Коэффициенты ошибок следящих систем - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

Для
оценки точности воспроизведения
непрерывных функций часто используются
коэффициенты
ошибок,
которые оказываются наиболее удобными
для управляющих сигналов класса
полиномов.

Оригиналом
по отношению к изображению

служит импульсная переходная характеристика
.
Ошибку можно вычислить с помощью
интеграла Дюамеля
.
(10.8)

Если
управляющее воздействие представляет
собой непрерывную медленно меняющуюся
функцию, то ее выгодно представить в
виде разложения по степеням
,

ограничившись
небольшим числом слагаемых. Подставив
это разложение в (10.8), получим выражение
вида
,
(10.9) где

(10.10) называются коэффициентами
ошибки.

интегралы
вида (10.10) называются моментами
порядка r
функции
.
Вычисление коэффициентов ошибки не
обязательно выполняется интегрированием.
Если продифференцировать r
раз
преобразование Лапласа по s

положить затем s
= 0 , то, как
легко видеть, получится выражение вида
(10.10). Вычисления выполняются особенно
просто, если передаточную функцию

представить в виде разложения в
окрестности точки s
= 0

(10.11)

причем
для этого нет необходимости в многократном
дифференцировании, имея в виду, что все
передаточные функции принадлежат к
классу дробно-рациональных и легко
представляются в виде разложения путем
деления полиномов, расположенных по
возрастающим степеням s.

Коэффициенты
ошибок наиболее наглядно показывают,
какую роль в точности автоматических
систем играет коэффициент усиления в
разомкнутом состоянии и так называемый
порядок
астатизма,
с которым необходимо предварительно
познакомиться.

БИЛЕТ
№ 10

1.Преобразование многоконтурных структурных схем.

Автоматические
системы, структурная схема которых
содержит более одного контура называются
многоконтурными.
В целом ряде задач необходимо уметь
преобразовать многоконтурную структурную
схему к одноконтурной и мы рассмотрим
здесь несколько типичных случаев. На
рис.6.6 показана структурная схема с
внутренним стабилизирующим контуром
с гибкой обратной связью.

Рис.6.6.Следящая
система с внутренним стабилизирующим
контуром

Преобразование
этой схемы к одноконтурной можно
выполнить двумя путями. Первый путь
состоит в записи передаточной функции
внутреннего контура в виде известного
нам выражения (6.3).После такого
преобразования система становится
одноконтурной с жесткой обратной связью
(рис.6.7).Передаточная функция при
размыкании этой обратной связи
записывается в виде

Второй
способ состоит в суммировании передаточных
функций Y(s)
и

Z(s).
Система также становится одноконтурной,
но передаточная функция ее при размыкании
контура выглядит иначе

Таким
образом, операция преобразования
структурных схем может приводить к
различным вариантам передаточных
функций разомкнутой системы.

Рис.6.7.Результат
преобразования структурной схемы,
изображенной на рис.6.6.

Рассмотрим
еще пример преобразования схемы с
перекрестной
обратной
связью
(рис.6.8).

А)
Б)

Рис.6.8.Преобразование
структурной схемы с перекрестной
обратной связью.

После
получения варианта Б) дальнейшие
преобразования сводятся к уже рассмотренным
случаям и не требуют комментариев.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Функция
f(t) называется
периодической, если существует величина
T,
такая что для любого значения t
f(t+T)=f(t).
Наименьшая из величин T
называется
периодом.

Весьма
широкий класс периодических функций
можно разложить в ряд Фурье
.(2.1)

Здесь
коэффициенты a_kиb_k
вычисляются с помощью соотношений
,(2.2)

Ряду
Фурье можно придать комплексную форму,
если воспользоваться соотношениями
и

Введем
обозначение
и, замечая, что согласно (2.2),
запишем ряд (2.1) в комплексной форме(2.3)

Нетрудно
заметить, что коэффициенты в (2.3)
вычисляются с помощью формулы, вытекающей
из (2.2), а именно
.
(2.4)

Введем
обозначение
. Очевидно при этом приращениеи, следовательно, согласно (2.3) и (2.4),(2.5)

Переходя
к пределу в (2.5) при
и обозначая,
(2.6) запишем(2.7)

Мы
получили соотношения, которые играют
в дальнейшем важную роль во всей изучаемой
нами дисциплине. Это прямое
(2.6) и обратное
(2.7)
преобразования
Фурье.
Предельный переход означает, что мы
распространили ряд Фурье на непериодические
функции, и этим существенно расширили
класс исследуемых сигналов.

Заметим,
что функция
,
фигурирующая в формуле прямого
преобразования должна допускать
сходимость несобственного интеграла.
Разумеется, не все функции обладают
этим свойством. Например, функция1/t
не может быть преобразована по Фурье —
она недостаточно быстро убывает (кроме
того, она имеет разрыв при t=0).
Для того, чтобы гарантировать сходимость
несобственного интеграла в (2.5),во многих
случаях достаточно предварительно
умножить преобразуемую функцию на
экспоненту с отрицательным показателем,
т.е. рассматривать в дальнейшем такие
функции, которые допускают существование
интеграла(2.8)

Константа
с называется
абсциссой абсолютной сходимости, а
преобразование вида (2.8) называется
прямым
преобразованием Лапласа.

В
соответствии с введенным обозначением
для параметра s
можно записать
и обратное
преобразование
(2.7) в форме
.(2.9)

принято
называть
изображением
по Лапласу
функции
,
которая в свою очередь называетсяоригиналом.

2.Коэффициенты ошибок следящих систем.

Оригиналом
по отношению к изображению
служит импульсная переходная характеристика.
Ошибку можно вычислить с помощью
интеграла Дюамеля.
(10.8)

ограничившись
небольшим числом слагаемых. Подставив
это разложение в (10.8), получим выражение
вида
,
(10.9) где(10.10) называютсякоэффициентами
ошибки.

интегралы
вида (10.10) называются моментами
порядка r
функции
.
Вычисление коэффициентов ошибки не
обязательно выполняется интегрированием.
Если продифференцироватьr
раз
преобразование Лапласа по s

положить затем s
= 0 , то, как
легко видеть, получится выражение вида
(10.10). Вычисления выполняются особенно
просто, если передаточную функцию
представить в виде разложения в
окрестности точкиs
= 0
(10.11)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Установившееся значение ошибки воспроизведения задающего воздействия, являющегося произвольной, но достаточно плавной функцией времени, можно определить с помощью коэффициентов

Коэффициенты ошибки вычисляются по передаточной функции для ошибки слежения и ее производным по при

В статической системе в астатической в астатической второго порядка Могут быть системы с астатизмом третьего порядка и более высокого.

Формулы для вычисления первых четырех коэффициентов ошибки воспроизведения задающего воздействия (коэффицентов ошибки слежения) приведены в табл. 7.1. Формулы содержат коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы, и, следовательно, отпадает необходимость в составлении передаточной функции

Пример 7.1. Вычислить коэффициенты ошибки слежения если передаточная функция разомкнутой системы

Система пятого порядка астатическая, и для вычисления коэффициентов ошибки можно воспользоваться формулами поз. 8 табл. 7.1. В данном случае

Подставив эти значения коэффициентов в формулы, получим

По передаточной функции ошибки от возмущения могут быть вычислены коэффициенты ошибки от возмущения:

Эти коэффициенты позволяют определить установившееся значение ошибки, создаваемой возмущением, если оно является достаточно медленно изменяющейся функцией времени:

Формулы для вычисления коэффициентов ошибки по коэффициентам передаточной функции системы для ошибки приведены в табл. 7.2. Эти формулы могут быть использованы как для вы числения так и для вычисления

Пример 7.2. В системе со структурной схемой, изображенной на рис. 7.1, передаточные функции ее участков имеют следующие значения:

Вычислить установившееся значение ошибки, если задающее воздействие а возмущения

Составим передаточную функцию разомкнутой системы:

По формулам поз. 2 табл. 7.1 определим коэффициенты ошибки от задающего воздействия:

Следовательно, согласно формуле

Составим передаточную функцию для ошибки от возмущения (учитывая знак воздействия возмущения и обратной связи):

Для вычисления коэффициентов ошибки от возмущения можно воспользоваться формулами поз. 1 табл. 7.2. В данном случае

(кликните для просмотра скана)

Подставив эти значения коэффициентов передаточной функции в формулы, получим

Согласно формуле (7.9) имеем

В соответствии с формулой (7.1) суммарное значение установившейся ошибки

Передаточная функция для ошибки есть дробно-рациональная функция от поэтому значения коэффициентов ошибки можно вычислить делением ее числителя (начиная с младшего члена) на знаменатель. Такой прием следует применять, когда нельзя использовать данные табл. 7.1 и 7.2. При этом удобно пользоваться техникой подвижной полосы [55]. Перед расчетом передаточную функцию для ошибки (слежения или от возмущения) приводят к виду

Затем на полосу бумаги (на подвижную полосу) выписывают столбиком и на листе бумаги (на неподвижную полосу) выписывают столбиком . В статической системе в астатической и несколько последующих коэффициентов равны нулю.

Подвижную полосу кладут слева от неподвижной так, чтобы осталось место для записи результатов. Сначала нижняя цифра подвижной полосы должна находиться в одной строке с верхней цифрой неподвижной полосы. Затем подвижную полосу постепенно перемещают вниз.

В каждом положении подвижной полосы ее нижнюю цифру умножают на цифру неподвижной полосы в той же строке. Каждую из остальных цифр подвижной полосы умножают на находящуюся рядом цифру из столбца «Результат». Сумму всех произведений записывают в столбец «Результат», рядом с нижней цифрой подвижной полосы.

Цифры из столбца «Результат», начиная с верхней, после умножения на являются коэффициентами ошибки

Поэтому расчет нужно продолжать, пока в столбце «Результат» не окажется столько цифр, сколько коэффициентов ошибки необходимо вычислить.

Пример 7.3. Вычислить коэффициенты ошибки слежения для системы, у которой передаточная функция

Таблица 7.3 (см. скан) Расчет к примеру 7.3

Расположение полос при расчете показано в табл. 7.3 для каждого подсчета. Запись подсчетов имеет вид:

Следовательно, коэффициенты ошибки имеют следующие значения:

Данные для определения коэффициентов ошибки по ЛАЧХ минимально-фазовой системы приведены в табл. 9.6.

Источник

1.Преобразование многоконтурных структурных схем.

2.Коэффициенты ошибок следящих систем.

Читайте также: