут описаны позже).

Числа (как действительные, так и комплексные): все числа MathCAD хранит в одном формате (с плавающей точкой двойной точности), не разделяя их на целые и действительные. На одно число выделяется 64 бита. При этом десятичная часть не может превышать по длине 17 знаков, а порядок должен лежать между -307 и 307. Комплексные числа на уровне реализации представляют собой пару действительных чисел. При этом во многих видах расчетов число воспринимается как комплексное, даже если у него нет мнимой части. Описанные особенности чисел в MathCAD касаются только численных расчетов. При работе в символьном режиме совершенно другие уровни точности.

Строки: в общем случае любой текст, заключенный в кавычки. На практике строки используются в основном для задания сообщений об ошибках, возникших при работе программ на языке MathCAD.

Массивы: к ним относятся матрицы, векторы, тензоры, таблицы — любые упорядоченные последовательности элементов произвольного типа. К данным этого типа можно отнести и ранжированные переменные. В отдельную группу следует выделить так называемые размерные переменные, то есть единицы измерения, имеющие огромное значение в науке и технике. В MathCAD нет логического типа данных. Для обозначения истины и лжи логическими операторами и функциями используются числа — 0 и 1.

В MathCAD существует несколько функций, позволяющих выполнить регрессию с использованием зависимостей, наиболее часто встречающихся на практике. Таких функций в MathCAD всего шесть. Вот некоторые из них:

· expfit(vx,vy,vg) — регрессия экспоненциальной функцией y = a*e b*x +c.

· sinfit(vx,vy,vg) — регрессия синусоидальной функцией y = a*sin(x+b)+c.

· pwrfit(vx,vy,vg) — регрессия степенной функцией e = a*x b +c.

Перечисленные функции используют трехпараметрическую аппроксимирующую функцию, нелинейную по параметрам. При вычислении оптимальных значений трех параметров регрессионной функции по методу наименьших квадратов возникает необходимость в решении сложной системы из трех нелинейных уравнений. Такая система часто может иметь несколько решений. Поэтому в функциях MathCAD, которые проводят регрессию трехпараметрическими зависимостями, введен дополнительный аргумент vg. Данный аргумент — это трехкомпонентный вектор, содержащий приблизительные значения параметров a,b и c, входящих в аппроксимирующую функцию. Неправильный выбор элементов вектора vg может привести к неудовлетворительному результату регрессии. В MathCAD существуют средства для проведения регрессии самого общего вида. Это означает, что можно использовать любые функции в качестве аппроксимирующих и находить оптимальные значения любых их параметров, как линейных, так и нелинейных. В том случае, если регрессионная функция является линейной по всем параметрам, т.е. представляет линейную комбинацию жестко заданных функций, провести регрессию можно с помощью встроенной функции linfit(vx,vy,F). Аргумент F — это векторная функция, из элементов которой должна быть построена линейная комбинация, наилучшим образом аппроксимирующая заданную последовательность точек. Результатом работы функции linfit является вектор линейных коэффициентов. Каждый элемент этого вектора — коэффициент при функции, стоящей на соответствующем месте в векторе F. Таким образом, для того чтобы получить регрессионную функцию, достаточно скалярно перемножить эти два вектора.

Средняя ошибка аппроксимации
— среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Где y x — расчетное значение по уравнению.

Значение средней ошибки аппроксимации до 15% свидетельствует о хорошо подобранной модели уравнения.

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации
А ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии .

а) линейное уравнение регрессии;

Использование графического метода
.

Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции
.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Причины существования случайной ошибки:

1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;

2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

3. Неправильное описание структуры модели;

4. Неправильная функциональная спецификация;

5. Ошибки измерения.

Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).

Получаем b = -0.35, a = 76.88

Уравнение регрессии:

y = -0.35 x + 76.88

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:


y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28

y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47

… … …

Ошибка аппроксимации


Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации
— среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418
, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e
– это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln
– это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844
), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418
). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Урок: Как построить линию тренда в Excel

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

1. Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.



2. График построен.



3. Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».
   

   Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».



4. Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

   В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
   При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

   Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

   

   После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.



5. Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

y=ax+b

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

1. Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».



2. После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».



3. После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

y=be^x

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

1. Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».



2. Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

y=a*ln(x)+b

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

1. Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».



2. Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.
   

   Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

   y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n

   В нашем случае формула приняла такой вид:

   y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01

3. Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.



4. Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

1. Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».



2. Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

y=bx^n

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.