Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно
прочитать урок
«Степень»
и «Свойства степеней».
Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении
примеров.
Как возвести число в отрицательную степень
Запомните!
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в
числителе) и с
исходным числом в степени внизу; - заменить отрицательную степень на
положительную; - возвести число в положительную степень.
Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.
a−n =
,где a ≠ 0, n ∈ z (n принадлежит целым числам).
Примеры возведения в отрицательную степень.
- 6−2 = =
- (−3)−3 = = = −
- 0,2−2 = =
Запомните!
Любое число в нулевой степени — единица.
a0 = 1
,где a ≠ 0
Примеры возведения в нулевую степень.
- ()0 = 1
- (−5)0 = 1
- d0 = 1
Как найти 10 в минус 1 степени
В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:
10−1 = 0,1
Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «10» в минус первой степени равно
«0,1».
Возведем «10−1» по правилам отрицательной степени.
Перевернем «10» и запишем её в виде дроби
«
»
и заменим отрицательную степень
«−1» на
положительную степень «1».
Возведем «10» в «1» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.
Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.
По такому же принципу можно найти «10» в минус второй, третьей и т.д.
10−2 = 0,01
10−3 = 0,001
10−4 = 0,0001
Запомните!
Для упрощения перевода «10» в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один».
Проверим правило выше для «10−2».
Т.к. у нас степень «−2», значит, будет всего один ноль (положительное
значение степени «2 − 1 = 1». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «1».
Рассмотрим «10−1».
Т.к. у нас степень «−1», значит, нулей после запятой не будет (положительное
значение степени «1 − 1 = 0». Сразу после запятой ставим «1».
То же самое правило работает и для «10−12». При переводе в десятичную дробь будет
«12 − 1 = 11 » нулей и «1» в конце.
10−12 = 0,000 000 000 001
Как возвести в отрицательную степень дробь
Запомните!
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:
- «перевернуть» дробь;
- заменить отрицательную степень на
положительную; - возвести дробь в положительную степень.
Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.
Перевернем дробь «
»
и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».
Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень.
Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.
()−3 = ()3 =
=
Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.
()−3 = ()3 =
= = 0,027
Как возвести отрицательное число в отрицательную степень
Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую
очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.
Запомните!
Отрицательное число, возведённое в
чётную степень, — число
положительное.
Отрицательное число, возведённое в
нечётную степень, — число
отрицательное.
Пример.
(−5) −2 =
Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень
«−2»
на положительную
«2».
Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будет
положительный. Поэтому
убираем знак минуса при раскрытии скобок.
Далее откроем скобки
и возведем во вторую степень и числитель «1»,
и знаменатель «5».
Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень
Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.
Запомните!
Отрицательная дробь, возведённая в
чётную степень, — дробь
положительная.
Отрицательная дробь, возведённая в
нечётную степень, — дробь
отрицательная.
Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь
«(− )»
в «−3» степень.
По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную
«3».
Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.
Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь
останется отрицательной.
Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель
«2» в третью степень.
Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.
(−
) −3 = (−
) 3 = −
= −
= − 3
Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.
Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения
будет положительным.
Свойства отрицательной степени
Все свойства степени, которые используются для положительной степени,
точно также применяются и для отрицательной степени.
В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени
и покажем примеры их использования.
Запомните!
- am · an = am + n
- =
am − n - (an)m = an · m
- (a · b)n = an · bn
Примеры решений заданий с отрицательной
степенью
Разбор примера
Представить в виде степени.
2) a6 · b6 = (ab)6
4) (c5)2 = c10
Разбор примера
Записать в виде степени с отрицательным числом.
Разбор примера
Вычислить.
3) (
) −12 : (
) 2 =
(
) 12 · (
) 2 =
(
) 12 · (
) 2 =
·
=
=
=
=
·
= 1312 − 2 · 22 − 12
= 1310 · 2−10 = 1310 ·
=
=
=
= (
) 10
Разбор примера
Выполнить действия.
Отрицательная степень числа
- Степень с отрицательным показателем
- Действия над степенями с отрицательными показателями
Степень с отрицательным показателем
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
| d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 | . |
| d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5 : a 8 = a5 — 8 = a -3.
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Значит:
Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
Решение:
Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
Решение:
| 1 | = (m + n) -2. |
| (m + n) 2 |
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
Возвести отрицательное число в степень | Математика
Отрицательное число в степени, теория и возведем отрицательное число в степень на калькуляторе. И степень отрицательного числа в четной и не четной степени будут противоположными по занку!
Возвести отрицательное число в степень
- Отрицательное число в степени
- Возведение отрицательного числа в степень теория с примером.
- Возведение отрицательного числа в степень на калькуляторе
- Отрицательное число в нулевой степени чему равно
- Возведение отрицательных чисел в степень правила
- Как написать отрицательное число в степени
- Как написать отрицательное число в степени
- Возведение отрицательного числа в отрицательную степень
- Число в отрицательной в степени
- Возведение числа в отрицательную степень теория с примером.
- Как посчитать отрицательную степень числа на калькуляторе
-
Отрицательное число в степени
Очень похожее для робота два выражения:
Отрицательное число в степени и …
Число в отрицательной степени.
Робот думает, что это одно и тоже… поэтому, две страницы объединяем в одну!
Возведение отрицательного числа в степень теория с примером..
Сперва разберем на простом примере, как возвести отрицательное число в степень возьмем опять 3 только с минусом, и далее мы видим, что если степень нечетная, то минус остается…,
-33 = -3*-3*-3 = -27
Почему минус остался!?
Если мы возьмем первые две тройки, то при умножении два минуса дадут плюс. А вот у третьей тройки минус остался! И когда мы умножим на тройку с минусом, то плюс на минус дает минус!
но если мы сделаем степень четной, то все минусы уничтожатся(напоминаю, что если умножить два отрицательных числа, то минус на минус дает плюс.)
-34 = -3*-3*-3*-3 = 81
Возведение отрицательного числа в степень на калькуляторе
Теперь проделаем выше описанную теорию на калькуляторе
Пример Возведения отрицательного числа в степень
Набираем число, которое требуется возвести в степень.
После этого ставим минус, кнопкой плюс-минус
После того, как мы получили отрицательное число, нам нужно нажать кнопку «P
» — знак степени. Знак степени после нажатия должен изменить цвет.
Далее набираем степень, пусть это будут 3,
и нажимаем равно:
отрицательное число в нулевой степени чему равно
Внимание!
Любое число в нулевой степени — равно 1 !Возведение отрицательных чисел в степень правила
Интересный поисковый запрос:
«Возведение отрицательных чисел в степень правила«…
смайлы
О правилах возведения отрицательного числа в степень.
Нет отдельного правила возведения отрицательного числа в степень.
Для отрицательного числа в степени работают те же правила, что для обычного числа в степени.
Единственное, что нужно добавить:
что возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный резельтат:
-34 = -3*-3*-3*-3 = 81
а возведение отрицательного числа в нечетную степень дает число со знаком минус!
-34 = -3*-3*-3 = -27
Как написать отрицательное число в степени
Если вы хотите написать отрицательное число в степени в ворде, то поступаем так:
Как написать отрицательное число в степени в ворде
Набираем то число, которое хотим возвести в степень.
Далее подымаем голову в меню ворда и ищем соответствующий значок, который обозначает степень — нажимаем.
Возвращаемся к нашему числу и тут видим, что курсор стал находиться выше!
Пишем число степени.
Как написать отрицательное число в степени в html
Для того, чтобы написать отрицательное число в степени в html нужно написать соответствующий тег, который отвечает за степень числа :
2<sup>3</sup>
Результат:
23
-
Число в отрицательной в степени
Следующим пунктом разберемся с похожей по написанию, но отличной по содержанию формулировкой:
Число в отрицательной в степени
Возведение числа в отрицательную степень теория с примером.
Далее разберемся как возводить число в отрицательную степень
Чтобы разобраться нам потребуется схема преобразования отрицательной степени в обычную :
Как мы видим из формулы, отрицательная степень числа, равна единице поделенной на число в положительной степени!
И для полноты картины разберем пример.
Пример как посчитать отрицательную степень числа!?
В качестве примера возьмем два(чтобы легко можно было посчитать) в минус второй степени:
2-2 = 122 = 14 = 0.25
Два в минус второй степени будет равно единице деленное на два во второй степени, что равно 0.25
Как посчитать отрицательную степень числа на калькуляторе!?
Нам нужно какое-то число в качестве примера для иллюстрации того, как можно посчитать отрицательную степень на калькуляторе.
Набираем число, которое будем возводить в отрицательную степень – пусть это будет 5.
Нажимаем букву степени, после нажатия – она становится активной.
Нажимаем число, степени и сделаем её отрицательной – нажимаем равно.
Получаем результат возведения числа в отрицательную степень.
Можете не благодарить, лучше помогите!
Теги :
отрицательное число в нулевой степени,
отрицательное число в четной степени,
отрицательные числа со степенями,
степень отрицательного числа с четным показателем,
отрицательное число в степени,
возведение в степень отрицательного числа правило,
возведение в степень отрицательного числа в скобках,
можно ли отрицательное число возвести в степень ,
отрицательное число в нечетной степени,
таблица степеней отрицательных чисел,
отрицательное число в нулевой степени чему равно
COMMENTS+
BBcode
Отрицательная степень числа: правила возведения и примеры
В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.
Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:
- Определение понятия.
- Возведение в отрицательную ст.
- Целый показатель.
- Возведение числа в иррациональную степень.
Определение понятия
Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».
Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».
После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.
Возведение в отрицательную степень
Минусовая степень обозначает, что число множат на него самого такое количество раз, какое значится в ст., а после этого единицу делят на вычисленный результат.
Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:
110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,
1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,
11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,
110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.
Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:
- 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
- в -3 — три нуля перед единицей;
- в -9 — это 9 нулей и проч.
Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —
Как возвести число в натуральную степeнь
Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.
Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:
Возведите -2 в 4-ю ст.
Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.
Ответ на задачу:
Пример:
Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.
Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:
- 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
- равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
- равно 529 сорок девятых;
- сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.
Возведение в иррациональную стeпeнь
Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.
Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:
П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.
Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.
Как возвести чиcло в целую степень
Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:
- для целых чисел;
- для нулевого показателя;
- для целого положительного показателя.
Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.
Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.
Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.
К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.
Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.
Пример:
Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.
Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.
Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;
Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.
Видео
Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.
Отрицательная степень числа
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
| d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 | . |
| d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5 : a 8 = a 5 — 8 = a -3 .
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:
| 1 | = (m + n) -2 . |
| (m + n) 2 |
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
Как работает отрицательная степень
Запись a n означает что число a должно быть умножено n раз:
Пример 1. 5 3 =5*5*5=125
Деление это обратная операция умножению. Отрицательная степень означает сколько раз нужно разделить число.
Число в отрицательной степени a -n может быть записано в виде:
| Пример 2 может быть записан в виде. |  |
| Определение. Если a≠0 и n — целое отрицательное число, то |  |
Для вычисления числа a -n в отрицательной степени нужно:
1.Вычислить a n
2.Затем разделить 1 на полученный результат, т.е.
Воспользуйтесь калькулятором для вычисления числа в отрицательной степени.
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.
Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Условие: возведите -2 в степень 4.
Решение
Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.
Возьмем пример посложнее.
Вычислите значение 3272
Как будем решать
Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Выполните возведение в квадрат числа π.
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.
Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
a1=a
Это понятно из записи 
.
От основания степени это не зависит.
Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.
Примеры:
50=1, (-2,56)0=1230=1
00- не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.
Выполните возведение 2 в степень -3.
Решение
Используя определение выше, запишем: 2-3=123
Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.
Тогда ответ таков: 2-3=123=18
Возведите 1,43 в степень -2.
Решение
Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2
Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: 
В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1,43)-2=1000020449
Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.
Пример: 3−1=1/3
913-1=13964-1=164 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.
У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.
Проиллюстрируем на примере.
Вычислите 8-23.
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2
После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.
Возведите 44,89 в степень 2,5.
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107
Ответ: 13 501,25107.
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….
Решение
Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.
Возведение степени в степень
Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.
Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ.
Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.
Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.